新高考適用2023版高考數(shù)學二輪總復習第2篇經(jīng)典專題突破核心素養(yǎng)提升專題3立體幾何第1講空間幾何體

第二篇專題三第1講一、選擇題1．如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，則以下說法正確的是(C)A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等邊三角形【解析】根據(jù)題意，將△A′B′C′還原成原圖，如圖，原圖中，則有OC＝OA＝OB，則△ABC是等腰直角三角形；故選C.2．如圖，半徑為R的球的兩個內(nèi)接圓錐有公共的底面．若兩個圓錐的體積之和為球的體積的eq\f(3,8)，則這兩個圓錐的高之差的絕對值為(D)A．eq\f(R,2) B．eq\f(2R,3)C．eq\f(4R,3) D．R【解析】設球的球心為O，半徑為R，體積為V，上面圓錐的高為h(h<R)，體積為V1，下面圓錐的高為H(H>R)，體積為V2，兩個圓錐共用的底面的圓心為O1，半徑為r.由球和圓錐的對稱性可知h＋H＝2R，|OO1|＝H－R.∵V1＋V2＝eq\f(3,8)V，∴eq\f(1,3)πr2h＋eq\f(1,3)πr2H＝eq\f(3,8)×eq\f(4,3)πR3，∴r2(h＋H)＝eq\f(3,2)R3.∵h＋H＝2R，∴r＝eq\f(\r(3),2)R.∵OO1垂直于圓錐的底面，∴OO1垂直于底面的半徑，由勾股定理可知R2＝r2＋|OO1|2，∴R2＝r2＋(H－R)2，∴H＝eq\f(3,2)R，∴h＝eq\f(1,2)R，則這兩個圓錐的高之差的絕對值為R，故選D.3．已知一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)等于(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)【解析】如圖，由已知圓錐側(cè)面積是底面積的2倍，不妨設底面圓半徑為r，l為底面圓周長，R為母線長，則eq\f(1,2)lR＝2πr2，即eq\f(1,2)·2π·r·R＝2πr2，解得R＝2r，故∠ADC＝30°，則△DEF為等邊三角形，設B為△DEF的重心，過B作BC⊥DF，則DB為圓錐的外接球半徑，BC為圓錐的內(nèi)切球半徑，則eq\f(BC,BD)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(r內(nèi),r外)＝eq\f(1,2)，故eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4).4．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，動點E在BB1上，動點F在A1C1上，O為底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y(tǒng)，則三棱錐O－AEF的體積(B)A．與x，y都有關B．與x，y都無關C．與x有關，與y無關D．與y有關，與x無關【解析】由已知得V三棱錐O－AEF＝V三棱錐E－OAF＝eq\f(1,3)S△AOF·h(h為點E到平面AOF的距離).連接OC，因為BB1∥平面ACC1A1，所以點E到平面AOF的距離為定值．又AO∥A1C1，OA為定值，點F到直線AO的距離也為定值，所以△AOF的面積是定值，所以三棱錐O－AEF的體積與x，y都無關．5．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(C)A．eq\f(2π,3) B．eq\f(4π,3)C．eq\f(5π,3) D．2π【解析】如圖，過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3).6．如圖，在三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝60°，VA＝VB＝VC，若三棱錐V－ABC的內(nèi)切球O的表面積為6π，則此三棱錐的體積為(D)A．6eq\r(3) B．18eq\r(3)C．6eq\r(2) D．18eq\r(2)【解析】連接VO，并延長交底面ABC于點E，連接AE，并延長交BC于D，∵在三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝60°，VA＝VB＝VC，∴三棱錐V－ABC是正四面體，∴E是△ABC的重心，∴VE⊥平面ABC，∵三棱錐V－ABC的內(nèi)切球O的表面積為6π，∴4πr2＝6π，解得球O的半徑r＝OE＝eq\f(\r(6),2)，設AB＝a，則AE＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3)a,3)，VE＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)a，∴AO＝VO＝eq\f(\r(6),3)a－eq\f(\r(6),2)，∵OE⊥AE，∴AE2＋OE2＝AO2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a－\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)，解得a＝6，∴VE＝eq\f(\r(6),3)×6＝2eq\r(6)，∴此三棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·VE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×6×sin60×2eq\r(6)＝18eq\r(2).故選D.7．如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球?qū)佣?，在該封閉的幾何體內(nèi)部放入一個小圓柱體，且小圓柱體的上、下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為(B)A．eq\f(2000π,9) B．eq\f(4000π,27)C．81π D．128π【解析】小圓柱的高分為上、下兩部分，上部分的高同大圓柱的高相等，為5，下部分深入底部半球內(nèi)．設小圓柱下部分的高為h(0<h<5)，底面半徑為r(0<r<5).由于r，h和球的半徑構(gòu)成直角三角形，即r2＋h2＝52，所以小圓柱的體積V＝πr2(h＋5)＝π(25－h(huán)2)(h＋5)(0<h<5)，把V看成是關于h的函數(shù)，求導得V′＝－π(3h－5)(h＋5).當0<h<eq\f(5,3)時，V′>0，V單調(diào)遞增；當eq\f(5,3)<h<5時，V′<0，V單調(diào)遞減．所以當h＝eq\f(5,3)時，小圓柱的體積取得最大值．即Vmax＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(25,9)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)＋5))＝eq\f(4000π,27)，故選B.二、填空題8．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點，則三棱錐A－A1EF的體積是__8eq\r(3)__．【解析】因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1，AA1?平面AA1C1C，BB1?平面AA1C1C，所以BB1∥平面AA1C1C，從而點E到平面AA1C1C的距離就是點B到平面AA1C1C的距離，作BH⊥AC，垂足為點H，由于△ABC是正三角形且邊長為4，所以BH＝2eq\r(3)，從而三棱錐A－A1EF的體積VA－A1EF＝VE－A1AF＝eq\f(1,3)S△A1AF·BH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×4×2eq\r(3)＝8eq\r(3).9．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為__eq\f(\r(2)π,2)__．【解析】如圖，設B1C1的中點為E，球面與棱BB1，CC1的交點分別為P，Q，連接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD為等邊三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1為等邊三角形，則D1E＝eq\r(3)且D1E⊥平面BCC1B1，∴E為球面截側(cè)面BCC1B1所得截面圓的圓心，設截面圓的半徑為r，則r＝eq\r(Req\o\al(2,球)－D1E2)＝eq\r(5－3)＝eq\r(2).又由題意可得EP＝EQ＝eq\r(2)，∴球面與側(cè)面BCC1B1的交線為以E為圓心的圓弧PQ.又D1P＝eq\r(5)，∴B1P＝eq\r(D1P2－D1Beq\o\al(2,1))＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分別為BB1，CC1的中點，∴∠PEQ＝eq\f(π,2)，知eq\o(PQ,\s\up8(︵))的長為eq\f(π,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2)π,2)，即交線長為eq\f(\r(2)π,2).10．(2020·浙江)已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)為2π，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑(單位：cm)是__1__．【解析】如圖，設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝2π，即r·l＝2.由于側(cè)面展開圖為半圓，可知eq\f(1,2)πl(wèi)2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.11．在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40cm，母線長最短50cm，最長80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝__2600π__cm2.【解析】將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S＝eq\f(1,2)×(π×40)×(50＋80)＝2600π(cm2).12．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，過點A，P，C1的平面截正方體所得的截面為M，則截面M的面積為__eq\f(\r(6),2)__．【解析】如圖，取A1D1，AD的中點分別為F，G.連接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F為A1D1的中點，P為BC的中點，G為AD的中點，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝eq\f(\r(5),2)，PGCD，AFD1G.由題意可知CDC1D1，∴PGC1D1，∴四邊形C1D1GP為平行四邊形，∴PC1D1G，∴PC1AF，∴A，P，C1，F(xiàn)四點共面，∴四邊形APC1F為菱形．∵AC1＝eq\r(3)，PF＝eq\r(2)，過點A，P，C1的平面截正方體所得的截面M為菱形APC1F，∴截面M的面積S＝eq\f(1,2)AC1·PF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).三、解答題13．(2021·浙江高三期末)如圖是一個以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝5，BB1＝4，CC1＝3，求：(1)該幾何體的體積；(2)該幾何體的表面積．【解析】(1)把幾何體ABC－A1B1C1補成直棱柱A1B1C1－ADE，如圖，作C作與底面平行的截面CMN，則截得兩個直棱柱，則AM＝2，BN＝BD＝1，CE＝2，S△A1B1C1＝eq\f(1,2)×2×2＝2，VADE－MNC＝2×2＝4，VMNC－A1B1C1＝2×3＝6，所以VABC－A1B1C1＝6＋4×eq\f(1,2)＝8；(也可求出四棱錐C－ABNM的體積為2)(2)A1C1＝2eq\r(2)，因此SABB1A1＝eq\f(1,2)×(5＋4)×2＝9，SBB1C1C＝eq\f(1,2)×(4＋3)×2＝7，SCC1A1A＝