第二章群(練習(xí)附答案)

1.設(shè)是實數(shù)集,則對任意的,代數(shù)運(yùn)算(C)(A)適合結(jié)合律但不適合交換律(B)適合交換律但不適合結(jié)合律(C)不適合結(jié)合律和交換律(D)適合結(jié)合律和交換律2.在群中,,的階為12,則的階為(B)(A)12(B)3(C)4(D)63．在7次對稱群中和,則等于（A）(A)(B)(C)(D)7.在群中,,則方程和分別有唯一解為(B)(A),(B),(C),(D),8.設(shè)是正整數(shù)集,則對任意的,下面“o”是代數(shù)運(yùn)算的是(B)(A)(B)(C)(D)9.設(shè)是實數(shù)集,代數(shù)運(yùn)算是普通加法，下列映射是的自同構(gòu)的是(D)(A)(B)(C)(D)10.在偶數(shù)階群中階等于2的元數(shù)為(A)(A)奇數(shù)(B)偶數(shù)(C)1(D)不可確定11．在5次對稱群中元和的乘積是（D）(A)(B)(C)(D)12．若群的階為48,的真子群的階不可能為(C)(A)12(B)16(C)18(D)2413．群中元的階為24中，那么的循環(huán)子群的階為(C)(A)3(B)4(C)8(D)921．{所有整數(shù)},令:,當(dāng)是偶數(shù);,當(dāng)是奇數(shù).則為(B)(A)單射變換(B)滿射變換(C)一一變換(D)不是變換22．若,且的階為有限整數(shù),則下列說法正確的是(A)(A)與模的剩余類加群同構(gòu)(B)的階可能無限(C)元中沒有相同元(D)與整數(shù)加群同構(gòu)24.設(shè)是有理數(shù)集,則對任意的,下列“o”是代數(shù)運(yùn)算的是(C)(A)(B)(C)(D)25.在群中,,則方程的唯一解為(D)(A)(B)(C)(D)26．在6次對稱群中的階是（A）(A)5(B)24(C)12(D)631.設(shè)是實數(shù)集,則對任意的,代數(shù)運(yùn)算(C)(A)適合結(jié)合律但不適合交換律(B)適合交換律但不適合結(jié)合律(C)不適合結(jié)合律和交換律(D)適合結(jié)合律和交換律32.設(shè)是有理數(shù)集,則對任意的,下列“o”是代數(shù)運(yùn)算的是(A)(A)(B)(C)(D)33.在群中,,則方程的唯一解為(D)(A)(B)(C)(D)34．在5次對稱群中的階是（B）(A)2(B)3(C)4(D)537.在16階循環(huán)群中,循環(huán)子群的階為(D)(A)6(B)3(C)4(D)816.用循環(huán)置換的方法寫出5次對稱群的元和,并計算，，.解:，，,(或),（或）.（或）17.求出模48的剩余類加群的所有子群.這些子群是否是不變子群?解:因為為循環(huán)群,所以為交換群,又因為48的所有正整數(shù)因子為：1，2，3，4，6，8，12，16,24，48.所以模48的剩余類加群的所有子群為循環(huán)子群：([1]),([2]),([3]),([4]),([6]),([8]),([12]),([16]),([24]),([0]).并且這些子群都是不變子群.設(shè)群中元的階為，試證：當(dāng)且僅當(dāng).證明:必要性:設(shè),其中為整數(shù),,那么有,由的階為知,即.充分性:由可設(shè),其中為整數(shù),那么有,8.若群的每一個元都適合方程，那么是交換群.證明:任取,可知，，,所以所以是交換群.9.證明:一個循環(huán)群必是一個交換群.證明:設(shè)循環(huán)群，任取，則有所以循環(huán)群是交換群.12.證明：有限群中元的階都有限.證明:設(shè)是一個有限群，對任意的，則元都是中元，且其中一定有相同元.不妨設(shè)，則有，即.由且為有限正整數(shù)得的階為有限.13.證明:階為素數(shù)的群一定是循環(huán)群,且群中任意元都可作為群的生成元.證明:設(shè)是一個階為素數(shù)的有限群,則對任意的,的循環(huán)子群有個不同的元,所以為循環(huán)群,且群中任意元都可作為群的生成元.1、設(shè)是群中的元素，且，，則。(√)2、法則不是自然數(shù)集上的一個代數(shù)運(yùn)算。(√)3、設(shè)集合，則上所有對換作成的集合是次對稱群的一個生成系。(√)4、設(shè)是實數(shù)集，規(guī)定：，則是上的一個等價關(guān)系。(×)5、交換群中任意兩個子群的乘積仍是子群。(√)7、設(shè)是循環(huán)群中一個元素，則當(dāng)且僅當(dāng)。(×)8、若，則到的映射是滿射當(dāng)且僅當(dāng)是單射。(×)3、試求置換，，的階。4、任意集合上自身到自身的映射稱之為置換。(×)5、有限群中的元素的階一定都有限。(√)3、在群中設(shè)，則對任意整數(shù)，