適用于新高考新教材廣西專版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量高考解答題專項四第2課時求空間角課件

第2課時求空間角高考解答題專項四考點一異面直線所成的角典例突破例1.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,AD=SA=2,AB=1,點E是棱SD的中點.(1)證明:SC⊥AE;(2)求異面直線CE與BS所成角的余弦值.方法總結(jié)用向量法求異面直線所成角的步驟

對點訓(xùn)練1(2022安徽舒城中學(xué)模擬)如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是正方形,AF∥DE,AF=AD=2DE,AF⊥底面ABCD.(1)證明:BD∥平面CEF;(2)求異面直線BD與CE所成角的余弦值.(1)證明如圖①,連接AC,交BD于點M,取CF的中點N,連接MN,NE.又由AF∥DE,AF=2DE,所以MN∥DE,MN=DE,故四邊形MNED是平行四邊形,所以BD∥NE.又因為BD?平面CEF,NE?平面CEF,所以BD∥平面CEF.圖①

(2)解以A點為坐標原點,建立空間直角坐標系如圖②所示,圖②

考點二直線與平面所成的角典例突破例2.(2022浙江,19)如圖,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角為60°.設(shè)M,N分別為AE,BC的中點.(1)證明:FN⊥AD;(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.又CD⊥CF且CD⊥BC,∴∠BCF為二面角F-DC-B的平面角,∠BCF=60°,∴△BCF為等邊三角形.又N為BC的中點,∴FN⊥BC.又CF?平面BCF,CB?平面BCF且CB∩CF=C,∴DC⊥平面BCF.又FN?平面BCF,∴FN⊥DC.又DC?平面ABCD,BC?平面ABCD且DC∩BC=C,∴FN⊥平面ABCD.又AD?平面ABCD,∴FN⊥AD.方法總結(jié)求直線與平面所成角的兩種方法

對點訓(xùn)練2如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AA1=2AB=2,E是DD1上的一點,且DE=.(1)求證:平面A1B1D⊥平面AEC;(2)求直線A1D與平面AEC所成角的正弦值.(1)證明

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面AA1D1D.因為AE?平面AA1D1D,所以A1B1⊥AE.又因為A1D∩A1B1=A1,所以AE⊥平面A1B1D.因為AE?平面AEC,所以平面A1B1D⊥平面AEC.(2)解在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA,DC,DD1兩兩垂直,故以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.考點三二面角典例突破例3.在四棱錐Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=,QC=3.(1)證明:平面QAD⊥平面ABCD;(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.(1)證明取AD的中點為O,連接QO,CO.因為QA=QD,OA=OD,則QO⊥AD.因為QC=3,則QC2=QO2+OC2,故△QOC為直角三角形,且QO⊥OC.因為OC∩AD=O,故QO⊥平面ABCD.因為QO?平面QAD,所以平面QAD⊥平面ABCD.(2)解在平面ABCD內(nèi),過點O作OT∥CD,交BC于點T,則OT⊥AD,由(1)知QO⊥平面ABCD,則以O(shè)T,OD,OQ所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖所示.則D(0,1,0),Q(0,0,2),B(2,-1,0),方法總結(jié)利用空間向量求二面角的兩種常用方法

對點訓(xùn)練3(2022新高考Ⅰ,19)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4,△A1BC的面積為2.(1)求A到平面A1BC的距離;(2)設(shè)D為A1C的中點,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.(2)連接AB1交A1B于點E,如圖.∵AA1=AB,∴AB1⊥A1B.又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,∴AB1⊥平面A1BC.又BC?平面A1BC,∴BC⊥AB1,又BC⊥BB1,AB1,BB1?平