趣味數(shù)學-高斯求和 完整版課件

1、趣味數(shù)學 數(shù)學家的故事高斯 1796年的一天，德國哥廷根大學，一個19歲的青年吃完晚飯，開始做導師單獨布置給他的每天例行的數(shù)學題。 正常情況下，青年總是在兩個小時內(nèi)完成這項特殊作業(yè)。 像往常一樣，前兩道題目在兩個小時內(nèi)順利地完成了。第三道題寫在一張小紙條上，是要求只用圓規(guī)和一把沒有刻度的直尺做出正17邊形。 青年沒有在意，像做前兩道題一樣開始做起來。然而，做著做著，青年感到越來越吃力。 困難激起了青年的斗志：我一定要把它做出來！他拿起圓規(guī)和直尺，在紙上畫著，嘗試著用一些超常規(guī)的思路去解這道題。當窗口露出一絲曙光時，青年長舒了一口氣，他終于做出了這道難題。 作業(yè)交給導師后，導師當即驚呆了。他用顫

2、抖的聲音對青年說：“這真是你自己做出來的？你知不知道，你解開了一道有兩千多年歷史的數(shù)學懸案？阿基米德沒有解出來，牛頓也沒有解出來，你竟然一個晚上就解出來了！你真是天才！我最近正在研究這道難題，昨天給你布置題目時，不小心把寫有這個題目的小紙條夾在了給你的題目里。” 多年以后，這個青年回憶起這一幕時，總是說：“如果有人告訴我，這是一道有兩千多年歷史的數(shù)學難題，我不可能在一個晚上解決它?！?這個青年就是數(shù)學王子高斯。 有些事情，在不清楚它到底有多難時，我們往往能夠做得更好，這就是人們常說的無知者無畏。 高斯是貧寒家庭出身。他的祖父是農(nóng)民，父親除了從事園藝的工作外，也當過各色各樣的雜工，如護堤員、建筑

3、工等等。父親由于貧窮，本身沒有受過什么教育。 母親在三十四歲時才結(jié)婚，三十五歲生下了高斯。她是一名石匠的女兒，有一個很聰明的弟弟，他手巧心靈是當?shù)爻雒目椌I能手，高斯的這位舅舅，對小高斯很照顧，有機會就教育他，把他所知道的一些知識傳授給他。而父親可以說是一名”大老粗”，認為只有力氣能掙錢，學問對窮人是沒有用的。 高斯在晚年喜歡對自己的小孫兒講述自己小時候的故事，他說他在還不會講話的時候，就已經(jīng)學會計算了。 高斯還不到三歲的時候，有一天他觀看父親在計算受他管轄的工人們的周薪。父親在喃喃的計數(shù)，最后長嘆的一聲表示總算把錢算出來。 父親念出錢數(shù)，準備寫下時，身邊傳來微小的聲音：“爸爸！算錯了，錢應該

4、是這樣”。 父親驚異地再算一次，果然小高斯講的數(shù)是正確的，奇特的地方是沒有人教過高斯怎么樣計算，而小高斯平日靠觀察，在大人不知不覺時，他自己學會了計算。 當他還在小學讀書時，有一天，算術(shù)老師要求全班同學算出以下的算式：1+2+3+4+98+99+100=？ 在老師把問題講完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地寫下答案5050，而其它孩子算到頭昏腦脹，還是算不出來。最后只有高斯的答案是正確無誤。 原來：1+100=101，2+99=101，3+98=10150+51=101 前后兩項兩兩相加，就成了50對和都是101的配對了即10150=5050。高斯的算法123499100？110029939

5、849525051。1100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）10025050。數(shù)列 小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個數(shù)按照一定的順序規(guī)律排列起來就是一個數(shù)列。 如果在這個數(shù)列中，任意兩個相鄰的數(shù)之間的差都相等，我們就把這個數(shù)列稱為等差數(shù)列。其中第一個數(shù)稱為首項，最后一個數(shù)稱為末項。相鄰兩個數(shù)之間的差稱為公差，這列數(shù)中數(shù)的個數(shù)稱為項數(shù)。 例 如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。 其中（1）是首項為1，末項為

6、100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。 由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式： 和=（首項+末項）項數(shù)2。 例1 1231999？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，1999是等差數(shù)列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得（11999）199921999000注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例2 11121331？分析與解：這串加數(shù)11，12，13，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有31-11121（項）。 （11+31）212=441在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到 項數(shù)=（末項-首項）公差+1 末項=首項+公差（項數(shù)-1）例3 371199？分析與解：3，7，11，99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=（993）4125， （399）2521275例4 求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。想：末項=253（40-1）142 （25142）4023340利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求