線性代數(shù)習(xí)題(復(fù)旦版)1

線性代數(shù)習(xí)題及答案習(xí)題一求以下各擺列的逆序數(shù).(1)9；(2)1；(3)(1)321；(4)13(2n1)(2)(2n2)2.nnn【解】τ(9)=11;τ(1)=36;(3)τ(n(n1)3·2·1)=0+1+2++(nn(n1)1)=;2(4)τ(13(2n1)(2n)(2n2)2)=0+1++(n1)+(n1)+(n2)++1+0=n(n1).略.賜教材習(xí)題參照答案.略.賜教材習(xí)題參照答案.5x1234.本隊(duì)列式D4xx12的睜開式中包括x3和x4的項(xiàng).12x3x122x解：設(shè)D4(1)(i1i2i3i4)ai1ai2ai3ai4，此中i1,i2,i3,i4分別為不一樣列中對應(yīng)元素i1i2i3i41234的行下標(biāo)，則D4睜開式中含x3項(xiàng)有(1)(2134)x1x2x(1)(4231)xxx32x3(3x3)5x3D4睜開式中含x4項(xiàng)有(1)(1234)2xxx2x10x4.5.用定義計算以下各隊(duì)列式.020012300010(2)0020(1)00；304.30500040001【解】(1)D=(1)τ(2314)4!=24;(2)D=12.計算以下各隊(duì)列式.2141abacae3121(2)bdcdde；(1)23；12bfcfef5062a10012341b10；(4)2341.(3)1c134120001d41235062【解】(1)Dr1r231210;12325062111(2)Dabcdef1114abcdef;111b10110c111(3)Da1c1(1)20c1ab1d0cd101d01ddabcdabadcd1;102341023410234c1c210341r2r10113r32r20113(4)Dr3r1r4r2160.c1c302220044cc410412rr1411012301110004證明以下各式.a2abb2(1)2aab2b(ab)2；111a2(a1)2(a2)2(a3)2b2(b1)2(b2)2(b3)20；(2)(c1)2(c2)2(c3)2c2d2(d1)2(d2)2(d3)21a2a31aa2(3)1b2b3(abbcca)1bb21c2c31cc2a00bON0ab0(4)D2ncd(adbc)n；00NOc00d1a11L1(5)11a2L1n1nMMM1aiai.i1i1111an【證明】(1)cc(ab)(ab)b(ab)b213左端c32(ab)ab2bc2001(ab)(ab)b(ab)(ab)2abb(ab)3右端.2(ab)ab21a22a14a46a9c2-c1b22b14b46b9(2)左端c22c14c46c9ccc3c141d22d14d46d9

a22a126c3-2c2b22b126右端.c43c2c22c1206d22d126第一考慮4階范德蒙隊(duì)列式:1xx2x31aa2a3(xa)(xb)(xc)(ab)(ac)(bc)(*)f(x)bb2b311cc2c3從上邊的4階范德蒙隊(duì)列式知，多項(xiàng)式f(x)的x的系數(shù)為1aa2(abbcac)(ab)(ac)(bc)(abbcac)1bb2,1cc2但對（*）式右端隊(duì)列式按第一行睜開知x的系數(shù)為二者應(yīng)相等，故1a2a3(1)111b2b3,1c2c3(4)對2n按第一行睜開，得Dab00abONONababD2nacdbcdNONOcd00cd00dc00adD2(n1)bcD2(n1)(adbc)D2(n1),據(jù)此遞推下去，可得D2n(adbc)D2(n1)(adbc)2D2(n2)L(adbc)n1D2(adbc)n1(adbc)(adbc)nD2n(adbc)n.對隊(duì)列式的階數(shù)n用數(shù)學(xué)概括法.當(dāng)n=2時，可直接驗(yàn)算結(jié)論建立，假定對這樣的n1階隊(duì)列式結(jié)論建立，從而證明階數(shù)為n時結(jié)論也建立.按Dn的最后一列，把Dn拆成兩個n階隊(duì)列式相加：1a11L11a11L1011a2L1011a2L11Dn1LLLLLLLLLL1L1an1011L1111L1an1a1a2Lan1anDn1.但由概括假定n11Dn1a1a2Lan11,i1ai從而有n11Dna1a2Lan1ana1a2Lan11aii1n1n1na1a2Lan1an11ai.i1aii1aii18.計算以下n階隊(duì)列式.x1L1122L2222L21xL1(1)Dn(2)Dn223L2；MMMLLLLL11Lx222Lnxy0L000xyL00(3)DnLLLLLL.(4)Dnaij此中aijij(i,j1,2,L,n)；000Lxyy00L0x210L00121L00Dn012L00(5)MMM.MM000L21000L12【解】(1)各行都加到第一行，再從第一行提出x+(n1),得11L1Dn[x(n1)]1xL1MM,M11Lx將第一行乘（1）后分別加到其他各行，得11L1Dn[x(n1)]1x1L0(xn1)(x1)n1.MMM00Lx11222L2222L21000L0010L0r2r11010L0(2)按第二行睜開002L02(n2)!.Dnr3Mr11002L0rnr1MMMMMMMMLM1000Ln2000n2隊(duì)列式按第一列睜開后，得xy0L00y00L000xyL00xy0L00DnxMMMMMMy(1)n10xyL00000LxyMMMMMy00L0x000Lxyxx(n1)y(1)(n1)y(n1)xn(1)n1yn.(4)由題意，知a11a12La1n012Ln1101Ln2a21a22La2nDn210Ln3MMMMMMMan1an2Lannn1n2n3L0012Ln2n1111L11后一行減去前一行111L11自第三行起后一行減去前一行MMMMM111L11111L11012Ln2n112Ln2n1111L1120L00020L0002L00MMMM按第一列睜開MMMMM000L0000L20000L2020L0按第n-1列睜開(1)n1(n02L0(1)n1(n1)2n2.1)MMM00L2210L00200L00010L00121L00121L00121L00(5)012L00012L00012L00DnMMMMMMMMMMMMMMM000L21000L21000L21000L12000L12000L122Dn1Dn2.即有DnDn1Dn1Dn2LD2D11由DnDn1Dn1Dn2LD2D1n1得DnD1n1,Dnn12n1.9.計算n階隊(duì)列式.1a1a2LanDna11a2LanMMMa1a2L1ann【解】各列都加到第一列，再從第一列提出1ai，得i11a2a3Lann11a2a3LanDn1ai1a21a3Lan,i1MMMM1a2a3L1an將第一行乘（1）后加到其他各行，得1a2a3Lann010L0nDn1ai001L01ai.i1MMMMi1000L110.計算n階隊(duì)列式（此中ai0,i1,2,L,n）.a1n1a2n1a3n1Lann1a1n2b1a2n2b2a3n2b3Lann2bnDnMMMM.a1b1n2a2b2n2a3b3n2Lanbnn2b1n1b2n1b3n1Lbnn1【解】隊(duì)列式的各列提取因子anj1(j1,2,L,n),而后應(yīng)用范德蒙隊(duì)列式.111L1b1b2b3Lbna1a2a3anb12b2222Dn(a1a2Lan)n1b3bna1a2a3anLLLLLb1n1b2n1n1n1b3Lbna1a2a3an(a1a2Lan)n1bibj.aiaj1jin11.已知4階隊(duì)列式1234D43344156;71122試求A41A42與A43A44，此中A4j為隊(duì)列式D4的第4行第j個元素的代數(shù)余子式.【解】234134A41A42(1)41344(1)423443912.567167同理A43A441569.12.用克萊姆法例解方程組.x1x2x35,5x16x21,x15x26x30,2x1x2x3x41,(1)(2)x25x36x40,x12x2x3x42,x35x46x50,x22x33x43.x45x51.【解】方程組的系數(shù)隊(duì)列式為1110111013113121110131D121052180;121101211230140123012351101510D1111118;D2211136;221112113123032311501115D3211136;D4211118.1221121201330123故原方程組有唯一解，為x1D11,x2D22,x3D32,x4D41.DDDD2)D665,D11507,D21145,D3703,D4395,D5212.x11507,x2229,x337,x479,x5212.66513335133665λ和μ為何值時，齊次方程組x1x2x30,x1x2x30,x12x2x30有非零解【解】要使該齊次方程組有非零解只要其系數(shù)隊(duì)列式11110,121即(1)0.故0或1時，方程組有非零解.問：齊次線性方程組x1x2x3ax40,x12x2x3x40,x1x23x3x40,x1x2ax3bx40有非零解時，a,b一定知足什么條件【解】該齊次線性方程組有非零解，a,b需知足111a12111130,111ab即(a+1)2=4.b15.求三次多項(xiàng)式f(x)a0a1xa2x2a3x3，使得f(1)0,f(1)4,f(2)3,f(3)16.【解】依據(jù)題意，得f(1)a0a1a2a30;f(1)a0a1a2a34;f(2)a02a14a28a33;f(3)a03a19a227a316.這是對于四個未知數(shù)a0,a1,a2,a3的一個線性方程組，因?yàn)镈48,D0336,D10,D2240,D396.故得a07,a10,a25,a32于是所求的多項(xiàng)式為f(x)75x22x3求出使一平面上三個點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)位于同向來線上的充分必需條件.【解】設(shè)平面上的直線方程為ax+by+c=0(a,b不一樣時為0)按題設(shè)有ax1by1c0,ax2by2c0,ax3by3c0,則以a,b,c為未知數(shù)的三元齊次線性方程組有非零解的充分必需條件為x1y11x2y210x3y31上式即為三點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)位于同向來線上的充分必需條件.習(xí)題二計算以下矩陣的乘積.150011（1）=3210；（2）0312；2021333a11a12a13x12（3）（4）x1x2x3a21a22a23x2；1234；1a31a32a33x30a11a12a13101210103101010121a21a22a23010（5）1；（6）021002.a31a32a330003100300030【解】321053210(1);(2)3;(3)(10);642019630(4)a11x12a22x22a33x3233(a12a21)x1x2(a13a31)x1x3(a23a32)x2x3aijxixji1j1a11a12a12a1312520124(5)a21a22a22a23;(6)004.a31a32a32a33300091111212.設(shè)A111，B131，111214求(1)AB2A;(2)ABBA；(3)(A+B)(AB)A2B2嗎242440【解】(1)AB2A400;(2)ABBA531;024311因?yàn)锳B≠BA,故(A+B)(AB)≠A2B2.舉例說明以下命題是錯誤的.(1)若A2O，則AO；(2)若A2A，則AO或AE；(3)若AX=AY，AO，則X=Y.【解】001(1)以三階矩陣為例，取A000,A20,但A≠0000110(2)令A(yù)000,則A2=A,但A≠0且A≠E00111021(3)令A(yù)0110,Y=1,X210110則AX=AY,但X≠Y.14.設(shè)A,求A2，A3，，Ak.01【解】A212,A313,L,Ak1k.010101105.A=01，求A2,A3并證明：00kkk1k(k1)k2Ak=k2k1.0k00k2213323【解】A2=022,A3=03300200

.3今概括假定kkk1k(k1)k2Ak=k2k10k00k那么Ak1AkAkkk1k(k1)k210=k2k101k00000kk1(k1)kk(k1)k1k12k,0(k1)00k1所以，對于全部自然數(shù)k,都有kkk1k(k1)k2Ak=k2k1.0k00k6.已知AP=PB，此中100100B=000,P=210001211求A及A5.【解】因?yàn)閨P|=1≠0,故由AP=PB,得100APBP1200,611而A5(PBP1)5P(B)5P1100100100100210000210200A.211001411611abcdbadc7.設(shè)A=，求|A|.cdabcba解：由已知條件，A的陪伴矩陣為abcdA=(a2b2c2d2)badc(a2b2c2d2)Acdabdcba又因?yàn)锳A=AE，所以有(a2b2c2d2)A2=AE，且A0，即(a2b2c2d2)A2=(a2b2c2d2)44AA=AE于是有已知線性變換

A(a2b2c2d2)4(a2b2c2d2)2.x12y1y2,y13z1z2,x22y13y22y3,y22z1z3,x34y1y25y3;y3z23z3,利用矩陣乘法求從z1,z2,z3到x1,x2,x3的線性變換.【解】已知x1210y1Xx2232y2AY,x3415y3y1310z1Yy2201z2Bz,y3013z3421XAYABz1249z,10116從而由z1,z2,z3到x1,x2,x3的線性變換為x14z12z2z3,x212z14z29z3,x310z1z216z3.9.設(shè)A，B為n階方陣，且A為對稱陣，證明：BAB也是對稱陣.【證明】因?yàn)閚階方陣A為對稱陣，即A′=A,所以(B′AB)′=B′A′B=B′AB,故BAB也為對稱陣.10.設(shè)，為n階對稱方陣，證明：為對稱陣的充分必需條件是=.ABABABBA【證明】已知′=,′=，若是對稱陣，即()′=.AABBABABAB則AB=(AB)′=B′A′=BA,反之，因AB=BA,則(AB)′=B′A′=BA=AB,所以，AB為對稱陣.A為n階對稱矩陣，B為n階反對稱矩陣，證明：B2是對稱矩陣.ABBA是對稱矩陣，AB+BA是反對稱矩陣.【證明】因A′=A,B′=B,故(B2)′=B′·B′=B·(B)=B2;(ABBA)′=(AB)′(BA)′=B′A′A′B′=BAA·(B)=ABBA;(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′=BA+A·(B)=(AB+BA).所以B2是對稱矩陣，ABBA是對稱矩陣，AB+BA是反對稱矩陣.1求與A=可互換的全體二階矩陣.1ab【解】設(shè)與A可互換的方陣為,則由cd11abab1101c=cd0,d1得acbdaabcdcc.d由對應(yīng)元素相等得c=0,=,即與A可互換的方陣為全部形如ab的方陣，此中a,bda0a為隨意數(shù).10013.求與A=012可互換的全體三階矩陣.012【解】因?yàn)?00A=E+002,013并且由a1b1c1000000a1b1c1a2b2c2002002a2b2c2,a3b3c3013013a3b3c3可得0c12b13c10000c22b23c22a32b32c3.0c32b33c3a23a3b23b3c23c3由此又可得c10,2b13c10,2a30,a23a30,c22b3,c3b23b3,2b23c22c3,2b33c3c23c3,所以a2a3b1c10,c22b3,c3b23b3.a100即與A可互換的全部方陣為0b22b3此中a1,b2,b3為隨意數(shù).0b3b23b314.求以下矩陣的逆矩陣.12123(1)；(2)012；2500112110001200(3)342(4)；213；541012145200a1(5)2100(6)a2a1,a2,L,an0，008；3O0052an未寫出的元素都是0（以下均同，不另注）.【解】52(1);(2)2112601(3)741;(4)63214212002500(6)(5)02;030058利用逆矩陣，解線性方程組

121012;0011000110022;111263015118241241a11a2.O1anx1x2x31,2x22x31,x1x22.111x11111【解】因022x21,而0220110x32110故x1111111011221x2022101113.x311022221112證明以下命題：(1)若A，B是同階可逆矩陣，則（AB）*=B*A*.若A可逆，則A*可逆且（A*）1=（A1）*.若AA′=E,則（A*）′=(A*)1.【證明】（1）因?qū)﹄S意方陣c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同階，故可得|A|·|B|·B*A*=|AB|E(B*A*)=(AB)*AB(*****BA)=(AB)A(BB)A=(AB)***.A|B|EA=|A|·|B|(AB)∵|A|≠0,|B|≠0,∴(AB)*=B*A*.(2)因?yàn)锳A*=|A|E,故A*=|A|A1,從而(A1)*=|A1|(A1)1=|A|1A.于是*1*A|A11A(A)=|·|A|A=E,所以(A1)*=(A*)1.因AA′=E，故A可逆且A1=A′.由(2)(A*)1=(A1)*,得(A*)1=(A′)*=(A*)′.已知線性變換x12y12y2y3,x23y1y25y3,x33y12y23y3,求從變量x1,x2,x3到變量y1,y2,y3的線性變換.【解】已知x1221y1Xx2315y2AY,x3323y3且|A|=1≠0,故A可逆，因此749YA1X637X,324所以從變量x1,x2,x3到變量y1,y2,y3的線性變換為y17x14x29x3,y26x13x27x3,y33x12x24x3,18.解以下矩陣方程.(1)12X=46132；1211211(2)X210210；111111(3)14X2031121=01；1010100043(4)100X001201.001010120【解】(1)令=12;=46.因?yàn)锳132A13B2111故原方程的唯一解為XA1B324682011212.7同理X100X11X210(2)010;(3)1;(4)034.===00140102若Ak=O(k為正整數(shù))，證明：(EA)1=E+A+A2+L+Ak1.【證明】作乘法(EA)(E+A+A2+L+Ak1)E+A+A2+L+Ak1AA2LAk1AkEAkE,從而EA可逆，且(EA)1=E+A+A2+L+Ak120.設(shè)方陣A知足A2－A－2E＝O，證明A及A＋2E都可逆，并求A1及(A+2E)1.【證】因?yàn)锳2A2E=0,故A2A2E1(AE)AE.2由此可知，A可逆，且11A(AE).相同地由此知，A+2E可逆，且42321.設(shè)A=110123

A2A2E0,A2A6E4E,(A3E)(A2E)4E,1(A3E)(A2E)E.(A2E)11(A3E)1(AE)2.44，AB=A+2B,求B.【解】由AB=A+2B得(A2E)B=A.而223A2E11010,121即A2E可逆，故2231234B(A2E)1A110110121123143423386153110296.164123212922.設(shè)P1AP=.此中P=14，=10，求A10.1102【解】因P1可逆，且P1114,故由A=PP1311得A10(PP1)10P(10)P114110143301102113314101433110210113311212421213651364312104210341.34023.設(shè)m次多項(xiàng)式f(x)a0a1xLamxm，記f(A)a0Ea1ALamAm,f(A)稱為方陣A的m次多項(xiàng)式.(1)A=1，證明2Ak=

kf(1)1，f(A)k；f(2)2(2)設(shè)A=P1BP，證明Bk=PAkP1，f(B)Pf(A)P1.【證明】2030(1)A21,A31即k=2和k=3時，結(jié)論建立.020322今假定kk0A10k,2那么k1kk010k10AAA=110k020k1,22所以，對全部自然數(shù)k，都有k0Ak10k,2而f(A)a0E+a1A+L+amAm1ma011a1+L+amm122a0a11+Lm0+am10a0a12+Lm+am2f(1).f(2)(2)由(1)與A=P1BP,得B=PAP1.且Bk=(PAP1)k=PAkP1,又f(B)a0Ea1BLamBma0Ea1PAP1LamPAmP1P(aEaA+LaAm)P101mPf(A)P1.24.A=ab，證明矩陣知足方程x2(ad)xadbc0.cd【證明】將A代入式子x2(ad)xadbc得A2(ad)A(adbc)Ea2ab10b(ad)(adbc)cdcd01a2bcabbda2adabbdadbc0accdcbd2accdadd20adbc000.00故A知足方程x2(ad)xadbc0.設(shè)n階方陣A的陪伴矩陣為A，證明：(1)若｜A｜＝０，則｜A｜＝０；(2)AAn1.【證明】（1）若|A|=0，則必有|A*|=0，因若|A*|≠0，則有A*(A*)1=E,由此又得**)1=|A|(A*)1A=AE=AA(A=0,這與|A*|≠0是矛盾的，故當(dāng)|A|=0，則必有|A*|=0.(2)由AA*=|A|E，兩邊取隊(duì)列式，得|A||A*|=|A|n,若|A|≠0，則|A*|=|A|n1若|A|=0,由(1)知也有|A*|=|A|n1.26.設(shè)52003200A=21004500007,B004.3100520062求(1)AB;(2)BA;(3)A1；(4)｜A｜(k為正整數(shù)).k【解】2320001980010900;(2)301300(1)AB=04613BA=033;0014003290052221200(3)A1=2500;(4)Ak(1)k.0023005727.用矩陣分塊的方法，證明以下矩陣可逆，并求其逆矩陣.120000031250000021（1）00300；（2）10;00010202300000012010202013（3）00100.0001000001【解】(1)對A做以下分塊

A

A100A2此中12300A1A2010,2;5001A1,A2的逆矩陣分別為10052311A121;A2010,001所以A可逆，且5200021000A1A11100100.A230001000001同理(2)0310881A1A10111044A2.A2A11110505230505(3)101012211300A1222.001000001000001習(xí)題三略.賜教材習(xí)題參照答案.略.賜教材習(xí)題參照答案.略.賜教材習(xí)題參照答案.略.賜教材習(xí)題參照答案.5.112,223,334,441，證明向量組1,2,3,4線性相關(guān).【證明】因?yàn)?2342(1234)12342(13)12340所以向量組1,2,3,4線性有關(guān).6.設(shè)向量組1,2,L,r線性沒關(guān)，證明向量組1,2,L,r也線性沒關(guān)，這里i12Li.【證明】設(shè)向量組1,2,L,r線性有關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1,k2,L,kr,使得k11k22Lkrr0.把i12Li代入上式，得(k1k2Lkr)1(k2k3Lkr)2Lkrr0.又已知1,2,L,r線性沒關(guān)，故k1k2Lkr0,k2Lkr0,LLLkr0.該方程組只有唯一零解k1k2Lkr0，這與題設(shè)矛盾，故向量組1,2,L,r線性沒關(guān).略.賜教材習(xí)題參照答案.8.i(i1,i2,L,in),i1,2,L,n.證明：假如aij0，那么1,2,L,n線性沒關(guān).【證明】已知Aaij0,故()=,而A是由n個n維向量i(i1,i2,L,in),RAni1,2,L,n構(gòu)成的，所以1,2,L,n線性沒關(guān).9.設(shè)t1,t2,L,tr,是互不相同的數(shù)，r≤n證明：(1,t,L,tn1),i1,2,L,r是線性沒關(guān)iii.的.【證明】任取nr個數(shù)tr+1,,tn使t1,,tr,tr+1,,tn互不相同，于是n階范德蒙隊(duì)列式1t1t12Lt1n1MMMM1trtr2Ltrn10,1tr1tr21Ltrn11MMMM1tntn2Ltnn1從而其n個行向量線性沒關(guān)，由此知其部分行向量1,2,L,r也線性沒關(guān).10.設(shè)1,2,L,s的秩為r且此中每個向量都可經(jīng)1,2,L,r線性表出.證明：1,2,L,r為1,2,L,s的一個極大線性沒關(guān)組.【證明】若1,2,L,r(1)線性有關(guān)，且不如設(shè)1,2,L,t(t<r)(2)是(1)的一個極大沒關(guān)組，則明顯（2）是1,2,L,s的一個極大沒關(guān)組，這與1,2,L,s的秩為r矛盾，故1,2,L,r必線性沒關(guān)且為1,2,L,s的一個極大沒關(guān)組.11.求向量組1=(1,1,1,k),2=(1,1,k,1),3=(1,2,1,1)的秩和一個極大沒關(guān)組.【解】把1,2,3按列排成矩陣A，并對其實(shí)行初等變換.111111111111A1120010010k101k10k100k10001k1101k1k001k000當(dāng)k=1時，1,2,3的秩為2,1,3為其一極大沒關(guān)組.當(dāng)k≠1時，1,2,3線性沒關(guān)，秩為3，極大沒關(guān)組為其自己.12.確立向量3(2,a,b),使向量組1(1,1,0),2(1,1,1),3與向量組1=(0,1,1),2=(1,2,1),3=(1,0,1)的秩相同，且3可由1,2,3線性表出.【解】因?yàn)?11120A(1,2,3)120011;111000112112B(1,2,3)11a01b,01b00a2而()=2,要使()=()=2,需a2=0,即a=2,又RARARB0112120ac(1,2,3,3)120a0112,111b000ba2要使3可由1,2,3線性表出，需ba+2=0,故a=2,b=0時知足題設(shè)要求，即3=(2,2,0).13.設(shè)1,L,n為一組n維向量.證明：1,2,L,n線性沒關(guān)的充要條件是任一n維2,向量都可經(jīng)它們線性表出.【證明】充分性:設(shè)隨意n維向量都可由1,2,L,n線性表示，則單位向量1,2,L,n，自然可由它線性表示，從而這兩組向量等價，且有相同的秩，所以向量組1,2,L,n的秩為n，所以線性沒關(guān).必需性：設(shè)1,2,L,n線性沒關(guān)，任取一個n維向量,則1,2,L,n線性有關(guān)，所以能由1,2,L,n線性表示.若向量組（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量組α１,α２,α３線性表出，也可由向量組β１,β２,β３,β４線性表出，則向量組α１,α２,α３與向量組β１,β２,β３,β４等價.100證明：由已知條件，R1103，且向量組（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）111可由向量組α１,α２,α３線性表出，即兩向量組等價，且R(1,2,3)3，又，向量組（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量組β１,β２,β３,β４線性表出，即兩向量組等價，且R(1,2,3,4)3，所以向量組α１,α２,α３與向量組β１,β２,β３,β４等價.略.賜教材習(xí)題參照答案.16.設(shè)向量組1,2,L,m與1,2,L,s秩相同且1,2,L,m能經(jīng)1,2,L,s線性表出.證明1,2,L,m與1,L,s等價.2,【解】設(shè)向量組1,2,L,m(1)與向量組1,2,L,s(2)的極大線性沒關(guān)組分別為1,2,L,r(3)和1,2,L,r(4)因?yàn)椋?）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）能夠由（4）線性表出，即riaijj(iLj11,2,,r).因（4）線性沒關(guān)，故（3）線性沒關(guān)的充分必需條件是|aij|≠0，可由（*）解出j(j1,2,L,r),即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價，再由它們分別同（1），（2）等價，所以（1）和（2）等價.17.設(shè)A為×n矩陣，B為s×n矩陣.證明：mAmax{R(A),R(B)}RR(A)R(B).BA【證明】因A,B的列數(shù)相同，故A,B的行向量有相同的維數(shù)，矩陣可視為由矩陣A擴(kuò)BA充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量線性表示，故BR(A)ARB同理R(B)ARB故有max{R(A),R(B)}ARB又設(shè)R(A)=r,i1,i2,L,ir是A的行向量組的極大線性沒關(guān)組,（）=,j1,j2,L,jkRBk是B的行向量組的極大線性沒關(guān)組.設(shè)是A屬于A的行向量組，中的任一行向量，則若B則可由i1,i2,L,ir表示，若屬于B的行向量組，則它可由j1,j2,L,jk線性表示，Ai1,i2,L,ir,j1,j2,L,jk線性表示，故故中任一行向量均可由BARrkR(A)R(B),B所以有Amax{R(A),R(B)}RR(A)R(B).B設(shè)A為s×n矩陣且A的行向量組線性沒關(guān)，K為r×s矩陣.證明：B＝KA行沒關(guān)的充分必需條件是R(K)=r.【證明】設(shè)A=(As,Ps×(ns)),因?yàn)锳為行沒關(guān)的s×n矩陣，故s階方陣As可逆.()當(dāng)=行沒關(guān)時，B為r×n矩陣.BKAr=R(B)=R(KA)≤R(K),又K為r×s矩陣R(K)≤r,∴R(K)=r.()當(dāng)r=R(K)時，即K行沒關(guān)，由B=KA=K(As,Ps×(ns))=(KAs,KPs×(ns))知R(B)=r,即B行沒關(guān).略.賜教材習(xí)題參照答案.求以下矩陣的行向量組的一個極大線性沒關(guān)組.2531174311221759453132(2)02151(1)9454；2031.75134325322048110411【解】(1)矩陣的行向量組2的一個極大沒關(guān)組為1,2,3;341(2)矩陣的行向量組2的一個極大沒關(guān)組為1,2,4.34略.賜教材習(xí)題參照答案.22.會合V＝{(x1,x2,L,xn)｜x1,x2,L,xn∈R且x1x2Lxn＝0}能否構(gòu)成向量空1間為何【解

】由（

0,0,

,0

）∈

V1

知

V1

非空，

設(shè)(x1,x2,L,xn)

V1,

(y1,y2,L

,yn)

V2,k

R

)則(x1

y1,x2

y2,L,xn

yn)k

(kx1,kx2

,L

,kxn

).因?yàn)?x1y1)(x2y2)L(xnyn)(x1x2Lxn)(y1y2Lyn)0,kx1kx2Lkxnk(x1x2Lxn)0,所以V1,kV1,故V1是向量空間.23.(1,1,0),2(1,0,1),3試證：由13(0,1,1),生成的向量空間恰為R.【證明】把1,2,3排成矩陣A1,2,3),則=(110A10120,011所以1,2,3線性沒關(guān)，故1,2,3的一個基，因此1,2,3生成的向量空間恰為3是RR3.24.求由向量1(1,2,1,0),2(1,1,1,2),3(3,4,3,4),4(1,1,2,1)所生的向量空間的一組基及其維數(shù).【解】因?yàn)榫仃嘇(1,2,3,4,5)11314113141131421415012130121311326000120001,2024140241400000∴1,2,4是一組基，其維數(shù)是3維的.25.設(shè)1(1,1,0,0),2(1,0,1,1),1(2,1,3,3),2(0,1,1,1),證明:L(1,2)L(1,2).【解】因?yàn)榫仃嘇(1,2,1,2)11201120101101310131000,001310000由此知向量組1,2與向量組1,2的秩都是2，并且向量組1,2可由向量組1,2線性表出.由習(xí)題15知這兩向量組等價，從而1,2也可由1,2線性表出.所以L(1,2)L(1,2).26.在R3中求一個向量，使它在下邊兩個基(1)(2)

11

(1,0,1),2(1,0,0)3(0,1,1)(0,1,1),2(1,1,0)3(1,0,1)下有相同的坐標(biāo).【解】設(shè)在兩組基下的坐標(biāo)均為(x1,x2,x3)，即x1x1(1,2,3)x2(1,2,3)x2,x3x3110x1011x1001x2110x2101x3101x3即121x1111x20,000x3求該齊次線性方程組得通解x1k,x22k,x33k(k為隨意實(shí)數(shù))故x11x22x33(k,2k,3k).27.(1,1,0),2(2,1,3),3(5,0,7),考證13(3,1,2)為R的一個基，并把12(9,8,13)用這個基線性表示.【解】設(shè)A(1,2,3),B(1,2),又設(shè)1x111x212x313,2x121x222x323,即x11x12(1,2)(1,2,3)x21x22,x31x32記作B=AX.則1235912359(AMB)11108r2r1034517032713032713123591002032713作初等行變換1030002240011因有AE,故1,2,3的一個基，且3為R23(1,2)(1,2,3)33,12即121323,2313223.

r2r3r2r3332習(xí)題四用消元法解以下方程組.x14x22x33x46,x12x22x32,2x12x24x42,2x15x22x34,(1)2x22x33x4(2)3x11,x12x24x36;x12x23x33x48;【解】(1)142361423622042111021r4r1r2rr(AMb)221223132231r33r2312338123381423603215(1)r2r30129202562142361423601292r33r201292r4r303215r42r200426102562001126142361423601292r44r30129200112600112,60042610007425得x14x22x33x46x22x39x42x312x4674x425所以187x1,74211x2,144x3,7425x4.(2)x12x22x32①2x15x22x34②x12x24x36③解②①×2得x22x3=0③①得2x3=4得同解方程組x12x22x32④x22x30⑤2x34⑥由⑥得x3=2,由⑤得x2=2x3=4,由④得x1=22x32x2=10,得(x1,x2,x3)T=(10,4,2)T.2.求以下齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.x13x22x30,x1x25x3x40,x1x22x33x40,(1)x15x2x30,(2)3x1x28x3x40,3x15x28x30;x13x29x37x40;x1x22x32x47x50,x12x22x32x4x50,(3)2x13x24x35x40,(4)x12x2x33x42x50,3x15x26x38x40;2x14x27x3x4x50.【解】(1)x13x22x30,x15x2x30,3x15x28x30.132151358

r2r1r33r1

132132021r32r2021042000得同解方程組x12x33x27x3,x13x22x3021x3,2x2x30x22x3x3,得基礎(chǔ)解系為71T.212系數(shù)矩陣為11511123A318113971151

2r133r1r4r1

11510274027404148

r3r2r42r20274r(A)2.00000000∴其基礎(chǔ)解系含有4R(A)2個解向量.x13x3x431x2227x3x1x25x3x402x4x37x422x27x34x40220x3x311x4x40基礎(chǔ)解系為31272,.20110(3)1122711227A23450r22r1010114r33r13568002022111227r32r201011400007得同解方程組x1x22x32x47x50,x2x414x50,7x50x50.x310取,得基礎(chǔ)解系為x401(2，0，1，0，0)T,(1，1，0，1，0).方程的系數(shù)矩陣為1222112221A12132r2r100111r32r1247110033312221r33r200111R(A)2,00000∴基礎(chǔ)解系所含解向量為nR(A)=52=3個x2x2010取x4為自由未知量x40,0,1,x5x5100324010得基礎(chǔ)解系1,0,1.001100解以下非齊次線性方程組.x1x22x31,2x1x2x3x41,2x1x22x34,(1)(2)4x12x22x3x42,x12x23,2x1x2x3x41;4x1x24x32;x12x2x3x41,x1x2x3x4x57,3x12x2x3x43x52,(3)x12x2x3x41,(4)2x32x46x523,x12x2x3x45;x25x14x23x33x4x512.【解】（1）方程組的增廣矩陣為11212124(AMb)203142

r22r1r3r1r44r1

1121032203220342

r3r2r4r21121032200000024

11211r4r30322200120000得同解方程組x1x22x31x32,22x33x22x322,x23x32x11x22x31.方程組的增廣矩陣為21111(AMb)4221221111

3r1r22r1

211110001000020得同解方程組2x1x2x3x41,x40,x402x40,即2x1x2x31,x40.令x1x30得非齊次線性方程組的特解xT=(0，1，0，0)T.又分別取x210x30,1得其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為1∴方程組的解為

TT1,1,0,0;21,0,1,0,22011221x1k20.k1,k2Rk100100012111(3)1211112115

r2r1r3r1

121110002200004R(A)R(A)∴方程組無解.方程組的增廣矩陣為111117111117(AMb)321132r33r101226230122623r45r1012262354331120122623111117r3r20122623r4r2000000,000000分別令x3010x40,0,1x5100得其導(dǎo)出組x1x2x3x4x50的解為x22x32x46x50511622k10k21k30k1,k2,k3R.001100令x3x4x50,得非齊次線性方程組的特解為：xT=(16,23,0,0,0)T,∴方程組的解為1651123622x0k10k21k3000010100此中k1,k2,k3為隨意常數(shù).某工廠有三個車間，各車間互相供給產(chǎn)品（或勞務(wù)），今年各車間出廠產(chǎn)量及對其他車間的耗費(fèi)以下表所示.車間出廠產(chǎn)量總產(chǎn)量耗費(fèi)系數(shù)123（萬元）（萬元）車間122x120x230x3表中第一列耗費(fèi)系數(shù),,表示第一車間生產(chǎn)1萬元的產(chǎn)品需分別耗費(fèi)第一，二，三車間萬元，萬元，萬元的產(chǎn)品；第二列，第三列類同，求今年各車間的總產(chǎn)量.解：依據(jù)表中數(shù)據(jù)列方程組有x10.1x10.2x20.45x322,x20.2x10.2x20.3x30,x30.5x10.12x355.6,0.9x10.2x20.45x322,即0.2x10.8x20.3x30,0.5x10.88x355.6,x1100,解之x270,x3120;取何值時，方程組x1x2x31,x1x2x3,x1x2x32,有唯一解，(2)無解，(3)有無量多解，并求解.【解】方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣為11111A11;B11,11112||=(2(2).A1)(1)當(dāng)≠1且≠2時，||≠0，()=()=3.ARARB∴方程組有唯一解x11,x21,x3(1)2.22(2)（2）當(dāng)=2時，21111212B121r2r121112112411241212121203330333,03360003R(A)≠R(B),∴方程組無解.當(dāng)=1時11111111B1111r2r10000r3r111110000R(A)=R(B)<3,方程組有無量解.得同解方程組x1x2x31,x2x2,x3x3.

r3r1r22r1∴得通解為x1111x2k11k200,k1,k2R.x3010齊次方程組xyz0,xyz0,2xyz0當(dāng)取何值時，才可能有非零解并求解.【解】方程組的系數(shù)矩陣為11A11211|A|=(4)(1)當(dāng)|A|=0即=4或=1時，方程組有非零解.當(dāng)=4時,411A141211

r2r1

141411211141

r24r1r32r1

14101550