湖北省高等教育自學(xué)考試實(shí)變與泛函分析初步

湖北省高等教育自學(xué)考試《實(shí)變與泛函分析初步》自學(xué)考試大綱課程名稱：實(shí)變與泛函分析初步課程代碼：2012第一部分課程性質(zhì)與目標(biāo)一、課程性質(zhì)與特點(diǎn)《實(shí)變函數(shù)》課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)理論課程，同時(shí)也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)課程，是古典分析與現(xiàn)代分析之間的一座橋梁。它的研究對(duì)象仍然是定義在一般集合上的實(shí)函數(shù)，而采用的思想和方法是集合論的思想和方法。它的中心任務(wù)是建立勒貝格（Lebesgue）測(cè)度理論和較之傳統(tǒng)積分理論更為優(yōu)越的勒貝格（Lebesgue）積分理論。二、課程目標(biāo)與基本要求通過本課程的學(xué)習(xí)，初步了解近代抽象分析的基本思想；掌握勒貝格（Lebesgue）測(cè)度概念和基本性質(zhì)、可測(cè)集類；掌握可測(cè)函數(shù)的基本概念與基本性質(zhì)、依測(cè)度收斂的可測(cè)函數(shù)列及其性質(zhì)；了解可測(cè)函數(shù)列幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系、可測(cè)函數(shù)列依測(cè)度收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系、可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系；掌握勒貝格積分的基本思想、基本性質(zhì)以及勒貝格積分極限定理及其應(yīng)用；了解絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的可微性和牛頓-萊布尼茲公式。通過本課程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)并提高用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想方法分析、解決問題的能力，為后續(xù)課程的順利學(xué)習(xí)提供保證，為今后學(xué)習(xí)、研究現(xiàn)代數(shù)學(xué)和從事數(shù)學(xué)教育工作奠定基礎(chǔ)。三、與本專業(yè)其他課程的關(guān)系本課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程之一，它的先行課程是《數(shù)學(xué)分析》，而概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、泛函分析、分形幾何、微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)、偏微分方程等都是與它有著密切聯(lián)系的后續(xù)課程。其中《數(shù)學(xué)分析》是學(xué)習(xí)本課程的基礎(chǔ)，而本課程又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、泛函分析、分形幾何、微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)、偏微分方程等課程的基礎(chǔ)。第二部分考核內(nèi)容與考核目標(biāo)第一章集合一、學(xué)習(xí)目的與要求通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)理解集合的概念，熟練掌握集合的并、交、差、余這四種基本運(yùn)算，掌握集合列的極限運(yùn)算；了解康托假設(shè)的含義，理解一一映射、集合對(duì)等與勢(shì)(基數(shù))的概念，掌握證明集合對(duì)等的基本方法；理解可數(shù)集與不可數(shù)集的概念、熟練掌握基本性質(zhì)以及判別方法；掌握n維歐氏空間中集合的聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)的概念及互相之間的關(guān)系；了解并掌握開集、閉集、完備集的定義及性質(zhì)，以及直線上開集、閉集、完備集的構(gòu)造；掌握康托集的構(gòu)造和康托集的基本性質(zhì)。二、考核知識(shí)點(diǎn)與考核目標(biāo)（一）重點(diǎn)集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、D.Morgan法則、集合的直積；上限集、下限集、極限集、單調(diào)集列及其極限集；單射、滿射、一一映射、映射基本性質(zhì)、集合的勢(shì)、對(duì)等、對(duì)等基本性質(zhì)、基數(shù)、基數(shù)的比較、伯恩斯坦定理；可數(shù)集、可數(shù)集性質(zhì)、有理數(shù)集；不可數(shù)集存在性、連續(xù)集及其性質(zhì)、不存在基數(shù)最大的無限集；中的距離、鄰域、區(qū)間、開球、閉球、球面；開集、開集性質(zhì)、內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)核、邊界點(diǎn)、邊界；收斂點(diǎn)列、聚點(diǎn)、聚點(diǎn)的等價(jià)定義、孤立點(diǎn)、孤立點(diǎn)集、導(dǎo)集、閉集、閉集性質(zhì)；集合、集合、集合和集合的性質(zhì)、Borel集；中開集與閉集的構(gòu)造、中開集與閉集的構(gòu)造。識(shí)記：集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、D.Morgan法則、集合的直積；上限集、下限集、極限集、單調(diào)集列及其極限集；單射、滿射、一一映射、集合的勢(shì)、對(duì)等、對(duì)等基本性質(zhì)、基數(shù)、基數(shù)的比較、伯恩斯坦定理；可數(shù)集、可數(shù)集性質(zhì)、有理數(shù)集；不可數(shù)集存在性、連續(xù)集及其性質(zhì)、不存在基數(shù)最大的無限集；中的距離、鄰域、區(qū)間、開球、閉球、球面；開集、開集性質(zhì)、內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)核、邊界點(diǎn)、邊界；收斂點(diǎn)列、聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、孤立點(diǎn)集、導(dǎo)集、閉集、閉集性質(zhì)、集合、集合、集合和集合的性質(zhì)、Borel集；中開集與閉集的構(gòu)造、中開集與閉集的構(gòu)造。理解：集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、D.Morgan法則、集合的直積；上限集、下限集、極限集、單調(diào)集列及其極限集；一一映射、映射基本性質(zhì)、集合對(duì)等的基本性質(zhì)、基數(shù)的比較、伯恩斯坦定理；可數(shù)集、可數(shù)集性質(zhì)、有理數(shù)集；不可數(shù)集存在性、連續(xù)集及其性質(zhì)；中的距離、鄰域、開球、閉球、球面；開集、開集性質(zhì)、內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)核、邊界點(diǎn)、邊界；聚點(diǎn)、聚點(diǎn)的等價(jià)定義、孤立點(diǎn)、孤立點(diǎn)集、導(dǎo)集、閉集、閉集性質(zhì)；集合和集合的性質(zhì)、Borel集；中開集與閉集的構(gòu)造、中開集與閉集的構(gòu)造。應(yīng)用：集合的并、交、余、D.Morgan法則；上限集、下限集、單調(diào)集列及其極限集；一一映射、映射基本性質(zhì)、集合對(duì)等的基本性質(zhì)、伯恩斯坦定理；可數(shù)集、可數(shù)集性質(zhì)；連續(xù)集及其性質(zhì)；中的距離、鄰域、開球、閉球；開集、開集性質(zhì)、內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)核、邊界點(diǎn)、邊界；聚點(diǎn)、聚點(diǎn)的等價(jià)定義、孤立點(diǎn)、孤立點(diǎn)集、導(dǎo)集、閉集、閉集性質(zhì)；集合和集合的性質(zhì)、Borel集；中開集與閉集的構(gòu)造、中開集與閉集的構(gòu)造。（二）次重點(diǎn)完全集；開集與閉集構(gòu)造的定理；開集與閉集構(gòu)造的簡(jiǎn)單應(yīng)用。識(shí)記：完全集；開集與閉集構(gòu)造的定理。理解：完全集；開集與閉集構(gòu)造的定理的含義。應(yīng)用：開集與閉集構(gòu)造的簡(jiǎn)單應(yīng)用。（三）一般集合族（類）、環(huán)與環(huán)、代數(shù)（域）與代數(shù)（域）；環(huán)、環(huán)、代數(shù)（域）、代數(shù)（域）之間的關(guān)系；稠密集、疏朗集；中集合之間的距離以及集合之間距離的可達(dá)性，中閉集的隔離性；集合的特征函數(shù)、特征函數(shù)性質(zhì)以及集合在研究函數(shù)性質(zhì)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。識(shí)記：集合族（類）、環(huán)與環(huán)、代數(shù)（域）與代數(shù)（域）；稠密集、疏朗集；中集合之間的距離；中閉集的隔離性；集合的特征函數(shù)。理解：環(huán)、環(huán)、代數(shù)（域）、代數(shù)（域）之間的關(guān)系；稠密集、疏朗集；中集合之間的距離以及集合之間距離的可達(dá)性，中閉集的隔離性；集合的特征函數(shù)、特征函數(shù)性質(zhì)。應(yīng)用：集合在研究函數(shù)性質(zhì)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。第二章測(cè)度論一、學(xué)習(xí)目的與要求通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)了解建立可測(cè)集及測(cè)度的過程和步驟，理解外測(cè)度的概念和它的不足，進(jìn)而理解建立測(cè)度的必要性；理解可測(cè)集的測(cè)度是區(qū)間長(zhǎng)度的推廣，熟練掌握測(cè)度的基本性質(zhì)：（1）非負(fù)性、（2）單調(diào)性、（3）完全可加性，即一列互不相交的可測(cè)集合的并的測(cè)度等于每個(gè)可測(cè)集的測(cè)度之和；熟練掌握可測(cè)集和可測(cè)集列的基本性質(zhì)；了解可測(cè)集合類，掌握可測(cè)集合與開集、閉集和Borel集的關(guān)系。二、考核知識(shí)點(diǎn)與考核目標(biāo)（一）重點(diǎn)外測(cè)度的定義；外測(cè)度的基本性質(zhì)，即非負(fù)性、單調(diào)性、次可加性；可測(cè)集的定義、可測(cè)集的等價(jià)條件；可測(cè)集的基本性質(zhì)，即可測(cè)集的并、交、余，可測(cè)集的可數(shù)可加性，可測(cè)集列的極限性質(zhì)；可測(cè)集的判別方法；常見的可測(cè)集類，即零測(cè)集、區(qū)間、開集、閉集、Borel集等；可測(cè)集與Borel集的幾種關(guān)系，即集與可測(cè)集、集與可測(cè)集，可測(cè)集與Borel集的關(guān)系。識(shí)記：外測(cè)度的定義；外測(cè)度的基本性質(zhì)；可測(cè)集的定義；可測(cè)集的基本性質(zhì)；常見的可測(cè)集類；可測(cè)集與Borel集的幾種關(guān)系。理解：外測(cè)度的定義；外測(cè)度的基本性質(zhì)以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用；可測(cè)集的定義及等價(jià)條件；可測(cè)集的基本性質(zhì)及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用；常見的可測(cè)集類；可測(cè)集與Borel集的幾種關(guān)系。應(yīng)用：外測(cè)度的基本性質(zhì)以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用；可測(cè)集的定義及等價(jià)條件及可測(cè)集的判別方法；可測(cè)集的基本性質(zhì)及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用；常見的可測(cè)集類；可測(cè)集與Borel集的幾種關(guān)系。（二）次重點(diǎn)勒貝格（Lebesgue）外測(cè)度的分離性；外測(cè)度與測(cè)度的計(jì)算；可測(cè)集與Borel集之間幾種關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用。識(shí)記：勒貝格（Lebesgue）外測(cè)度的分離性；幾類典型集合的外測(cè)度或測(cè)度。理解：勒貝格（Lebesgue）外測(cè)度的分離性；幾類典型集合的外測(cè)度或測(cè)度的計(jì)算步驟。應(yīng)用：可測(cè)集與Borel集之間幾種關(guān)系的簡(jiǎn)單。（三）一般乘積空間與乘積測(cè)度。識(shí)記：乘積空間與乘積測(cè)度。理解：乘積測(cè)度的計(jì)算公式。應(yīng)用：乘積測(cè)度的計(jì)算公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用。第三章可測(cè)函數(shù)一、學(xué)習(xí)目的與要求通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)了解建立可測(cè)函數(shù)概念的步驟和過程，即先定義非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，再用非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的極限定義非負(fù)可測(cè)函數(shù)，最后用集合的可測(cè)性定義一般的可測(cè)函數(shù)；理解幾乎處處的概念；理解并熟練掌握可測(cè)函數(shù)的基本性質(zhì)，即可測(cè)函數(shù)的和、差、積、商是可測(cè)函數(shù)，可測(cè)函數(shù)的上確界、下確界及可測(cè)函數(shù)的極限是可測(cè)函數(shù)；理解可測(cè)函數(shù)列依測(cè)度收斂的概念；掌握可測(cè)函數(shù)列的幾種收斂之間的關(guān)系，即依測(cè)度收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系、幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系；理解并掌握可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系。二、考核知識(shí)點(diǎn)與考核目標(biāo)（一）重點(diǎn)簡(jiǎn)單函數(shù)、非負(fù)可測(cè)函數(shù)、一般可測(cè)函數(shù)的定義及可測(cè)函數(shù)的等價(jià)定義；可測(cè)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，比如：幾乎處處性，可測(cè)函數(shù)的和、差、積、商，函數(shù)的正部、負(fù)部的可測(cè)性，可測(cè)函數(shù)列的上確界、下確界，可測(cè)函數(shù)列的極限的可測(cè)性；可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系；可測(cè)函數(shù)列的幾種收斂（幾乎處處收斂，依測(cè)度收斂）的含義，可測(cè)函數(shù)的幾種收斂性的關(guān)系，比如：幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系（包括依果洛夫（Egoroff）定理、依果洛夫逆定理）、幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂的關(guān)系、依測(cè)度收斂的性質(zhì)、勒貝格（Lebesgue）定理、黎斯（Riesz）定理；可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)、魯津（Lusin）定理及逆定理、可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系，直線上連續(xù)函數(shù)的延拓。識(shí)記：簡(jiǎn)單函數(shù)、非負(fù)可測(cè)函數(shù)、一般可測(cè)函數(shù)的定義及可測(cè)函數(shù)的等價(jià)定義；可測(cè)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)；可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系；可測(cè)函數(shù)列的幾種收斂的含義；依測(cè)度收斂的性質(zhì)、勒貝格定理、黎斯定理；魯津定理及逆定理、可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系。理解：可測(cè)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)；可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系；可測(cè)函數(shù)的幾種收斂性的關(guān)系；依測(cè)度收斂的性質(zhì)、勒貝格（Lebesgue）定理、黎斯（Riesz）定理；可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)、魯津（Lusin）定理及逆定理、可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系，直線上連續(xù)函數(shù)的延拓。應(yīng)用：可測(cè)函數(shù)的判別方法；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及魯津定理及逆定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，依測(cè)度收斂的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。（二）次重點(diǎn)可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的證明思路；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的證明思路；魯津定理的證明思路。識(shí)記：可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的的條件和結(jié)論；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的條件和結(jié)論；魯津定理及逆定理的條件和結(jié)論。理解：可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的證明思路；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的證明思路；魯津定理及逆定理的證明思路。應(yīng)用：依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及魯津定理的進(jìn)一步應(yīng)用。（三）一般函數(shù)可測(cè)的進(jìn)一步判斷；可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的證明；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的證明；魯津定理及逆定理的證明；依測(cè)度收斂的判斷及依測(cè)度收斂性質(zhì)的進(jìn)一步應(yīng)用。識(shí)記：可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理；魯津定理及逆定理。理解：可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的證明；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的證明；魯津定理的證明。應(yīng)用：函數(shù)可測(cè)的進(jìn)一步判斷；依測(cè)度收斂的判斷及依測(cè)度收斂性質(zhì)的進(jìn)一步應(yīng)用。第四章Lebesgue積分一、學(xué)習(xí)目的與要求通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)了解建立勒貝格（Lebesgue）積分的步驟和過程，即先定義非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分，再由非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)積分的極限定義非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分，進(jìn)而通過函數(shù)的正部、負(fù)部這兩個(gè)非負(fù)函數(shù)定義一般函數(shù)的勒貝格積分；熟練掌握勒貝格（積分的基本性質(zhì)，即可積函數(shù)的線性性、可積函數(shù)的幾乎處處有限性、可積函數(shù)的絕對(duì)可積性、積分的絕對(duì)連續(xù)性、可積函數(shù)的可數(shù)可加性；熟練掌握勒貝格（Lebesgue）積分關(guān)于積分與極限交換的極限定理，即勒維（Levi）單調(diào)收斂定理、法都（Fadou）定理、逐項(xiàng)積分定理和控制收斂定理；理解函數(shù)黎曼（Riemann）可積的充分必要條件是函數(shù)有界，且?guī)缀跆幪庍B續(xù)；理解并初步掌握黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系，并會(huì)運(yùn)用這一關(guān)系熟練計(jì)算一些較為簡(jiǎn)單的可積函數(shù)的勒貝格積分；理解將重積分化為累次積分的富比尼（Fubini）定理；理解勒貝格積分較之黎曼（Riemann）積分的優(yōu)越性。二、考核知識(shí)點(diǎn)與考核目標(biāo)（一）重點(diǎn)非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分定義、狄利克萊函數(shù)的勒貝格積分；非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)，比如：的唯一性、單調(diào)性、線性、有限可加性、簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分的極限性質(zhì)；非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的定義；非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)，比如：唯一性、單調(diào)性、有限可加性；非負(fù)可測(cè)函數(shù)列的積分收斂性質(zhì)，比如：勒維（Levi）單調(diào)收斂定理、逐項(xiàng)積分定理、法都（Fadou）定理；函數(shù)的正部、負(fù)部；一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的定義；函數(shù)勒貝格可積與正部、負(fù)部勒貝格可積的關(guān)系；一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)，比如：絕對(duì)可積性、積分的線性性、可積函數(shù)的幾乎處處有限性、積分的絕對(duì)連續(xù)性；勒貝格控制收斂定理（包括有界控制收斂定理）；黎曼（Riemann）積分與勒貝格積分的關(guān)系。識(shí)記：狄利克萊函數(shù)的勒貝格（Lebesgue）積分；非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)；非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)；函數(shù)的正部、負(fù)部；函數(shù)勒貝格可積與正部、負(fù)部勒貝格可積的關(guān)系；非負(fù)可測(cè)函數(shù)列的積分收斂性質(zhì)；一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)；勒貝格控制收斂定理（包括有界控制收斂定理）；黎曼（Riemann）積分與勒貝格積分的關(guān)系。理解：非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分定義；非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的定義；一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的定義；非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)；非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)；非負(fù)可測(cè)函數(shù)列的積分收斂性質(zhì)；函數(shù)勒貝格可積與正部、負(fù)部勒貝格可積的關(guān)系；一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分的基本性質(zhì)；勒貝格控制收斂定理（包括有界控制收斂定理）；黎曼（Riemann）積分與勒貝格（Lebesgue）積分的關(guān)系。應(yīng)用：非負(fù)可測(cè)函數(shù)列的積分收斂性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用；勒貝格（Lebesgue）積分的基本性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用；勒貝格控制收斂定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。（二）次重點(diǎn)維他利（Vitali）控制收斂定理；函數(shù)在一點(diǎn)的振幅；連續(xù)函數(shù)的等價(jià)條件；函數(shù)黎曼（Riemann）可積的充分必要條件。識(shí)記：維他利（Vitali）控制收斂定理；函數(shù)在一點(diǎn)的振幅；連續(xù)函數(shù)的等價(jià)條件；函數(shù)黎曼（Riemann）可積的充分必要條件。理解：維他利（Vitali）控制收斂定理；函數(shù)在一點(diǎn)的振幅；連續(xù)函數(shù)的等價(jià)條件；函數(shù)黎曼（Riemann）可積的充分必要條件。應(yīng)用：維他利（Vitali）控制收斂定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用；函數(shù)黎曼（Riemann）可積的充分必要條件的簡(jiǎn)單應(yīng)用。（三）一般函數(shù)族的等度連續(xù)；托尼（Tonelli）定理、富比尼（Fubini）定理；富比尼定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（包括函數(shù)卷積及其性質(zhì)、分布函數(shù)）識(shí)記：函數(shù)族的等度連續(xù)；托尼（Tonelli）定理；富比尼（Fubini）定理。理解：函數(shù)族的等度連續(xù)；托尼（Tonelli）定理、富比尼（Fubini）定理。應(yīng)用：富比尼（Fubini）定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。第五章微分與積分一、學(xué)習(xí)目的與要求通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)了解數(shù)學(xué)分析中的微積分基本定理，即牛頓—萊布尼茲公式，可以推廣為勒貝格積分的情形；掌握有界變差函數(shù)、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的概念和基本性質(zhì)；掌握單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)、有界變差函數(shù)與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的關(guān)系；了解單調(diào)函數(shù)的可微性、有界變差函數(shù)的可微性和絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的可微性；理解對(duì)于勒貝格積分，牛頓—萊布尼茲公式成立的充分必要條件是被積函數(shù)是絕對(duì)連續(xù)的。二、考核知識(shí)點(diǎn)與考核目標(biāo)（一）重點(diǎn)有界變差函數(shù)的定義、變差、全變差、有界變差函數(shù)與有界函數(shù)的關(guān)系；有界變差函數(shù)的基本性質(zhì)，比如：有界變差函數(shù)的線性性、有界變差函數(shù)列的極限性；變差函數(shù)、若當(dāng)（Jordan）分解定理；絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的定義、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)的關(guān)系、不定積分的定義、不定積分與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的關(guān)系、牛頓萊布尼茲公式。識(shí)記：有界變差函數(shù)的定義、變差、全變差、有界變差函數(shù)與有界函數(shù)的關(guān)系；有界變差函數(shù)的基本性質(zhì)，比如：有界變差函數(shù)的線性性、有界變差函數(shù)列的極限性；變差函數(shù)、若當(dāng)（Jordan）分解定理；絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的定義、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)的關(guān)系、不定積分的定義、不定積分與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的關(guān)系、牛頓萊布尼茲公式。理解：有界變差函數(shù)與有界函數(shù)的關(guān)系；有界變差函數(shù)的基本性質(zhì)；若當(dāng)（Jordan）分解定理；絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的定義、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)的關(guān)系；不定積分與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的關(guān)系。應(yīng)用：有界變差函數(shù)的判定；絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的判定。（二）次重點(diǎn)單調(diào)函數(shù)的可微性、變上限函數(shù)、變上限函數(shù)的可微性、有界變差函數(shù)的可微性；絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的可微性；若當(dāng)（Jordan）分解定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。識(shí)記：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的可微性、變上限函數(shù)、變上限函數(shù)的可微性、有界變差函數(shù)的可微性；絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的可微性。理解：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的可微性、變上限函數(shù)、變上限函數(shù)的可微性、有界變差函數(shù)的可微性；絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的可微性。應(yīng)用：若當(dāng)（Jordan）分解定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用；單調(diào)函數(shù)、有界變差函數(shù)以及絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的可微性的簡(jiǎn)單應(yīng)用。（三）一般維他利（Vitali）覆蓋、維他利（Vitali）覆蓋定理、狄利（Dini）導(dǎo)數(shù)。識(shí)記：維他利（Vitali）覆蓋、維他利（Vitali）覆蓋定理、狄利（Dini）導(dǎo)數(shù)。理解：維他利（Vitali）覆蓋、維他利（Vitali）覆蓋定理、狄利（Dini）導(dǎo)數(shù)。應(yīng)用：維他利（Vitali）覆蓋定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。第三部分有關(guān)說明與實(shí)施要求一、考核的能力層次表述本大綱在考核目標(biāo)中，按照“識(shí)記”、“理解”、“應(yīng)用”三個(gè)能力層次規(guī)定應(yīng)達(dá)到的能力層次要求。各能力層次為遞進(jìn)等級(jí)關(guān)系，后者必須建立在前者的基礎(chǔ)上，其含義是：識(shí)記：能知道有關(guān)的名詞、概念、知識(shí)的含義，并能正確認(rèn)識(shí)和表述，是低層次的要求。理解：在識(shí)記的基礎(chǔ)上，能全面地把握基本概念、基本原理、基本方法，能掌握有關(guān)概念、原理、方法的區(qū)別與聯(lián)系，是較高層次的要求。應(yīng)用：在理解的基礎(chǔ)上，能運(yùn)用基本概念、基本原理、基本方法聯(lián)系學(xué)過的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)分析和解決有關(guān)理論問題和實(shí)際問題，是最高層次的要求。二、教材1、指定教材：《實(shí)變函數(shù)》．科學(xué)出版社，第一版（2006年）．編者：何穗、劉敏思、喻小培。2、參考教材：《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》．編者程其襄等．高等教育出版社?！秾?shí)變函數(shù)論》（第三版）．編者江澤堅(jiān)、吳智泉．高等教育出版社。三、自學(xué)方法指導(dǎo)1、在開始閱讀指定教材某一章之前，先翻閱大綱中有關(guān)這一章的考核知識(shí)點(diǎn)幾對(duì)知識(shí)點(diǎn)的能力層次要求和考核目標(biāo)，以便在閱讀教材時(shí)做到心中有數(shù)，有的放矢。2、閱讀教材時(shí)，要逐段細(xì)讀，逐句推敲，集中精力，吃透每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)基本概念必須深刻理解，對(duì)基本原理必須徹底弄清，對(duì)基本方法必須牢固掌握。3、在自學(xué)過程中，既要思考問題，也要做好閱讀筆記，把教材中的基本概念、原理、方法等加以整理，這可從中加深對(duì)問題的認(rèn)知、理解和記憶，以利于突出重點(diǎn)，并涵蓋整個(gè)內(nèi)容，可以不斷提高自學(xué)能力。4、完成書后作業(yè)和適當(dāng)?shù)妮o導(dǎo)練習(xí)是理解、消化和鞏固所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)分析問題、解決問題及提高能力的重要環(huán)節(jié)，在做練習(xí)之間，應(yīng)認(rèn)真閱讀教材，按考核目標(biāo)所要求的不同層次，掌握教材內(nèi)容，在練習(xí)過程中對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行合理的回顧與發(fā)揮，注重理論聯(lián)系實(shí)際和具體問題具體分析，解題時(shí)應(yīng)注意培養(yǎng)邏輯性，針對(duì)問題圍繞相關(guān)知識(shí)進(jìn)行層次（步驟）分明的論述或推導(dǎo)，明確各層次（步驟）見的邏輯關(guān)系。四、對(duì)社會(huì)助學(xué)的要求1、應(yīng)熟知考試大綱對(duì)課程提出的總要求和各章的知識(shí)點(diǎn)。2、應(yīng)掌握各知識(shí)點(diǎn)要求達(dá)到的能力層次，并深刻理解對(duì)各知識(shí)點(diǎn)的考核目標(biāo)。3、輔導(dǎo)時(shí)，應(yīng)以考試大