江蘇省江陰市文林中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期10月階段性測試數(shù)學(xué)試卷（月考）

初三數(shù)學(xué)階段性測評卷班級姓名學(xué)號一、選擇題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）1．下列方程是一元二次方程的是A． B． C． D．2．下列方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是A． B． C． D．3．若，相似比為，則與的周長比為A． B． C． D．4．如圖，對角線與交于點(diǎn)，且，，在延長線上取一點(diǎn)，使，連接交于，則的長為A． B． C． D．1二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）5．若，則．6．若、是方程的兩實(shí)根，則的值等于．7．已知、是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值為．8．如圖，在中，為上一點(diǎn)，在下列四個條件中：①；②；③；④，能滿足與相似的條件是（只填序號）．第4題圖第8題圖第9題圖9．如圖，中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，、分別交對角線于點(diǎn)、，則．三、解答題（本大題共6小題，共60分）10．（12分）用指定方法解下列一元二次方程（1）（直接開平方法）（2）（配方法）（3）（公式法）（4）（因式分解法）11．（8分）已知線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）若線段a、b、c滿足a+b+c＝60，求a、b、c的值．12．（8分）某校為了深入學(xué)習(xí)社會主義核心價值觀，對本校學(xué)生進(jìn)行了一次相關(guān)知識的測試，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的測試成績進(jìn)行統(tǒng)計（根據(jù)成績分為、、、、五個組，表示測試成績，組：；組：；組：；組：；組：，通過對測試成績的分析，得到如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖中提供的信息解答以下問題：（1）抽取的學(xué)生共有人，請將兩幅統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；（2）本次測試成績在80分以上（含80分）為優(yōu)秀，若該校初三學(xué)生共有1200人，請估計該校初三測試成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生有多少人？13．（10分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、DC上，BE⊥EF．?求證：（1）△ABE∽△DEF；（2）若AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的長．14．（10分）某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價每千克50元．（1）連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，商場決定采取適當(dāng)?shù)臐q價措施，但商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應(yīng)漲價多少元？15．（12分）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版教材九年級上冊52頁的部分內(nèi)容：我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條直線與一組平行踐相交時，所截得的線段存在一定的比例關(guān)系：．這就是如下的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所傅的對應(yīng)線段成比例，（簡稱“平行錢分線段成比例“【問題原型】如圖①，中，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作交為邊于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，，則．【結(jié)論應(yīng)用】（1）如圖②，中，點(diǎn)在的延長線上，直線交于點(diǎn)交于點(diǎn)．求證：；（2）如圖③，中，，，，若、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連結(jié)、分別交于點(diǎn)、，則周長的最小值是．參考答案與試題解析一．選擇題（共4小題）1．下列方程是一元二次方程的是A． B． C． D．【分析】利用一元二次方程的定義，逐一分析各選項(xiàng)中的方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：．方程是一元二次方程，選項(xiàng)符合題意；．方程是一元三次方程，選項(xiàng)不符合題意；．方程是二元二次方程，選項(xiàng)不符合題意；．方程是分式方程，選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵．2．下列方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是A． B． C． D．【分析】分別計算各方程的根的判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判定方程根的情況即可．【解答】解：、△，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，所以選項(xiàng)錯誤；、△，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，所以選項(xiàng)錯誤；、△，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，所以選項(xiàng)錯誤；、△，方程沒有實(shí)數(shù)根，所以選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時，方程無實(shí)數(shù)根．3．若，相似比為，則與的周長比為A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的周長的比等于相似比得出．【解答】解：，與的相似比為，與的周長比為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比．4．如圖，對角線與交于點(diǎn)，且，，在延長線上取一點(diǎn)，使，連接交于，則的長為A． B． C． D．1【分析】首先作輔助線：取的中點(diǎn)，連接，由平行四邊形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì)，即可求得：與的值，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得的值．【解答】解：取的中點(diǎn)，連接，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．解此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題．二．填空題（共5小題）5．若，則．【分析】設(shè)，則，，，再代入即可解答．【解答】解：設(shè)，則，，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)，求出，，．6．若、是方程的兩實(shí)根，則的值等于．【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后變形原代數(shù)式為原式，再代值計算即可．【解答】解：、是方程的兩實(shí)根，，．原式．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩根為，，則，．7．已知、是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值為．【分析】根據(jù)方程的根的定義，以及根與系數(shù)之間的關(guān)系，即可得到，，根據(jù)即可求解．【解答】解：，是方程的兩個實(shí)數(shù)根，，．．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．也考查了一元二次方程根的定義．8．如圖，在中，為上一點(diǎn)，在下列四個條件中：①；②；③；④，能滿足與相似的條件是①，②，③（只填序號）．【分析】本題主要應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，做題即可．【解答】解：前三項(xiàng)正確，因?yàn)樗麄兎謩e符合有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似．故相似的條件是①，②，③．【點(diǎn)評】考查對相似三角形的判定方法的掌握情況．9．如圖，中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，、分別交對角線于點(diǎn)、，則．【分析】連接交于，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線定理進(jìn)行解答即可．【解答】解：連接交于，如圖所示：四邊形是平行四邊形，，，，，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，，是的中位線，，，，，是的中位線，，，，，，，，；故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題）10．用指定方法解下列一元二次方程（1）（直接開平方法）（2）（配方法）（3）（公式法）（4）（因式分解法）【分析】（1）方程變形后，利用平方根定義開方即可求出解；（2）方程利用配方法求出解即可；（3）方程利用公式法求出解即可；（4）方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：（1），移項(xiàng)，得，兩邊都除以3，得，兩邊開平方，得，移項(xiàng)，得，解得：，；（2），兩邊都除以2，得，移項(xiàng)，得，配方，得，即，解得：，即，；（3），這里，，，，，解得：，；（4），方程左邊因式分解，得，即，解得：，．【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程因式分解法，公式法與直接開平方法，熟練掌握各種解法是解本題的關(guān)鍵．11．已知線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）若線段a、b、c滿足a+b+c＝60，求a、b、c的值．【分析】設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k．（1）代入計算即可；（2）構(gòu)建方程求出k即可．【解答】解：設(shè)＝＝＝k，則a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）＝＝；（2）∵a+b+c＝60，∴3k+4k+5k＝60，∴k＝5，∴a＝15，b＝20，c＝25．【點(diǎn)評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知得出a＝3k，b＝4k，c＝5k進(jìn)而得出k的值是解題關(guān)鍵．12．某校為了深入學(xué)習(xí)社會主義核心價值觀，對本校學(xué)生進(jìn)行了一次相關(guān)知識的測試，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的測試成績進(jìn)行統(tǒng)計（根據(jù)成績分為、、、、五個組，表示測試成績，組：；組：；組：；組：；組：，通過對測試成績的分析，得到如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖中提供的信息解答以下問題：（1）抽取的學(xué)生共有400人，請將兩幅統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；（2）抽取的測試成績的中位數(shù)落在組內(nèi)；（3）本次測試成績在80分以上（含80分）為優(yōu)秀，若該校初三學(xué)生共有1200人，請估計該校初三測試成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生有多少人？【分析】（1）根據(jù)組的人數(shù)和所占的百分比可以求得本次調(diào)查的人數(shù)，再根據(jù)條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以求得組和組所占的百分比．根據(jù)本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)和組所占的百分比可以求得組的人數(shù)；（2）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以得到中位數(shù)落在哪一組；（3）根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以計算出該校初三測試成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生有多少人．【解答】解：（1）本次抽取的學(xué)生共有：（人，故答案為：400；所占的百分比為：，所占的百分比為：，組的人數(shù)為：，補(bǔ)全的統(tǒng)計圖如圖所示；（2）由扇形統(tǒng)計圖可知，抽取的測試成績的中位數(shù)落在組內(nèi)，故答案為：；（3）（人，答：估計該校初三測試成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生有660人．【點(diǎn)評】本題考查頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．13．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、DC上，BE⊥EF．?求證：（1）△ABE∽△DEF；（2）若AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的長．【分析】（1）先判斷出∠A＝∠D＝90°，進(jìn)而得出∠ABE+∠AEB＝90°，再判斷出∠AEB+∠DEF＝90°，得出∠ABE＝∠DEF，即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DF的長，再由勾股定理即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵BE⊥EF∴∠BEF＝90°，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∵∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，∴＝，即＝，解得DF＝3，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D＝90°，由勾股定理得：EF＝＝＝．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．14．某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價每千克50元．（1）連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，商場決定采取適當(dāng)?shù)臐q價措施，但商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應(yīng)漲價多少元？【分析】（1）設(shè)每次下降的百分率為，根據(jù)相等關(guān)系列出方程，可求每次下降的百分率；（2）設(shè)漲價元，根據(jù)總盈余每千克盈余數(shù)量，可列方程，可求解．【解答】解：（1）設(shè)每次下降的百分率為根據(jù)題意得：解得：，（不合題意舍去）答：每次下降（2）設(shè)漲價元解得：，（不合題意舍去）答：每千克應(yīng)漲價5元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到題目中的相等關(guān)系，列出方程是本題的關(guān)鍵．15．【教材呈現(xiàn)】下面是華師版教材九年級上冊52頁的部分內(nèi)容：我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條直線與一組平行踐相交時，所截得的線段存在一定的比例關(guān)系：．這就是如下的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所傅的對應(yīng)線段成比例，（簡稱“平行錢分線段成比例“【問題原型】如圖①，中，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作交為邊于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，，則2.7．【結(jié)論應(yīng)用】（1）如圖②，中，點(diǎn)在的延長線上，直線交于點(diǎn)交于點(diǎn)．求證：；（2）如圖③，中，，，，若、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連結(jié)、分別交于點(diǎn)、，則周長的最小值是．【分析】（1），，，，，即可求得；（2），，，，同理