北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章《推理與證明》本章復(fù)習(xí)與小結(jié)

一、教學(xué)目標(biāo)1、了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。2、了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程與特點(diǎn)。3、了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程與特點(diǎn)。4、了解數(shù)學(xué)歸納法原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。二、教學(xué)重點(diǎn)：1、能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理2、能用綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過程第一頁第二頁，共15頁。推理與證明推理證明合情推理演繹推理直接證明數(shù)學(xué)歸納法間接證明比較法類比推理歸納推理分析法綜合法反證法知識結(jié)構(gòu)第二頁第三頁，共15頁。證為數(shù)為數(shù)證一.綜合法第三頁第四頁，共15頁。證為數(shù)為數(shù)證第四頁第五頁，共15頁。證證明:要證只需證只需證只需證只需證因?yàn)槌闪?所以成立.二.分析法第五頁第六頁，共15頁。三:反證法問題一:求證:兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).注:1.結(jié)論中的有且只有(有且僅有)形式出現(xiàn),是唯一性問題,常用反證法2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少兩個(gè).第六頁第七頁，共15頁。問題二:求證一元二次方程至多------有兩個(gè)不相等的實(shí)根.注:所謂至多有兩個(gè),就是不可能有三個(gè),要證“至多有兩個(gè)不相等的實(shí)根”只要證明它的反面“有三個(gè)不相等的實(shí)根”不成立即可.第七頁第八頁，共15頁。問題:如圖;已知L1、L2是異面直線且

A、B∈L1,C、D∈L2,,求證;AC,SD也是異面直線.aCDABL1L2第八頁第九頁，共15頁。五.歸納、類比、猜想、證明第九頁第十頁，共15頁。第十頁第十一頁，共15頁。例:平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點(diǎn),證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)等于n(n-1)/2.證:(1)當(dāng)n=2時(shí),兩條直線的交點(diǎn)只有1個(gè),又f(2)=2?(2-1)/2=1,因此,當(dāng)n=2時(shí)命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)命題成立,就是說,平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k)等于k(k-1)/2.以下來考慮平面內(nèi)有k+1條直線的情況.任取其中的1條直線,記作l.由歸納假設(shè),除l以外的其他k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k)等于k(k-1)/2.另外,因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行,所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交,有k個(gè)交點(diǎn).第十一頁第十二頁，共15頁。又因?yàn)橐阎魏稳龡l直線不過同一點(diǎn),所以上面的k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同,且與平面內(nèi)其他的k(k-1)/2個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同.從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2=(k+1)[(k+1)-1]/2.這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),k+1條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為:f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.根據(jù)(1)、(2)可知,命題對一切大于1的正整數(shù)都成立.說明:用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題,重難點(diǎn)是處理好當(dāng)n=k+1時(shí)利用假設(shè)結(jié)合幾何知識證明命題成立.第十二頁第十三頁，共15頁。注:在上例的題設(shè)條件下還可以有如下二個(gè)結(jié)論:(1)設(shè)這n條直線互相分割成f(n)條線段或射線,---則:f(n)=n2.(2)這n條直線把平面分成(n2+n+2)/2個(gè)區(qū)域.練習(xí)1:凸n邊形有f(n)條對角線,則凸n+1邊形的對角線------的條數(shù)f(n+1)=f(n)+_________.n-1練習(xí)2:設(shè)有通過一點(diǎn)的k個(gè)平面,其中任何三個(gè)平面或三個(gè)以上的平面不共有一條直線,這k個(gè)平面將空間分成f(k)