初中正方形性質(zhì)及判定數(shù)學(xué)試卷

#正方形性質(zhì)以及判定試題一、單選題（共8題；共16分）1?下列說法不正確的是（）A.一組鄰邊相等的矩形是正方形B.對角線相等的菱形是正方形C.對角線互相垂直的矩形是正方形D.有一個角是直角的平行四邊形是正方形2?如圖，每個小正方形的邊長為1，A,B，C是小正方形的頂點，則/ABC的度數(shù)為（）90°B.60°C.45°D.30°3?如圖，邊長為（m+3）的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），若拼成的矩形一邊長為3,則另一邊長是(*(*A.2m+3B.2m+6C.m+3D.m+64.如圖，AC，BD是矩形ABCD的對角線，過點D作DEIIAC交BC的延長線于E,則圖中與AABC全等的三角形共有（）A.1個B.2個C.3個D.4個下列命題中，真命題是（）A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B.等腰梯形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C.圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑D.垂直于同一直線的兩條直線互相垂直如圖，矩形ABCD中,AB>AD，AB=a,AN平分/DAB.DM丄AN于點M，CN丄AN于點N,貝VDM+CN的值為（用含有a的代數(shù)式表示）（）

A.aB.為D.A.aB.為D.7.如圖，已知矩形紙片ABCD，點E是AB的中點，點G是BC上的一點，ZBEG>60°，現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊，使點B落在紙片上的點H處，連結(jié)AH,則與ZBEG相等的角的個數(shù)為（）A.4B.3C.2D.18.如圖，正方形ABCD的邊長為8,在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=5，則四邊形EFGH的面積是（）AHDA.30B.34C.36D.40二、填空題（共6題；共7分）9.如圖，已知正方形ABCD，以AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE,連結(jié)DE,CE,則ZDEC=10?如圖，已知矩形ABCD沿對角線BD折疊，記點C的對應(yīng)點為C',若ZADU=20°,貝眩BDC的度數(shù)為11.如圖，E是正方形ABCD內(nèi)一點，如果△ABE是等邊三角形，那么ZDCE=如果DE的延長線交BC于G,則ZBEG=12.如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在C'處，折痕為EF,若/ABE=20°,那么厶EFC'的度數(shù)為.度.厶EFC'的度數(shù)為.度.13.正方形OA1B1Ciy\1A2B2C2>A2A3B3C3，按如圖放置，其中點A.A2、A3在x軸的正半軸上，點B】、B2、B3在直線y=-x+2上，則點An的坐標(biāo)為14?如圖，正方形ABCD的邊長為1,以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為三、綜合題（共8題；共80分）15.在平面內(nèi)正方形ABCD和正方形CEFH如圖放置，連接DE，BH兩線交于點M.M.求證：BH=DE；BH丄DE.16.在厶ABC中,AB=AC,D是BC的中點,DE丄AB,DF丄AC,垂足分別是E,F.BDC說明:DE=DF只添加一個條件，使四邊形EDFA是正方形?請你至少寫出兩種不同的添加方法.(不另外添加輔助線，無需證明。17.如圖，△ABC中，AB=AC，AD是厶ABC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E,使OE=OD，連接AE，BE.cA求證：四邊形AEBD是矩形；當(dāng)厶ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由18.如圖,△ABC是等腰直角三角形/A=90°,點P,Q分別是AB,AC上的一動點,且滿足BP=AQ,D是BC的中點.求證:△PDQ是等腰直角三角形.當(dāng)點P運動到什么位置時,四邊形APDQ是正方形,并說明理由.

19.如圖，O為矩形ABCD對角線的交點，DEIIAC,CEIIBD.試判斷四邊形OCED的形狀，并說明理由；若AB=6,BC=8,求四邊形OCED的面積.20.如圖，在等邊三角形ABC中，點20.如圖，在等邊三角形ABC中，點D是BC邊的中點，以AD為邊作等邊三角形ADE.求/CAE的度數(shù)；取AB邊的中點F,連結(jié)CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形.21.如圖所示，在AABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線上一點，過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點F,的延長線交于點F,連結(jié)AE、CF.求證：AF=CE；若AC=EF，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論.

22.如圖，四邊形ABCD是矩形，ZEDC=ZCAB,ZDEC=90°.求證：ACIIDE；過點B作BF丄AC于點F,連結(jié)EF,試判斷四邊形BCEF的形狀，并說明理由.四、解答題(共4題；共20分)AE交DG于F.求證:AE=FC+EF.24.已知：如圖，矩形ABCD的外角平分線圍成四邊形EFGH.23.如圖，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點(點G與B、CAE交DG于F.求證:AE=FC+EF.24.已知：如圖，矩形ABCD的外角平分線圍成四邊形EFGH.求證：四邊形EFGH是正方形.25.AC為正方形ABCD的對角線，E為AC上一點，且AB=AE,EF垂直AC交BC于F,求證26.如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一點，F(xiàn)為BC邊延長線上一點，且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由DB關(guān)系？請說明理由DB答案解析部分一、單選題【答案】D【考點】正方形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】當(dāng)一個四邊形既是菱形又是矩形時，它就是正方形.故答案為：D.【分析】有一個角是直角的平行四邊形可以是矩形.【答案】C【考點】勾股定理的逆定理【解析】【解答】根據(jù)勾股定理可以得到:AC=BC=T?,AB="仁.???AC2+BC2=AB2.「.△ABC是等腰直角三角形.ZABC=45°.故答案為：C.【分析】利用勾股定理和勾股定理的逆定理判斷特殊的直角三角形，從而求取特殊角的度數(shù)，是本節(jié)的重點，也為今后學(xué)習(xí)一般三角形的余弦定理做一個準(zhǔn)備.【答案】A【考點】完全平方公式的幾何背景【解析】【解答】設(shè)另一邊長為a,由面積法可得：（m+3）2=m2+3?a,?a=2m+3.故答案為：A.【分析】由于邊長為（m+3）的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），那么根據(jù)正方形的面積公式，可以求出剩余部分的面積，而矩形一邊長為3,利用矩形的面積公式即可求出另一邊長.【答案】D【考點】直角三角形全等的判定【解析】【解答】根據(jù)矩形的性質(zhì)，△CDA、△BAD、△DCB與氐A(chǔ)BC全等，因為DEIIAC，所以ZCDE=ZDCA，因為CD=DC,ZADC=ZECD，所以△ADC^△ECD，所以與厶ABC全等的三角形有4個.故答案為：D.【分析】根據(jù)題中條件，結(jié)合圖形，可得出與△ABC全等的三角形為厶ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4個.【答案】C【考點】切線長定理【解析】【解答】A、注意真命題是正確的命題.A錯在對角線還應(yīng)互相平分，故A不符合題意.B、B錯在等腰梯形不是中心對稱圖形，故B不符合題意.C、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，故C符合題意.D、D錯在結(jié)論應(yīng)是互相平行，故D不符合題意.故答案為：C.【分析】根據(jù)切線定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.【答案】C【考點】矩形的性質(zhì)【解析【解答】設(shè)AN與DC交于點P,可證DM=PM,CN=PN.設(shè)DM=x，則CN=PN=a—x,二DM2+CN=上a2故答案為：C.【分析】根據(jù)AN平分/DAB,DM丄AN于點M,CN丄AN于點N得/MDC=ZNCD=45°,所以DM+CN=（DP+PC）cos45°=CDcos45°；再根據(jù)矩形ABCD,AB=CD=a,DM+CN的值即可求出.7.【答案】B【考點】翻折變換（折疊問題）【解析】【解答】連接BH,如圖，???沿直線EG將紙片折疊，使點B落在紙片上的點H處，:.乙1=Z2,EB=EH,BH丄EG,而上1>60°,Z1HZAEH,TEB=EH,ZEBH=ZEHB,又???點E是AB的中點，EH=EB=EA,.EH壬AB,.△AHB為直角三角形，ZAHB=90°,Z3=Z4,Z1=Z3,Z1=Z2=Z3=Z4.則與ZBEG相等的角有3個。故答案為：B.【分析】連接BH,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到角相等，EB=EH,BH丄EG,貝業(yè)EBH=ZEHB，又點E是AB的中點，得EH=EB=EA，于是判斷△AHB為直角三角形，根據(jù)等角的余角相等得到與ZBEG相等的角.8.【答案】B【考點】正方形的性質(zhì)【解析【解答】由題意可知△AEH,△BFE,△CGF,△DHG都是直角邊分別為5cm和3cm的直角三角形，所以這四個直角三角形的面積為：4xgx5x3=30cm2,而正方形ABCD的面積為64cm2,所以四邊形EFGH的面積是34cm2。故答案為：B.【分析】四邊形EFGH的外圍有四個直角三角形，每個直角三角形面積=（8-5）x5-2.則四邊形EFGH面積=方形ABCD的面積-四個直角三角形面積.二、填空題【答案】30°【考點】等邊三角形的性質(zhì)【解析】【解答】△ABE為等邊三角形ZBAE=60°,ZDAE=150°,△ABE為等腰三角形，ZAED=15。同理ZBEC=15°所以ZDEC=30°故答案為：30°.【分析】由題意易證得ZDAE=150°，又AE=AB=AD，ZAED=ZADE=15°.同理ZBEC=15°，用大減小ZBAE-ZAED-ZBEC即可得到答案.【答案】55°【考點】翻折變換（折疊問題）【解析】【解答】本題考查矩形的性質(zhì)和折疊全等的問題，設(shè)ZBDC=x°，則ZADB=（90—x）°,???x=90—x+20,?x=55°故答案為：55°.【分析】由折疊的性質(zhì)可知ZBDC=ZBDU，故ZADB=ZBDC'-ZADC'=ZBDC-20。，根據(jù)ZADB+ZBDC=90°，列方程求ZBDC.【答案】ZEDC=150；ZBEG=450【考點】正方形的性質(zhì)【解析】【解答】T△ABE是等邊三角形，ZABE=ZAEB=60°，BE=AB，T四邊形ABCD是正方形，AB=BC，ZABC=ZBCD=90°，BE=BC，ZCBE=90-60°=30°，ZBCE=ZBEC=三（180°-30°）=75°，ZDCE=ZBCD-ZBCE=90°-75°=15°；由對稱性可得ZAED=ZBEC=75°，ZBEG=180°-ZAED-ZAEB=180°-75°-60°=45°.故答案為：15°；45°.【分析】根據(jù)已知可以證明△ADE和厶BCE是兩個全等的等腰三角形，由此可求得ZBEC的度數(shù)，從而即可求得ZDCE的度數(shù)；由上一問得到的結(jié)論應(yīng)用上列等式ZBEG=180°-ZAED-ZAEB，代入數(shù)值即可得解.【答案】125【考點】翻折變換（折疊問題）【解析】【解答】???在矩形ABCD中，ZABE=20°，?ZAEB=70°.T點D與點B重合，「.ZBEF=ZDEF==55°，TADIIBC，?ZBFE=ZDEF=55°.「.ZEFC=180°—55°=125°.V點C的對應(yīng)點是C',ZEFC'=125°故答案為：125.【分析】由折疊的性質(zhì)知：ZEBC'、ZBC'F都是直角，因此BEIC'F,那么ZEFC'和ZBEF互補，欲求ZEFC'的度數(shù)，需先求出ZBEF的度數(shù)；根據(jù)折疊的性質(zhì)知ZBEF=ZDEF，而ZAEB的度數(shù)可在RtAABE中求得，由此可求出ZBEF的度數(shù)，即可得解.【答案】（2n-1,2n-1）【考點】與一次函數(shù)相關(guān)的規(guī)律問題【解析】【解答】A】的坐標(biāo)是（0,1）,A2的坐標(biāo)是：（1,2）,根據(jù)題意得：b=1,k+b=2.解得：b=1,k=1.則直線的解析式是：y=x+1.TA1B1=1,點B2的坐標(biāo)為（3,2）,二A1的縱坐標(biāo)是1,A2的縱坐標(biāo)是2.在直線y=x+1中，令x=3，則縱坐標(biāo)是：3+1=4=22；則A4的橫坐標(biāo)是：1+2+4=7，則A4的縱坐標(biāo)是：7+1=8=23；據(jù)此可以得到An的縱坐標(biāo)是：2n-1，橫坐標(biāo)是：2n-1-1.故答案為：（2n-1,2n-1）.【分析】首先根據(jù)直線的解析式，分別求得亠，A2，A3…的坐標(biāo)，可以得到一定的規(guī)律，據(jù)此即可求解?此題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和坐標(biāo)的變化規(guī)律，正確得到點的坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵【答案】【考點】正方形的性質(zhì)【解析】【解答】解：T四邊形ABCD為正方形，AB=BC=1，ZB=90°,二AC2=12+22,AC=J［；同理可求：AE=（圏）2,HE=（雋）3...,.第n個正方形的邊長an=（返）n-1.故答案為：（#］）n-1.【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出ZB=90°,AB=BC=1，根據(jù)勾股定理求出AC，再次應(yīng)用勾股定理可以求出AE,依次類推得到規(guī)律.三、綜合題【答案】（1）證明：在正方形ABCD與正方形CEFH中，BC=CD,CE=CH,ZBCD=ZECH=90°,.ZBCD+ZDCH=ZECH+ZDCH,即ZBCH=ZDCE,.△BCH竺△DCE,BH=DE（2）證明：由（1）得，ZCBH=ZCDE,ZDMB=ZBCD=90°,.BH丄DE【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD,CE=CH,ZBCD=ZECH=90°,然后求出ZBCH=ZDCE,再利用"邊角邊"證明△BCH和厶DCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；由⑴得ZCBH=ZCDE，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出ZDMB=ZBCD=90°,再根據(jù)垂直的定義證明即可.【答案】（1）證明：連結(jié)AD,TAB=AC,D為BC的中點.AD為ZBAC的平分線.TDE丄AB,DF丄AC,ADE=DF.(2)ZBAC=90°,DE丄DF.【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】根據(jù)AAS可證明△BDE^△CDF,即可得出DE=DF；要利用上一問得到的結(jié)論DE=DF,然后再根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形，條件綜合即可證四邊形EDFA是正方形.【答案】(1)證明：T點O為AB的中點，連接DO并延長到點E,使OE=OD，A四邊形AEBD是平行四邊形，TAB=AC,AD>△ABC的角平分線，AAD丄BC,AZADB=90°,A平行四邊形AEBD是矩形(2)解：當(dāng)ZBAC=90。時,理由:TZBAC=90°,AB=AC,AD>△ABC的角平分線，AAD=BD=CD,T由(1)得四邊形AEBD是矩形，A矩形AEBD是正方形【考點】正方形的判定【解析】【分析】利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進而由等腰三角形的性質(zhì)得出ZADB=90°,即可得AEBD是矩形；利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD=CD,進而利用正方形的判定得出即可.【答案】(1)證明：連接AD.T△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中點，AAD丄BC,AD=BD=DC,ZDAQ=ZB,又TBP=AQ,A△BPD竺△AQD,APD=QD,ZBDP=ZADQ,TZBDP+ZADP=90°,AZADP+ZADQ=ZPDQ=90°,A△PDQ為等腰直角三角形(2)解：當(dāng)P點運動到AB的中點時,四邊形APDQ是正方形;理由如下：由⑴知厶ABD為等腰直角三角形，當(dāng)P為AB的中點時,DP丄AB,即ZAPD=90°,又TZBAC=90°,ZPDQ=90°,A四邊形APDQ為矩形，又TDP=AP=WAB,A四邊形APDQ為正方形【考點】正方形的判定【解析】【分析】連接AD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD=DC,從而證明厶BPD^△AQD，得到PD=QD,ZADQ=ZBDP,則厶PDQ是等腰三角形；由ZBDP+ZADP=90°,得出ZADP+ZADQ=90°,得到△PDQ是直角三角形，從而證出△PDQ是等腰直角三角形；若四邊形APDQ是正方形，則DP丄AB,得到P點是AB的中點.19.【答案】(1)解：四邊形OCED是菱形.TDEIIAC,CEIIBD,二四邊形OCED是平行四邊形，又在矩形ABCD中，OC=OD,二四邊形OCED是菱形.(2)解：連結(jié)OE.由菱形OCED得CD丄0E,OEIIBC,又CEIIBD,??四邊形BCEO是平行四邊形..OE=BC=8,…S四邊形E亍丞OE?CD=丞x8x6=24【考點】菱形的性質(zhì)【解析【分析】首先由CEIIBD,DEIIAC,可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OD，即可判定四邊形CODE是菱形，由矩形的性質(zhì)可知四邊形OCED的面積為矩形ABCD面積的一半.【答案】(1)解：在等邊三角形ABC中，T點D是BC邊的中點,.ZDAC=30°.又???△ADE為等邊三角形，?ZDAE=60°.ZCAE=ZDAE-ZDAC=30°(2)解：由⑴知,ZEAF=90°,由F為AB的中點知，ZCFA=90°,.CFIIEA.在等邊三角形ABC中，CF=AD.在等邊三角形ADE中，AD=EA.CF=EA.?四邊形AFCE為平行四邊形.又TZCFA=90°,?四邊形AFCE為矩形.【考點】矩形的性質(zhì)【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的特點，易求得ZDAC=30°,則ZCAE=ZDAE-ZDAC.先證明四邊形AECF是平行四邊形，然后根據(jù)ZCFA=ZFAE=90°,由矩形的定義判定四邊形AFCE是矩形.【答案】(1)證明：在厶ADF和厶CDE中，TAFIIBE,?ZFAD=ZECD.又TD是AC的中點，?AD=CD.TZADF=ZCDE,?△ADF竺△CDE,?AF=CE.(2)證明：若AC=EF，則四邊形AFCE是平行四邊形.由(1)知AFIICE,AF=CE,?四邊形的AFCE是平行四邊形，又TAC=EF,?四邊形AFCE是矩形【考點】矩形的性質(zhì)【解析】【分析】由已知條件證明厶ADF^△CDE得到AF=CE.矩形的對角線相等且互相平分，證明矩形就是證明對角線相等.22【答案】(1)證明：在矩形ABCD中，ACIIDE,AZDCA=ZCAB.VZEDC=ZCAB,AZDCA=ZEDC,ACIIDE(2)解：四邊形BCEF是平行四邊形．理由：由ZDEC=90°,BF丄AC,可得ZAFB=ZDEC=90°,又ZEDC=ZCAB,AB=CD,A△DEC竺△AFB,ADE=AF,由⑴得ACIIDE,A四邊形AFED是平行四邊形，AADIEF且AD=EF,T在矩形ABCD中,ADIBC且AD=BC,AEFIIBC且EF=BC,A四邊形BCEF是平行四邊形：【考點】平行四邊形的判定【解析】【分析】要證ACIIDE，只要證明，ZEDC=ZDCA即可；要判斷四邊形BCEF的形狀，可以先猜后證,利用三角形的全等,證明四邊形的兩組對邊分別相等.四、解答題【答案】解：T四邊形ABCD是正方形，AAD=DC,ZADC=90°,又TAE丄DG,CFIIAE,AZAED=ZDFC=90°,AZEAD+ZADE=ZFDC+ZADE=90°,AZEAD=ZFDC,A△AED竺△DFC(AAS),AAE=DF,ED=FC,TDF=DE+EF,