2021年湖南師大附中高考數(shù)學(xué)（二模）模擬試卷（二）（解析版）

2021年湖南師大附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（二）（二模）

一、選擇題（每小題5分）.

1.已知全集1/=凡集合4={#^-以+3>0},B={x|-l<x<2},則（CuA）UB=（）

A.（-1,1]B.[1,2）C.[1,3]D.（-1,3]

2.在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)z=l+i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)2fz2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.某校開設(shè)A類選修課4門，B類選修課3門，每位同學(xué)從中選3門.若要求兩類課程中

都至少選一門，則不同的選法共有（）

A.18種B.24種C.30種D.36種

4.天文學(xué)中為了衡量天體的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯（Hipparchus,又名依巴

谷）在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，天體就越亮；星等的

數(shù)值越大，天體就越暗.到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測(cè)量中的應(yīng)用，英國(guó)天文

學(xué)家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度

可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足如-加2=2.5（叫-叫）,其中

星等為m的星的亮度為E（i=l,2）.已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星

等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的/?倍，則/■的近似值為（）（當(dāng)僅|較小

時(shí)，10a1+2.3*+2.7/）

A.1.23B.1.26C.1.51D.1.57

5.如圖所示為2018年某市某天中6/7至14/7的溫度變化曲線，其近似滿足函數(shù)y=Asin

TV

（3x+（p）+b（4>0,3>0,-^-<cp<it）的半個(gè)周期的圖象，則該天8/z的溫度大約為

（）

A.16℃B.15℃C.14℃D.13℃

6.《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題：把100個(gè)面

包分給5個(gè)人，使每個(gè)人的所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的4是較小的兩份之

和，則最小一份的量為()

7.已知B(-c,0)、F2(c,0)是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，Q關(guān)于雙曲線

的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為P,且點(diǎn)P在拋物線V=4”上，則雙曲線的離心率為()

A.&+1B.2C.75D.

8.在直四棱柱4BCO-A4IC0I中，底ABC￡＞是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)E在線段AO上.且

滿足AE=2ED.過點(diǎn)E作直四棱柱ABCD-4SGA外接球的截面.所得的截面面積的

最大值與最小值之差為19n.則直四棱柱外接球的半徑為()

A.MB.273C.373D.4/3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.如圖，在四面體ABCO中，截面「QMN是正方形，則在下列命題中，正確的為()

B.AC〃截面P0WN

C.AC=BD

D.異面直線PM與8。所成的角為45°

10.卜列命題中，正確的命題有()

一2

A.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布8(小p),若E(X)=30,D(X)=20,則

B.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變

C.設(shè)隨機(jī)變量《服從正態(tài)分布N(0,1),若P解＞1)=p,貝iJP(-l＜g40)總一p

D.若某次考試的標(biāo)準(zhǔn)分X服從正態(tài)分布N(90,900),則甲、乙、丙三人恰有2人的

3

標(biāo)準(zhǔn)分超過90分的概率為卷

o

11.關(guān)于函數(shù)f(x)=cosx」一有如下四個(gè)命題，其中正確的命題有()

COSX

A.,f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

B./(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

JT

C./(X)的圖象關(guān)于直線X丁對(duì)稱

D./(X)的值域?yàn)?-8,-2]U[2,+8)

12.若實(shí)數(shù)則下列不等式中一定成立的是()

A.(f+3)In(f+2)>(r+2)In(f+3)

B.(/+1)1+2>G+2),+1

C.畔>1嗚(什1)

D.log(/+i)(f+2)>log</+2)(f+3)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量之，芯夾角為45。，且域1=1,|2^-則后=.

14.若直線ax+2by-2=0(〃>0,/?>0),始終平分圓x^y2-4x-2y-8=0的周長(zhǎng)，則[??

ab

的最小值為.

41

15.已知數(shù)列｛〃,1｝中，a1干，且數(shù)列｛兒｝滿足%二一，則｛為｝的通

17an-1

項(xiàng)公式是hn=.

logo(x^~3x+l),x<0

16.設(shè)，(x)=<2,且關(guān)于x的方程/(x)=m(mGR)恰有三個(gè)

2_12_x|,x》0

互不相等的實(shí)數(shù)根為，X2,X3,則:

①加的取值范圍是；

②即XM3的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

17.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,且〃>c.已知以?前=2,cosB

=看b=3.求：

⑴a和c的值；

(2)cos(B-C)的值.

18.已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前"項(xiàng)和為S,”且滿足4S“=(??+1)2,若數(shù)列｛瓦｝

滿足加=2,歷=4,且等式d2=小一協(xié)”+|對(duì)任意成立.

(1)求數(shù)列｛小｝的通項(xiàng)公式；

(2)將數(shù)列｛?。c｛6｝的項(xiàng)相間排列構(gòu)成新數(shù)列0,bl,G,歷，…,an,bn,設(shè)該

新數(shù)列為｛Cn｝,求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式和前2〃項(xiàng)的和?！?；

(3)對(duì)于(2)中的數(shù)列｛品｝前〃項(xiàng)和7；,若乙》入?Cn對(duì)任意"6N*都成立，求實(shí)數(shù)人的

取值范圍.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,N4BC=90°,AB=BC=1,△PQC是邊長(zhǎng)

為2的等邊三角形，平面P￡?CJ_平面A8C￡>,E為線段PC上一點(diǎn).

(1)設(shè)平面H48A平面POC=/,證明：/〃平面48CD；

(2)是否存在這樣點(diǎn)E,使平面AOEF與平面ABCO所成角為60°,如果存在，求-斜

的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)G有3個(gè)電子元件組成，各個(gè)

電子元件能否正常工作的概率均為且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立.若系統(tǒng)

G中有超過一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，否則就需要維修，且維修所

需費(fèi)用為500元.

(I)求系統(tǒng)不需要維修的概率；

(II)該電子產(chǎn)品共由3個(gè)系統(tǒng)G組成，設(shè)S為電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的費(fèi)用，

求E的分布列與期望：

(III)為提高G系統(tǒng)正常工作概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個(gè)功能完全一樣的其他品牌的電子

元件，每個(gè)新元件正常工作的概率均為P，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作,

則G可以正常工作，問：?滿足什么條件時(shí)，可以提高整個(gè)G系統(tǒng)的正常工作概率？

19

21.已知函數(shù)/(x)=xsinx+cosx+-^-ax-

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求/(x)在［-71,n］上的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)。＞0時(shí)，討論了(X)在［0,河上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

22.已知斜率為左的直線交橢圓3f+》2=入(入＞0)于A,B兩點(diǎn),AB的垂直平分線與橢圓

交于C,。兩點(diǎn)，點(diǎn)N(l,yo)是線段AB的中點(diǎn).

(1)若泗=3,求直線4?的方程以及人的取值范圍；

(2)不管人怎么變化，都有4B,C,。四點(diǎn)共圓，求加的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知全集U=R,集合B={x\-l<x<2},則（Cu4）UB=（）

A.(-1,1]B.[1,2)C.[1,3]D.(-1,3]

解：由r-41+3>0解得xVl或x>3,貝ijA=(-8,i)u(3,+~),

所以(CuA)UB=[1,3]U(-1,2)=(-1,3].

故選：D.

2.在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)z=i+,a?是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)4z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：Vz=l+z,

a+i）22i=i-i+2i=i+i,

2_^Z2=1+斗護(hù),

Z1+1kl+lMl-l）

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,1）,位于第一象限，

故選：4.

3.某校開設(shè)A類選修課4門，8類選修課3門，每位同學(xué)從中選3門.若要求兩類課程中

都至少選一門，則不同的選法共有（）

A.18種B.24種C.30種D.36種

解：根據(jù)題意，分兩種情況討論：①若從A類課程中選1門，從8類課程中選2門，有

Cj<3=12（種）選法；

②若從A類課程中選2門，從B類課程中選1門，有C%C；=18（種）選法.

綜上，兩類課程中都至少選一門的選法有12+18=30種；

故選：C.

4.天文學(xué)中為了衡量天體的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯（Hipparchus,又名依巴

谷）在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，天體就越亮；星等的

數(shù)值越大，天體就越暗.到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測(cè)量中的應(yīng)用，英國(guó)天文

學(xué)家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度

可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足如-"22=2.5QgEz-lgEi),其中

星等為m的星的亮度為E(i=l,2).已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星

等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，則，?的近似值為()(當(dāng)園較小

時(shí)，。七1+2&+2.7r)

A.1.23B.1.26C,1.51D.1.57

解：設(shè)“心宿二”和“天津四”的亮度分別為昂，民,

由題意可得，1-1.25=2.5QgEz-IgEi),

E<iEi—11

所以1際一=而，則r廿=1。1°=1+2.3X去+2.7X-^-=l.257，

D2±U匕21UU

所以〃的近似值為1.26.

故選：B.

5.如圖所示為2018年某市某天中6h至14/7的溫度變化曲線，其近似滿足函數(shù)y=Asin

兀A、

(a)x+(p)+b(A>0,a)>0,的半個(gè)周期的圖象，則該天8/z的溫度大約為

()

A.16℃B.15℃C.14℃D.13℃

解：根據(jù)函數(shù)尸Asin(3x+(p)+8的半個(gè)周期圖象知，解得A=10,b=20,

T

又：7r=14-6=8,

所以：7=16,

山z_2TT_7T

所以：0)=---=-T-,

1Q

n

又x=6時(shí)，y=10,E|JlOsin(--X6+(p)+20=10,

o

3JT

解得：(p=2E：H,keZ；

打

又：-^-V(pVTT,

=3兀

所以：(p

4

所以：y=10sin(--XH——)+20,

84

兀QJT

可得：x=8時(shí)，j=10sin(―X8^—>+20=-入房20-13℃,即該天8/i的溫度大

84

約為13℃.

故選：D.

6.《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題：把100個(gè)面

包分給5個(gè)人，使每個(gè)人的所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的4是較小的兩份之

和，則最小一份的量為()

A.I*B.-J-C.4D.

解：由題意可得中間的那份為20個(gè)面包，

設(shè)最小的一份為0,公差為4，

由題意可得[20+(”i+3d)+(?+4d)]X-^-=ai+(a\+d),

解得0=李

O

故選：c.

4-4=1的左、右焦點(diǎn)，Q關(guān)于雙曲線

7.已知Fi(-c,0)、尸2(c,0)是雙曲線C：

的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為P,且點(diǎn)P在拋物線丁=43上，則雙曲線的離心率為()

A.V2+1B.2C.V5D.

解：如圖：尸聲垂直直線區(qū)-◎=0,交點(diǎn)為H,入到雙曲線的一條漸近線fer-ay=O的

be

距離為：d=I=h,

Ma'9+b9”

△QP&中，PF、=2d=2b,拋物線V=4cx的焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0),

PFi=2a,tanZFiOH=—cosZF\OH=—sinZFi(?//=—,

afcfc

可得COS/OFIP=2,sinZOFiP=—,P,

CCcc

點(diǎn)P在拋物線y2=4cx上，

「?殂4a2b22b2，，

可得：---5~~=4cr(-----c)=8〃-4c2,

/c

.\e4-3e2+l=0,e>l,

_V5+1

2

8.在直四棱柱A8CD-A由iG9中，底ABC。是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)E在線段A。上.且

滿足AE=2ED.過點(diǎn)E作直四棱柱ABCD-4BGA外接球的截面.所得的截面面積的

最大值與最小值之差為19n.則直四棱柱A8CD-A山CQi外接球的半徑為()

A.MB.273C.3A/3D.473

解：：四棱柱4BCD-4BICQI是直四棱柱，且底面是正方形，

其外接球的球心位于直四棱柱的中心，記作0,過。向底面ABC。作垂線，垂足為G,

貝IJ0G=￡/L4I,連接B。，：底面ABC。是邊長(zhǎng)為6的正方形，；.G為B。的中點(diǎn)，

取AO的中點(diǎn)F,連接OF,OE,OB,

設(shè)A4i=2a,則OG=a,二外接球的半徑火=。8=JoG2+/BD)2=42+第.

；點(diǎn)E在線段AD上，且滿足AE=2ED,則EF=DF-DE=^AB=1,

6

又FG=*AB=3,：.0F=7a2+9-

；直四棱柱中，48，側(cè)面4。。14,FG//AB,FGJ_側(cè)面AO￡)i4,

：.FG±AD,又OG_L底面ABC￡>,

：.0GLAD,又FGCIOG=G,平面OFG,則0F_L4￡>.

則<5￡=V0F2+EF2=7a2+10-

根據(jù)球的特征，過點(diǎn)E作直四棱柱ABC。-AEG。的外接球的截面,

當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大，此時(shí)截面面積為TTR2,

當(dāng)OE垂直于截面時(shí)，此時(shí)截面圓的半徑為JR2_0E2.

...止匕時(shí)截面面積為S]=兀（A/R2-OE2）2=兀（R2-0E2）.

又截面面積的最大值與最小值之差為19n,

S-SI=71R2-JI（R2_OE2）=71?OE2=1971,

因止匕序+]0=19,即居=9,則R=y=3a.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.如圖，在四面體ABCO中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，正確的為（）

A.AC1.BD

B.AC〃截面PQMN

C.AC=BD

D.異面直線P仞與BD所成的角為45°

解：因?yàn)榻孛鍼QMN是正方形，所以PQ〃MN、QM//PN,

則PQ〃平面ACD,QM〃平面BDA,

所以PQ〃AC,QM//BD,

由PQ_LQM可得AC_L8D,故A正確；

由PQ〃AC可得AC〃截面PQMN,故B正確；

異面直線PM與BD所成的角等于PM與。例所成的角，故D正確；

綜上C是錯(cuò)誤的.

故選：ABD.

10.下列命題中，正確的命題有()

A.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布8(〃，p),若E(X)=30,D(X)=20,則

B.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變

C.設(shè)隨機(jī)變量彳服從正態(tài)分布N(0,1),若P(《>1)=p,則P(-l<g40)卷-p

D.若某次考試的標(biāo)準(zhǔn)分X服從正態(tài)分布N(90,900),則甲、乙、丙三人恰有2人的

3

標(biāo)準(zhǔn)分超過90分的概率嗚

o

解：根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差的公式，可得E(X)=/7/7=30,D(X)=np(1-

P)=20,解得p],所以A錯(cuò)誤；

根據(jù)數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式可知，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差恒

不變，所以8正確；

由正態(tài)分布的圖象的對(duì)稱性可得P(-l<g<o)=-2P(：>1)^p,所以c

正確；

甲、乙、丙三人恰有2人的標(biāo)準(zhǔn)分超過90分的概率c：4)2(14)=9，故。正確.

022o

故選：BCD.

11.關(guān)于函數(shù)f(x)=cosx'^^有如下四個(gè)命題，其中正確的命題有()

COSX

A.于(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

B./(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

JT

C./(%)的圖象關(guān)于直線x*對(duì)稱

D.f(x)的值域?yàn)?-8,-2]Uf2,+8)

TT

解：由題意知『(X)的定義域?yàn)閧xlx戶-g-+k兀，k€z},且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又

f(-x)=cos(~x)+--7~<-=cosx+~--=f(X),

COSk-XjCOSX

所以函數(shù)/CO為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以A正確，8錯(cuò)誤.

/兀、/兀、1?1

用出f(丁-X)=cos(丁-X)+----------=sinx+-T-

因?yàn)?2/兀、sin

cosk-^-x)

f(-7T+x)=cos(丁+X)+--------zz----=-sinx-----

22/兀、sinx,

cosk~^-+xj

TTITTT

所以f(?y+x)^f(彳-x)，所以函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線x*對(duì)稱，C錯(cuò)誤.

當(dāng)cosx<0時(shí)，/(x)W-2,當(dāng)cosx>0時(shí)，f(x)22,所以￡>正確.

故選：AD.

12.若實(shí)數(shù)f22,則下列不等式中一定成立的是（）

A.(f+3)In(f+2)>(f+2)In(f+3)

B.(z+1),+2>(f+2),+1

C.14-(Z+l)

D.log(i+i)(r+2)>log(z+2)(f+3)

解：令/(x),則f'(x)JTy-,

XX

易得，當(dāng)x>e時(shí)，r(X)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<e時(shí)，f(x)>0,函數(shù)單調(diào)

遞增,

因?yàn)閠》2,f+3>f+3>e,

ln(t+3)一ln(t+2)

所以?

t+3t+2

所以(f+2)In(r+3)<(r+3)In(r+2)

ln(t+l);ln(t+2)

同理t+1-~t+2

所以(r+2)In(f+1)>(r+1)In(r+2),

所以(f+1),+2>(r+2)r+l,B正確;

所以(f+2)In(/+1)>(f+1)In(r+2),A正確;

ln'+D23,

令g(x)

Inx

xlnx-(x+l)ln(x+l)

則g'(x)=2<0,

Inx

故g(x)在［3,+8)上單調(diào)遞減，g(r+1)>g(r+2),

向、iln（t+2）、ln（t+3）

所以而k

故logr+l(r+2)>10g/+2(f+3),。正確；

對(duì)于C,l^>log,(z+1)Q^^〉ln，+D,結(jié)合選項(xiàng)A的討論，

ttlnttt+1

f與e的大小不確定，故C錯(cuò)誤.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量之，3夾角為45。，且11=1,|2--3=V7o-則l~Q=.

解：???向量工式夾角為45。，且域|=1,|2a-bl=V10.

?力4整+/-4；?釬田，

化為4+R|2-4?COS45。=1。,

化為|b|2-272I訃6=0,

Ib|>0，

解得后=3A/2.

故答案為：

14.若直線ax+lby-2=0(a>0,b>0),始終平分圓f+y2-4x-2y-8=0的周長(zhǎng)，則1i、

ab

的最小值為3+2折.

解：由圓的性質(zhì)可知，直線ax+2by-2=0即是圓的直徑所在的直線方程.

?.,圓爐+V-以-2〉-8=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)『13,

圓心(2,1)在直線or+2勿-2=0上，

/.2a+2b-2=0即a+b=1,

(-4-^-)(a+b)=3也+區(qū)23+2衣，

ababab

■的最小值3+2&.

ab

故答案為3+2&.

41

15.已知數(shù)列｛。〃｝中，節(jié),且。,奴〃-1+1=2加i,數(shù)列｛d｝滿足為二％則｛兒｝的通

項(xiàng)公式是bn=_n一考.

解：因?yàn)閍nani+l=2ani所以

b_b1__1_an_L'n______anr]_a.______.nT-、_

a

nklan-la^-l(an-l)(a^^l)^n-l-n

因?yàn)閍1=4,所以bi1~^T==，所以數(shù)列｛"｝是首項(xiàng)為4，公差為1的等差數(shù)列，

1fa°O

所以bn=4切一1=n一^~?

00

故答案為：

o

logo(x^_3x+l),x<0

16.設(shè)f(x)=｛2,且關(guān)于1的方程f(x)=m("?￡R)恰有三個(gè)

2-12-x|,x〉0

互不相等的實(shí)數(shù)根為，及，心,則：

①加的取值范圍是(0,2)；

②MW3的取值范圍是_(2(3-歷)，0)_.

解：當(dāng)xVO,y=log2(x2-3x+l)單調(diào)遞減，作出函數(shù)/(x)的圖象，如圖所示，

由圖可知，當(dāng)0VmV2時(shí)，f(x)=m(/HGR)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根XI,照，工3,

不妨設(shè)2Vx3,易知及>0,且X2+X3=2X2=4,

A0<X2X3<4,

3

令I(lǐng)og2(x2-3x+l)=2,解得x衛(wèi)毅(舍去)或x=一尹?

符<勺<。,

<

X]x2x3C0.

故答案為：①(0,2)；②(2(3-&1),0).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

17.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a>c.已知以?前=2,cosB

=卷，h—3.求：

(1)。和C的值;

(2)cos(B-C)的值.

解：⑴BA*BC=2,cosB=—,b=3,

o

可得cacosB=2,即為ac=6；

b2=a2+c2-2〃ccos8,

即為4+/=13,

解得。=2,c=3或。=3,c=2,

由。,c,可得。=3,c=2；

(2)由余弦定理可得

一a2+b2-c29+9-47

2ab2X3X39

sinC=N=里

V819

sinB=J「=^X

V93

172\[?4\/?93

則cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=—X—X—.

393927

18.已知數(shù)列｛〃〃｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S〃，且滿足4S〃=(如+1)2,若數(shù)列｛仇｝

滿足61=2,岳=4,且等式=2=加一="+1對(duì)任意成立.

(1)求數(shù)列｛〃,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)將數(shù)列伍”｝與｛為｝的項(xiàng)相間排列構(gòu)成新數(shù)列0,by,42,岳，…，而bn,設(shè)該

新數(shù)列為｛/｝,求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式和前2n項(xiàng)的和72,,；

(3)對(duì)于(2)中的數(shù)列｛Cn｝前〃項(xiàng)和7“，若空》入?Cn對(duì)任意〃€N*都成立，求實(shí)數(shù)人的

取值范圍.

解：(1)由4S.=3+1)2,

〃=1時(shí)，4a尸(aJi)4解得0=1.

2

時(shí)，4“"=4(S?-5,1-1)=(a,i+l)-(an_j+1)

化為：(a”+斯一|)(an-a,,.1-2)=0,

?.?數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，??.小+。,川＞0,

??Cln-Cln-|=2,

???數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1,公差為2.

,\a,i=1+2(n-1)=2H-1.

(2)數(shù)列｛?。凉M足歷=2,岳=4,且等式也+i對(duì)任意之22成立.

.?.數(shù)列｛為｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2,公比為/=2.

???為=2〃.

n,n=2k-l

?\品=<a，依N*.

22,n=2k

+.2(2上12.=〃2+2"+I-2.

22-1

(3)刀,2入?Cn,即n2+2n+1-22入Cn,

k2+21rH

二2的最小值,

鹿=2人時(shí)，入

2k

r小k2+2k1-1-2k2-2

f(k)-------：-----=-：F2,

2k2k

心2時(shí)單調(diào)遞減，."(%)<2q2+2=掾.

22

時(shí)，/⑴=號(hào)2="|?

,入若.

2

Tn+l-Cn+1

n=2k-1lit，^史1?的最小值，

cn

同理可得：入W1.

綜上可得：實(shí)數(shù)人的取值范圍是入W1.

19.如圖，在四棱錐尸-438中，AB//CD,/ABC=90°,AB=BC=\,△「￡>(；是邊長(zhǎng)

為2的等邊三角形，平面P￡>CJ_平面ABC。，E為線段PC上一點(diǎn).

(1)設(shè)平面尸ABC平面PDC=/,證明：/〃平面4BCD；

(2)是否存在這樣點(diǎn)E,使平面AOEF與平面ABCC所成角為60°,如果存在，求惇:

的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】(1)證明：因?yàn)锳B〃C￡),ABC平面POC,OCu平面PQC,

所以AB〃平面P￡?C,................................

又A8〃平面PA8,且平面PABCI平面尸DC=/,所以AB〃/.

又以平面ABC￡>,A8u平面ABC。，所以/〃平面ABC。.......................

(2)解：設(shè)。C中點(diǎn)為O,貝lJPO_L￡?C,因?yàn)槠矫鍼OC,平面ABCO,所以P0,平面

ABCD,

以。為原點(diǎn)，0A為x軸，0C為)，軸，0P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

由已知有A(1,0,0)、。(0,-1,0)、C(0,1,0)、P(0,0,圾),

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)E,設(shè)m=入行(0(入〈1)，則求得E(0,1-X,英入)，

DE=(0,2-入，V3))................

平面ABCD的一個(gè)法向量為

m=(0,0,1)，.........................................

設(shè)平面AOEF的一個(gè)法向量為1=(x,y,z),DA=(1,1,0).

Z—?.

nJ_DA),nkDA=O,'x"0,

由,得〈_____從而<

,nlDEn*DE=0,(2-人)y+V3入z=0.

9—入f/

取X=1，則尸-1,工二冊(cè)入，n=(l，-1，

若平面4OEF與ABCO平面所成角為60°,

則卜0$〈!!1.$1=卜尸:

ImI-In|

整理得入2+4入-4=0,

解得入=2(&T)E[0,1],

故存在這樣的點(diǎn)E滿足條件,普=2(沂-1).

20.某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)G有3個(gè)電子元件組成，各個(gè)

電子元件能否正常工作的概率均為，?，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立.若系統(tǒng)

G中有超過一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，否則就需要維修，且維修所

需費(fèi)用為500元.

(I)求系統(tǒng)不需要維修的概率；

(II)該電子產(chǎn)品共由3個(gè)系統(tǒng)G組成，設(shè)？為電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的費(fèi)用，

求E的分布列與期望；

(III)為提高G系統(tǒng)正常工作概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個(gè)功能完全一樣的其他品牌的電子

元件，每個(gè)新元件正常工作的概率均為p,且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，

則G可以正常工作，問：?滿足什么條件時(shí)，可以提高整個(gè)G系統(tǒng)的正常工作概率？

【解答】解(I)系統(tǒng)不需要維修的概率為臺(tái)白)2卷+4(/)35

(II)設(shè)X為維修的系統(tǒng)的個(gè)數(shù)，則X?B(3,y),且A500X,

所以P(&=500k)=P(X=k)劉，每汽^產(chǎn)匕k=o,1,2,<.

所以S的分布列為

050010001500

P3_3_

77S-7

1321

所以S的期望為E(f)=0X-^+500X-^-+1000X-^+1500X-^-=750..

OO8O

(III)當(dāng)系統(tǒng)G有5個(gè)電子元件時(shí)，

原來(lái)3個(gè)電子元件中至少有1個(gè)元件正常工作，G系統(tǒng)的才正常工作.

若前3個(gè)電子元件中有1個(gè)正常工作，同時(shí)新增的兩個(gè)必須都正常工作,

1113

則概率為C%?勺)2爐=耕

若前3個(gè)電子元件中有兩個(gè)正常工作，同時(shí)新增的兩個(gè)至少有1個(gè)正常工作,

則概率為哈S)(1_p)+c1-(y)2?%=得(2p/)；

乙乙乙乙O

若前3個(gè)電子元件中3個(gè)都正常工作，則不管新增兩個(gè)元件能否正常工作，

系統(tǒng)G均能正常工作，則概率為C%(!)3=4.

所以新增兩個(gè)元件后系統(tǒng)G能正常工作的概率為52啟(2p-p2)

88848

于是由-5=盤(2〃-1)知，當(dāng)2〃-1>0時(shí)，即《VpVl時(shí)，

48282

可以提高整個(gè)G系統(tǒng)的正常工作概率.

［2

21.已知函數(shù)/(x)=xsiar4-cosx4-^-ax.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求f(x)在［-7T,n］上的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。>0時(shí)，討論/(x)在［0,2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：(1)當(dāng)。=0時(shí)\f(x)=xsinx+cosx,xe［-n,n］,

f(x)=sinr+xcosx-sinx=xcosx,

當(dāng)x在區(qū)間［-冗，IT］上變化時(shí)，f(x),/(x)的變化如下表：

TTK

X-TT(號(hào)，o)0吟，九)71

5~)F(o,-y-)T

f(x)+0-0+0-

/(x)-1增極大減極增極大減-1

值T小值

fl'L1兀

T

TTTTJT

.?./(X)的單調(diào)增區(qū)間為(-冗，(0,-^),/(X)的單調(diào)