2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題9.2 直線與圓的位置關(guān)系 （新教材新高考）（練）含答案

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題9.2直線與圓的位置關(guān)系練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（福建高考真題（理））直線與圓相交于兩點(diǎn)，則是“的面積為”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件2.（2018·北京高考真題（理））在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)、變化時(shí)，的最大值為（）A． B．C． D．3．（2021·全國(guó)高二單元測(cè)試）已知直線與直線垂直，且與圓相切，切點(diǎn)位于第一象限，則直線的方程是（）．A． B．C． D．4．（2020·北京高考真題）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）．A．4 B．5 C．6 D．75.【多選題】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直線上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)可作圓：的兩條切線，，切點(diǎn)為，，且，則實(shí)數(shù)的取值可以為（）A．3 B．C．1 D．6．（2022·江蘇高三專題練習(xí)）已知大圓與小圓相交于，兩點(diǎn)，且兩圓都與兩坐標(biāo)軸相切，則____7．（江蘇高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________．8.（2018·全國(guó)高考真題（文））直線與圓交于兩點(diǎn)，則________．9．（2021·湖南高考真題）過(guò)圓的圓心且與直線垂直的直線方程為_(kāi)__________10.（2020·浙江省高考真題）設(shè)直線與圓和圓均相切，則_______；b=______．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·全國(guó)高考真題（理））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+2.【多選題】（2021·全國(guó)高考真題）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（）A．點(diǎn)到直線的距離小于B．點(diǎn)到直線的距離大于C．當(dāng)最小時(shí)，D．當(dāng)最大時(shí)，3．【多選題】（2021·肥城市教學(xué)研究中心高三月考）已知圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A．圓的半徑為B．圓截軸所得的弦長(zhǎng)為C．圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為D．圓與圓相離4．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是_______.5．（2021·富川瑤族自治縣高級(jí)中學(xué)高一期中（理））直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則直線的傾斜角為_(kāi)_______．6．（2021·昆明市·云南師大附中高三月考（文））已知圓O:x2+y2=4，以A(1,)為切點(diǎn)作圓O的切線l1，點(diǎn)B是直線l1上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線l1的垂線l2，若l2與圓O交于D，E兩點(diǎn)，則AED面積的最大值為_(kāi)______.7．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如下條件：向量，，，則的取值范圍是________8．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知x、，時(shí)，求的最大值與最小值．9．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中）已知的內(nèi)切圓的圓心在軸正半軸上，半徑為，直線截圓所得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓方程；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求直線和的斜率；（3）若，兩點(diǎn)在軸上移動(dòng)，且，求面積的最小值.10．（2021·新疆烏魯木齊市·烏市八中高二期末（文））已知直線：，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線的上方（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)（在軸上方），問(wèn)在軸正半軸上是否存在點(diǎn)，使得軸平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·山東高考真題）“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的（）A．充分沒(méi)必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也沒(méi)必要條件2．（2021·北京高考真題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，若的最小值為2，則A． B． C． D．3.（2020·全國(guó)高考真題（理））已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（）A． B． C． D．4．【多選題】（2021·全國(guó)高考真題）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切5.（2021·山東高考真題）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)與圓的圓心重合，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓的直徑，那么短軸長(zhǎng)等于______．6．（2019·北京高考真題（文））設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為_(kāi)_________．專題9.2直線與圓的位置關(guān)系練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（福建高考真題（理））直線與圓相交于兩點(diǎn)，則是“的面積為”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】由時(shí),圓心到直線的距離.所以弦長(zhǎng)為.所以.所以充分性成立,由圖形的對(duì)成性當(dāng)時(shí),的面積為.所以不要性不成立.故選A.2.（2018·北京高考真題（理））在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)、變化時(shí)，的最大值為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過(guò)點(diǎn)，所以的最大值為，選C.3．（2021·全國(guó)高二單元測(cè)試）已知直線與直線垂直，且與圓相切，切點(diǎn)位于第一象限，則直線的方程是（）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)垂直關(guān)系，設(shè)設(shè)直線的方程為，利用直線與圓相切得到參數(shù)值即可.【詳解】由題意，設(shè)直線的方程為．圓心到直線的距離為，得或（舍去），故直線的方程為．故選：A4．（2020·北京高考真題）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1可得答案.【詳解】設(shè)圓心，則，化簡(jiǎn)得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取得等號(hào)，故選：A.5.【多選題】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直線上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)可作圓：的兩條切線，，切點(diǎn)為，，且，則實(shí)數(shù)的取值可以為（）A．3 B．C．1 D．【答案】BCD【分析】先由題意判斷點(diǎn)P在圓上，再聯(lián)立直線方程使判別式解得參數(shù)范圍，即得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)在直線上，，則，由圖可知，中，，即點(diǎn)P在圓上，故聯(lián)立方程，得，有判別式，即，解得，故A錯(cuò)誤，BCD正確.故選：BCD.6．（2022·江蘇高三專題練習(xí)）已知大圓與小圓相交于，兩點(diǎn)，且兩圓都與兩坐標(biāo)軸相切，則____【答案】【分析】由題意可知大圓與小圓都在第一象限，進(jìn)而設(shè)圓的圓心為，待定系數(shù)得或，再結(jié)合兩點(diǎn)間的距離求解即可.【詳解】由題知，大圓與小圓都在第一象限，設(shè)與兩坐標(biāo)軸都相切的圓的圓心為，其方程為，將點(diǎn)或代入，解得或，所以，，可得，，所以．故答案為：7．（江蘇高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】∵圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；又直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，∴只需圓C′：（x-4）2+y2=4與直線y=kx-2有公共點(diǎn)即可．設(shè)圓心C（4，0）到直線y=kx-2的距離為d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知參數(shù)k的最大值為.8.（2018·全國(guó)高考真題（文））直線與圓交于兩點(diǎn)，則________．【答案】【解析】根據(jù)題意，圓的方程可化為，所以圓的圓心為，且半徑是，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以求得，結(jié)合圓中的特殊三角形，可知，故答案為.9．（2021·湖南高考真題）過(guò)圓的圓心且與直線垂直的直線方程為_(kāi)__________【答案】【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線垂直斜率乘積為求出所求直線的斜率，再由點(diǎn)斜式即可得所求直線的方程.【詳解】由可得，所以圓心為，由可得，所以直線的斜率為，所以與直線垂直的直線的斜率為，所以所求直線的方程為：，即，故答案為：.10.（2020·浙江省高考真題）設(shè)直線與圓和圓均相切，則_______；b=______．【答案】【解析】設(shè)，，由題意，到直線的距離等于半徑，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案為：練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·全國(guó)高考真題（理））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.2.【多選題】（2021·全國(guó)高考真題）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（）A．點(diǎn)到直線的距離小于B．點(diǎn)到直線的距離大于C．當(dāng)最小時(shí)，D．當(dāng)最大時(shí)，【答案】ACD【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，可得出點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.故選：ACD.3．【多選題】（2021·肥城市教學(xué)研究中心高三月考）已知圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A．圓的半徑為B．圓截軸所得的弦長(zhǎng)為C．圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為D．圓與圓相離【答案】BC【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得半徑可判斷A；利用幾何法求出弦長(zhǎng)可判斷B；求出圓心到直線的距離再減去半徑可判斷C；求出圓的圓心和半徑，比較圓心距與半徑之和的大小可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：由可得，所以的半徑為，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：圓心為到軸的距離為，所以圓截軸所得的弦長(zhǎng)為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：由可得，所以圓心，半徑，因?yàn)椋詢蓤A相外切，故選項(xiàng)D不正確；故選：BC.4．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是_______.【答案】【分析】求出圓的圓心和半徑，由題意可得圓心到直線的距離小于或等于兩圓的半徑之和即可求解.【詳解】由可得，因此圓的圓心為，半徑為1，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，只需點(diǎn)到直線的距離，即，所以，解得，所以的取值范圍是，故答案為：.5．（2021·富川瑤族自治縣高級(jí)中學(xué)高一期中（理））直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則直線的傾斜角為_(kāi)_______．【答案】【分析】由已知求得圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求得k，然后利用斜率等于傾斜角的正切值求解．【詳解】直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以，圓心到直線的距離，即，解得．設(shè)直線的傾斜角為，則，則．因此，直線的傾斜角為．故答案為：．6．（2021·昆明市·云南師大附中高三月考（文））已知圓O:x2+y2=4，以A(1,)為切點(diǎn)作圓O的切線l1，點(diǎn)B是直線l1上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線l1的垂線l2，若l2與圓O交于D，E兩點(diǎn)，則AED面積的最大值為_(kāi)______.【答案】2【分析】由切線性質(zhì)得，到直線的距離等于到的距離，因此，設(shè)到距離為，把面積用表示，然后利用導(dǎo)數(shù)可得最大值．【詳解】根據(jù)題意可得圖，，所以，因此到直線的距離等于到的距離，，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，記，則弦，設(shè)三角形的面積為，所以，將視為的函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)取到最大值，，故面積的最大值為2．故答案為：2．7．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如下條件：向量，，，則的取值范圍是________【答案】【分析】先求出點(diǎn)A的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.過(guò)原點(diǎn)O作此圓的切線，切點(diǎn)分別為M、N，如圖所示，連接，，得到.所以，，即得解.【詳解】由題得所以點(diǎn)A的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.過(guò)原點(diǎn)O作此圓的切線，切點(diǎn)分別為M、N，如圖所示，連接，，則向量與的夾角的范圍是.由圖可知.∵，由知，∴，.∴.故的取值范圍為.故答案為：8．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知x、，時(shí)，求的最大值與最小值．【答案】最小值是1，最大值是【分析】根據(jù)表示圓，設(shè)表示關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸均對(duì)稱的正方形，然后由直線與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】的圖形是圓，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．設(shè)，由式子的對(duì)稱性得知的圖形是關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸均對(duì)稱的正方形．如圖所示：當(dāng)b變化時(shí)，圖形是一個(gè)正方形系，每個(gè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正方形系中的正方形與圓有公共點(diǎn)時(shí)，求b的最值問(wèn)題．當(dāng)時(shí)，正方形與圓沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，正方形與圓相交于點(diǎn)，若令直線與圓相切，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，正方形與圓相切；當(dāng)時(shí)，正方形與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，故的最小值是1，最大值是．9．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中）已知的內(nèi)切圓的圓心在軸正半軸上，半徑為，直線截圓所得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓方程；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求直線和的斜率；（3）若，兩點(diǎn)在軸上移動(dòng)，且，求面積的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）設(shè)的內(nèi)切圓的圓心，先求得圓心到直線的距離，再根據(jù)直線截圓所得的弦長(zhǎng)為求解；（2）當(dāng)直線和的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，易知不成立；當(dāng)直線和的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，然后由圓心到直線的距離等于半徑求解；（3）根據(jù)，設(shè)，進(jìn)而得到直線AC和直線BC的斜率，寫(xiě)出直線AC和BC的方程，聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而得到坐標(biāo)系的最小值求解.【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)切圓的圓心，圓心到直線的距離為，又因?yàn)橹本€截圓所得的弦長(zhǎng)為，所以，解得，所以圓方程；（2）當(dāng)直線和的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則圓心到直線的距離，不成立，當(dāng)直線和的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離，解得；（3）因?yàn)?，設(shè)，所以直線AC的斜率為：，同理直線BC的斜率為：，所以直線AC的方程為：，直線BC的方程為：，由，解得，即，又，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)取得最小值，所以面積的最小值..10．（2021·新疆烏魯木齊市·烏市八中高二期末（文））已知直線：，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線的上方（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)（在軸上方），問(wèn)在軸正半軸上是否存在點(diǎn)，使得軸平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)直線與圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，由此求解出的值（注意范圍），則圓的方程可求；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直接根據(jù)位置關(guān)系分析即可，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程并聯(lián)立圓的方程，由此可得坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，根據(jù)結(jié)合韋達(dá)定理可求點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解：（1）設(shè)圓心，∵圓心在的上方，∴，即，∵直線：，半徑為2的圓與相切，∴，即，解得：或（舍去），則圓方程為；（2）當(dāng)直線軸，則軸平分，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，，由得，，所以，若軸平分，則，即，整理得：，即，解得：，當(dāng)點(diǎn)，能使得總成立．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·山東高考真題）“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的（）A．充分沒(méi)必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也沒(méi)必要條件【答案】C【分析】由直線與圓相切的等價(jià)條件，易判斷【詳解】由于“圓心到直線的距離等于圓的半徑”“直線與圓相切”，因此充分性成立；“直線與圓相切”“圓心到直線的距離等于圓的半徑”，故必要性成立；可得“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的充要條件故選：C2．（2021·北京高考真題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，若的最小值為2，則A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長(zhǎng)，根據(jù)弦長(zhǎng)最小值得出【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長(zhǎng)為，則當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)取得最小值為，解得.故選：C.3.（2020·全國(guó)高考真題（理））已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓的方程可化為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時(shí)，，，此時(shí)最?。嗉?，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D.4．【多選題】（2021·全國(guó)高考真題）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.5.（2021·山東高考真題）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)與圓的圓心重合，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓的直徑，那么短軸長(zhǎng)等于______．【答案】【分析】由于是圓，可得，通過(guò)圓心和半徑計(jì)算，即得解【詳解】由于是圓，即：圓其中圓心為，半徑為4那么橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，即，，，那么短軸長(zhǎng)為故答案為：6．（2019·北京高考真題（文））設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為_(kāi)_________．【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，焦點(diǎn)F（1,0），準(zhǔn)線l的方程為x=-1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.專題9.3橢圓練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（浙江高考真題）橢圓的離心率是（）A． B． C． D．2.（2019·北京高考真題）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則()A．a(chǎn)2=2b2 B．3a2=4b2 C．a(chǎn)=2b D．3a=4b3．（上海高考真題）設(shè)是橢圓上的點(diǎn)．若是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則等于()A.4 B.5 C.8 D.104．（2020·四川資陽(yáng)?高三其他（理））已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的離心率為，則的方程是（）A． B．C． D．5.（2020·河北棗強(qiáng)中學(xué)高三月考（文））已知橢圓C的方程為，焦距為，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．6．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的上、下焦點(diǎn)，在橢圓上是否存在點(diǎn)P，使，，成等差數(shù)列？若存在求出和的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)（，2，…），使，，，…組成公差為d的等差數(shù)列，求a的取值范圍．8．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)時(shí)，求的最大值；9．（2021·云南師大附中高三月考（理））橢圓C:的離心率是，且點(diǎn)A(2，1)在橢圓C上，O是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）直線l過(guò)原點(diǎn)，且l⊥OA，若l與橢圓C交于B，D兩點(diǎn)，求弦BD的長(zhǎng)度.10．（2021·南昌大學(xué)附屬中學(xué)高二月考）已知是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，且.（1）求此橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且，求的面積.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2020·湖北黃州?黃岡中學(xué)高三其他（文））已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，總有，則橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)_____.3.（2019·浙江高三月考）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率為_(kāi)_____；若過(guò)且斜率為的直線與橢圓相交于AB兩點(diǎn)，且，則___.4．（2019·浙江溫州中學(xué)高三月考）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在橢圓上，且的最大值等于，則橢圓的離心率的最大值等于__________，當(dāng)橢圓的離心率取到最大值時(shí)，記橢圓的右焦點(diǎn)為，則的最大值等于__________．5．（2020·浙江高三月考）已知是橢圓（）和雙曲線（）的一個(gè)交點(diǎn)，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別為橢圓和雙曲線的離心率，若，則的最小值為_(kāi)_______．6．（2020·浙江高三其他）已知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（焦點(diǎn)）和到定直線的距離之比為離心率時(shí)，該直線便是橢圓的準(zhǔn)線.過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)P，做橢圓的右準(zhǔn)線的垂線PH（H為垂足），并延長(zhǎng)PH到Q，使得HQ=λPH(λ≥1).當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡的離心率的取值范圍是___.7．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn).長(zhǎng)軸在z軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn)O的距離為的點(diǎn)的坐標(biāo).8．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)P為其上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.9．（2021·全國(guó)）（1）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，求的最大值；（2）已知，是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值．10．（2021·貴州高三月考（文））已知橢圓C：的離心率為，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F與上頂點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線l的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）斜率不為0的直線n過(guò)點(diǎn)F，與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若橢圓C上一點(diǎn)P滿足，求直線n的斜率.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國(guó)高考真題（理））設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．2.（2018·全國(guó)高考真題（理））已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（）A． B． C． D．3.（2019·全國(guó)高考真題（文））已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為（）A. B. C. D.4.（2019·全國(guó)高考真題（文））設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為_(kāi)__________.5．（2021·江蘇高考真題）已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且.①求直線的方程；②求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.6.（2020·天津高考真題）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)滿足，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．求直線的方程．專題9.3橢圓練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（浙江高考真題）橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，選B．2.（2019·北京高考真題）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則()A．a(chǎn)2=2b2 B．3a2=4b2 C．a(chǎn)=2b D．3a=4b【答案】B【解析】橢圓的離心率,化簡(jiǎn)得,故選B.3．（上海高考真題）設(shè)是橢圓上的點(diǎn)．若是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則等于()A.4 B.5 C.8 D.10【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓的方程為，所以，由橢圓的的定義知，故選D．4．（2020·四川資陽(yáng)?高三其他（理））已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的離心率為，則的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，可得，解得，故的方程是.故選：A5.（2020·河北棗強(qiáng)中學(xué)高三月考（文））已知橢圓C的方程為，焦距為，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，則由，可知，即，解得，所以把點(diǎn)代入橢圓方程得到，整理得，即，因，所以可得故選A項(xiàng).6．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的上、下焦點(diǎn)，在橢圓上是否存在點(diǎn)P，使，，成等差數(shù)列？若存在求出和的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】不存在；理由見(jiàn)解析．【分析】假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題設(shè)，解方程組得和的值，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】解：假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題設(shè)，則由及題設(shè)條件有，即，解得，或．由，得，．則，．∵，，∴不存在滿足題設(shè)要求的點(diǎn)P．7．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)（，2，…），使，，，…組成公差為d的等差數(shù)列，求a的取值范圍．【答案】【分析】分情況討論等差數(shù)列是遞增，還是遞減，分別列出不等式求解范圍.【詳解】解：注意到橢圓的對(duì)稱性及最多只能兩兩相等，可知題中的等差數(shù)列可能是遞增的，也可能是遞減的，但不可能為常數(shù)列，即．先考慮一般情形，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式有，（），因此．對(duì)于橢圓（），其焦半徑的最大值是，最小值是（其中）．當(dāng)?shù)炔顢?shù)列遞增時(shí)，有，．從而．再由題設(shè)知，且，故，因此．同理，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列遞減時(shí)，可解得，故所求d的取值范圍為．8．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)時(shí)，求的最大值；【答案】【分析】由橢圓定義，轉(zhuǎn)化，即得解【詳解】如圖所示，設(shè)是左焦點(diǎn)，則，，而．∴,當(dāng)點(diǎn)F1在線段AM上時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為．9．（2021·云南師大附中高三月考（理））橢圓C:的離心率是，且點(diǎn)A(2，1)在橢圓C上，O是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）直線l過(guò)原點(diǎn)，且l⊥OA，若l與橢圓C交于B，D兩點(diǎn)，求弦BD的長(zhǎng)度.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用離心率和點(diǎn)在橢圓上可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先利用直線垂直的判定得到直線的斜率和方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，消元得到關(guān)于的一元二次方程，進(jìn)而求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.【詳解】（1）由，得：，又點(diǎn)在橢圓上，所以，得，，所以橢圓的方程是．（2）直線的方程是，因?yàn)?，且過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程是，與橢圓聯(lián)立，得：，即，所以，則．10．（2021·南昌大學(xué)附屬中學(xué)高二月考）已知是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，且.（1）求此橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且，求的面積.【答案】（1）此橢圓的方程為；（2）的面積為.【分析】（1）由已知條件求出橢圓中即可得到橢圓方程；（2）結(jié)合橢圓的定義以及余弦定理的知識(shí)求出的值，運(yùn)用三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槭菣E圓兩個(gè)焦點(diǎn)，所以，①又因?yàn)?，②所以由①②可得，所以此橢圓的方程為.（2）設(shè)，由橢圓定義可知，③在中，由余弦定理得，即，④由③④式可得，，所以.即的面積為.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】若長(zhǎng)軸端點(diǎn)，由橢圓性質(zhì)：過(guò)的兩條切線互相垂直可得，結(jié)合求橢圓離心率的范圍.【詳解】在橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)處向圓引兩條切線，，若橢圓上存在點(diǎn)，使過(guò)的兩條切線互相垂直，則只需，即，∴，得，∴，又，∴，即．故選：C2．（2020·湖北黃州?黃岡中學(xué)高三其他（文））已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，總有，則橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】如圖，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，由對(duì)稱性知是平行四邊形，，∵，∴，設(shè)，，由橢圓定義知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，在中，由余弦定理得，又，，∴，解得．故答案為：．3.（2019·浙江高三月考）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率為_(kāi)_____；若過(guò)且斜率為的直線與橢圓相交于AB兩點(diǎn)，且，則___.【答案】【解析】由于點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)Q在橢圓上，由于的傾斜角為,畫(huà)出圖像如下圖所示，由于是坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性和中位線的知識(shí)可知為等腰直角三角形，且為短軸的端點(diǎn)，故離心率.不妨設(shè)，則橢圓方程化為，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得.設(shè)，則①，②.由于，故③.解由①②③組成的方程組得，即.故填：（1）；（2）.4．（2019·浙江溫州中學(xué)高三月考）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在橢圓上，且的最大值等于，則橢圓的離心率的最大值等于__________，當(dāng)橢圓的離心率取到最大值時(shí)，記橢圓的右焦點(diǎn)為，則的最大值等于__________．【答案】【解析】化簡(jiǎn)為，圓心.的最大值為5等價(jià)于的最大值為4設(shè)，即，又化簡(jiǎn)得到當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證等號(hào)成立對(duì)稱軸為滿足故故離心率最大值為當(dāng)時(shí)，離心率有最大值，此時(shí)橢圓方程為，設(shè)左焦點(diǎn)為當(dāng)共線時(shí)取等號(hào).故答案為和5．（2020·浙江高三月考）已知是橢圓（）和雙曲線（）的一個(gè)交點(diǎn)，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別為橢圓和雙曲線的離心率，若，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】.【解析】根據(jù)橢圓與雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，那么，因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，有：，，解得，，在中，由余弦定理，可得：，即，整理得，所以，又，所以.故答案為6．（2020·浙江高三其他）已知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（焦點(diǎn)）和到定直線的距離之比為離心率時(shí)，該直線便是橢圓的準(zhǔn)線.過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)P，做橢圓的右準(zhǔn)線的垂線PH（H為垂足），并延長(zhǎng)PH到Q，使得HQ=λPH(λ≥1).當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡的離心率的取值范圍是___.【答案】【解析】由題可知：橢圓的右準(zhǔn)線方程為設(shè)，所以點(diǎn)由，所以，又，所以所以由，所以則點(diǎn)的軌跡方程為設(shè)點(diǎn)Q的軌跡的離心率則由，所以所以，則，又所以故答案為：7．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn).長(zhǎng)軸在z軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn)O的距離為的點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】;，.【分析】設(shè)以P點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切，結(jié)合判別式等于零，參數(shù)值可確定，符合條件的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)也可求得.【詳解】∵，∴，∴.∵，∴，，∴設(shè)橢圓方程為①又∵到橢圓上的最遠(yuǎn)距離為，則可構(gòu)造圓.②此圓必與橢圓相切，如圖所示，由①②整理得.

∵橢圓與圓相切，∴，③∴，則.則所求橢圓方程為.④把代入方程③可得，把代入④得.∴橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)為，.8．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)P為其上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】【分析】當(dāng)為直角時(shí)，作以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，若該圓與已知橢圓相交，則圓內(nèi)的橢圓弧所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍即為所求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】的焦點(diǎn)為、，如圖所示：以原點(diǎn)為圓心，為半徑作圓與橢圓相交于A、B、C、D四點(diǎn)，此時(shí)、、、都為直角，所以當(dāng)角的頂點(diǎn)P在圓內(nèi)部的橢圓弧上時(shí)，為鈍角，由，解得.因?yàn)闄E圓和圓都關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，所以點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是.9．（2021·全國(guó)）（1）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，求的最大值；（2）已知，是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）的最大值為，最小值為．【分析】（1）利用橢圓定義和基本不等式求的最值；（2）求的最值時(shí)，利用橢圓的定義將其轉(zhuǎn)化為求的最值，顯然當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最值．【詳解】（1）∵，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最大值為100．（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，可化為，由已知，得，∴，∴．①當(dāng)時(shí)，有，等號(hào)成立時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)是射線與橢圓的交點(diǎn)，的最大值是．②當(dāng)時(shí)，有，等號(hào)成立時(shí)，最小，此時(shí)點(diǎn)是射線與橢圓的交點(diǎn)，的最小值是．綜上，可知的最大值為，最小值為．10．（2021·貴州高三月考（文））已知橢圓C：的離心率為，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F與上頂點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線l的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）斜率不為0的直線n過(guò)點(diǎn)F，與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若橢圓C上一點(diǎn)P滿足，求直線n的斜率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知條件可得再結(jié)合，可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設(shè)直線n的方程為，設(shè)點(diǎn)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立