2021年北京市高考數(shù)學壓軸題預測附答案解析

2021年高考數(shù)學壓軸題預測

1.已知函數(shù)/(x)=3(X-1)山-或有兩個不同的零點(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)當X<-1時，求證：(X-1)^'>-6^；

(2)求實數(shù)k的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(X)的兩個零點為幻、X2,求證：e^+eMVe.

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的最值.

【分析】⑴問題轉化為(x-l)e與1+1>0,令x-l=f,則-2,設g(r)=fe2+L

利用導數(shù)求出最值即可證明；

(2)利用導數(shù)求出函數(shù)的最值，再分類討論即可求出&的取值范圍；

均+1%2+1%i+l

。~2-Q-2--2-1

(3)根據(jù)函數(shù)零點定理可得靖】+e*2<-(-----+------),再分別求H[----->一二，

xx-l冷一1%1—12

%2+1

【解答】證明：(1)當XV-1時，要證(X-1)/7>-。丁，

只需證明(x-1)e竽+1>0,

令X-1=1,則?-2,設g(力=te2+1,

ti

則g'(力=e2(1+之/),

當，V-2時，g'(力VO,在(-8,-2)上，g(力為單調遞減函數(shù)，

此時g⑺>g(-2)=1-^>0,

所以原不等式成立.

解：(2)?:f(x)=3x/,

當xVO時，/(x)<0,當xVO時，當/(x)>0,

可得函數(shù)/G)在(-8,o)上為單調遞減函數(shù)，在(0,+8)上為單調遞增函數(shù),

所以/(尤)min=f(0)=-3-ek,

(/)當-或23時，f(x)加"20,不合題意，

(")當-或W0時，/(1)=-ek,若xVl,則/(x)<-ek,

當時，f(x)Nek,

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又因為當X<-1時，由(1)可得/(x)>-eT-次，

%—1

由—e2—ek>0得x<2ln(-ek)+1,

取xo滿足M)V-1且刈V2加(-ek)+1,則/(xo)>0,

所以/(X)在(-8,1)上有唯一的零點，

綜上所述，—稱VfcVO.

證明：(3)函數(shù)/(%)的兩個零點為XI、X2,

所以3(X1-1)e"1-1—或=0,

同理3Cx2-1)e—或=o,

由(1)得(川-1)。>—e2,(x2-DeMT>—e

%1+1%2+1

e~2~

所以靖1+e%2v—(+

-1%211

因為xV,所以,<0,

所以e*i+e*2viVe.

2.已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)-ax(a>0).

(1)討論函數(shù)/?(x)=f(x)+g(x)的極值點；

(2)若xi,工2(xi<X2)是方程/(x)-幺?+：=0的兩個不同的正實根，證明：XI2+X22

xJ%

>4a.

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.

【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求

出函數(shù)的極值點；

(2)求出加:+3=0,令k(x)=加/+3(x>0,a>0),設，=合(f>1),問題轉化

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為證明2lnP-?4-\<0(r>l),令q(x)=2lnx-(x>l),求出函數(shù)的導數(shù)，根

據(jù)函數(shù)的單調性證明即可.

【解答】解：(1)h(x)=f(x)+g(x)=//7J：4-X2-ax(x>0)(?>0),

2

jf/x1,o2x-ax4-l

n(x)=-x+2x-a=-------x-------,

令It2-以+1=0,△=/-8,

當0VaW2夜時，△4()，h'(x)20,無極值點,

當q>2位時，令2?-ax+l=0,解得：*=竺星

,a-Va2-8a+Va2-8

當那(0,-------------),(--------------+8)時，h'(x)>0,h(x)遞增,

44

a-Va2-8a+Va2-8,

--------,---------)時,h'(x)<0,h(x)遞減,

44

a+Va2-8

故人(x)極大值點是極小值點是

4

綜上：0Va<2或時，h(x)無極值點,

,—Q-Vu2—go+Va2-8

a>2/時，h(x)極大值點是---------,極小值點是---------；

44

(2)由于(x)—+?=lnx-%x：x+3=0,即/mH■苴=0,

令k(x)=lnx+當(x>0,a>0),

k'(x)=-—令k'(x)=0,得x=五己,

x爐%-5

當OVxvV^時，kf(x)<0,當x>瘍時，k'(x)>0,

:.k(x)在(0,V2a)遞減，在(怎，+8)上遞增，

又,：k(x)有2個零點,

：.k(V2a)<0,即妨伍+言<0,解得：OVaV-

且4?兩式相減得：Inxi-lnx\=-^7

xx22,

Ilnx2+-^-2—0i

設，=9(r>1),：.lnt=-----±7，

巧勺2理勺2

.?.xj=卷(1-/),要證明x12+x22>4a,

即證明(〉產唱(

l+?X4a,(1+if)>4。,

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1

(1+p)—-(1-4)>2，

Int2t2

即證明21nB-尸d—2VO(，>1),

tZ

令q(x)=