新高考適用2023版高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第2篇經(jīng)典專題突破核心素養(yǎng)提升專題3立體幾何第3講立體幾何與空間向量課件

第二篇經(jīng)典專題突破?核心素養(yǎng)提升專題三立體幾何第3講立體幾何與空間向量空間向量是將空間幾何問(wèn)題坐標(biāo)化的工具，是常考的重點(diǎn)，作為求解空間角的有力工具，通常在解答題中進(jìn)行考查，屬于中等難度．考情分析自主先熱身真題定乾坤核心拔頭籌考點(diǎn)巧突破自主先熱身真題定乾坤1．(2021·全國(guó)乙卷)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC中點(diǎn)，且PB⊥AM.(1)求BC；(2)求二面角A－PM－B的正弦值．真題熱身【解析】

(1)連接BD，因?yàn)镻D⊥底面ABCD，且AM?平面ABCD，則AM⊥PD，又AM⊥PB，PB∩PD＝P，PB，PD?平面PBD，所以AM⊥平面PBD，又BD?平面PBD，則AM⊥BD，所以∠ADB＋∠DAM＝90°，(2)因?yàn)镈A，DC，DP兩兩垂直，故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，【解析】(1)證明：在四邊形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因?yàn)镃D∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以四邊形ABCD為等腰梯形，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又因?yàn)镻A?平面PAD，所以BD⊥PA.(1)求A到平面A1BC的距離；(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值．(2)取A1B的中點(diǎn)E，連接AE，如圖，因?yàn)锳A1＝AB，所以AE⊥A1B，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE?平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，由BC?平面A1BC，BC?平面ABC可得AE⊥BC，BB1⊥BC，又AE，BB1?平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC，BA，BB1兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，4．(2022·全國(guó)乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．【解析】

(1)證明：因?yàn)锳D＝CD，E為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因?yàn)锳D＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥BE；又因?yàn)镈E，BE?平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED，因?yàn)锳C?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.5．(2022·浙江卷)如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F－DC－B的平面角為60°.設(shè)M，N分別為AE，BC的中點(diǎn)．(1)證明：FN⊥AD；(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值．【解析】

(1)過(guò)點(diǎn)E、D分別做直線DC、AB的垂線EG、DH并分別交于點(diǎn)G、H.∵四邊形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，由平面幾何知識(shí)易知，DG＝AH＝2，∠EFC＝∠DCF＝∠DCB＝∠ABC＝90°，則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩形，∴DC⊥平面BCF，∠BCF是二面角F－DC－B的平面角，則∠BCF＝60°，∴△BCF是正三角形，由DC?平面ABCD，得平面ABCD⊥平面BCF，∵N是BC的中點(diǎn)，∴FN⊥BC，又DC⊥平面BCF，F(xiàn)N?平面BCF，可得FN⊥CD，而B(niǎo)C∩CD＝C，∴FN⊥平面ABCD，而AD?平面ABCD，∴FN⊥AD.1．立體幾何考查知識(shí)點(diǎn)突出立體、空間線線、線面關(guān)系及線面角，面面關(guān)系以及二面角展開(kāi)，解答題考查空間中平行垂直問(wèn)題，利用空間向量求空間角．2．解答題多出現(xiàn)在第18，19題的位置，考查空間中平行、垂直的證明，利用空間向量求空間角，難度中等．感悟高考核心拔頭籌考點(diǎn)巧突破設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).平面α，β的法向量分別為u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).(1)線線夾角考點(diǎn)一利用空間向量求空間角(1)求證：PA⊥BC；(2)設(shè)點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求直線AE與平面PBC所成角的正弦值．典例1考向2二面角

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝PA＝1，AD＝2.(1)求證：平面PCD⊥平面PAC；(2)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．典例2(2)過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD于M，以M為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，1．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，且PD⊥AB.(1)從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件證明：AB⊥平面PAD.①O是AD的中點(diǎn)，且BO＝CO；②AC＝BD.【解析】(1)證明：選擇條件②，∵四邊形ABCD為平行四邊形，且AC＝BD，∴四邊形ABCD為矩形，AB⊥AD.又∵AB⊥PD，且AD∩PD＝D，故AB⊥平面PAD.選擇條件①，在平行四邊形ABCD中，設(shè)N是BC的中點(diǎn)，連接ON，如圖，因?yàn)镺是AD的中點(diǎn)，所以AB∥ON.又BO＝CO，所以O(shè)N⊥BC.所以AB⊥BC，又在平行四邊形ABCD中，BC∥AD，所以AB⊥AD.又AB⊥PD，且PD∩AD＝D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，故AB⊥平面PAD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，ON，OD，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，－2，0)，B(2，－2，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，與空間向量有關(guān)的探究性問(wèn)題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時(shí)的存在性問(wèn)題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．考點(diǎn)二利用空間向量解決探究性問(wèn)題

如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面A1C1CA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，AC與BD交于點(diǎn)O，∠ABC＝60°，AB＝AA1＝AC1＝2.(1)求證：C1O⊥平面ABCD；典例3【解析】(1)證明：∵AA1＝AC1，AA1＝CC1，∴AC1＝CC1，又O是AC的中點(diǎn)，∴C1O⊥AC，∵平面A1C1CA⊥平面ABCD，平面A1C1CA∩平面ABCD＝AC，C1O?平面A1C1CA，∴C1O⊥平面ABCD.(2)∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OC1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．【素養(yǎng)提升】正確分析空間幾何體的特征，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．(1)求證：BE⊥平面ACB1；(2)求二面角D1－AC－B1的余弦值；(3)在棱A1B1上是否存在點(diǎn)F，使得直線DF∥平面ACB1？若存在，求A1F的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(1)證明：因?yàn)锳1A⊥底面ABCD，所以A1A⊥AC.又因?yàn)锳B⊥AC，AA1∩AB＝A，且AA1，AB