基于樣條半解析法的三維路面動(dòng)力方程

基于樣條半解析法的三維路面動(dòng)力方程

1生長動(dòng)力時(shí)域反分析方法目前，落錘沉淀儀（fwd）廣泛應(yīng)用于道路損傷的檢測和評價(jià)中。通常人們采用的是擬靜力分析方法,即以各傳感器所測得的最大位移的連線作為路面信息,通過靜力分析反演路面結(jié)構(gòu)的特性。這樣包含在FWD產(chǎn)生的荷載和位移信號中的很多信息未得到利用,且靜力分析中忽略了慣性、阻尼和共振等動(dòng)力因素的影響。顯然這種方法不能正確反映路面在落錘式彎沉儀(FWD)動(dòng)力荷載的受力特點(diǎn)。因此,如何簡便,真實(shí)確定路面材料參數(shù)一直是工程界和學(xué)術(shù)界長期關(guān)注的課題。文獻(xiàn),分別提出了粘彈性層狀地基的動(dòng)力時(shí)域和頻域反分析方法。在時(shí)域反分析方法中,由于采用時(shí)程分析方法進(jìn)行動(dòng)力有限元計(jì)算需要耗費(fèi)較長的時(shí)間,而動(dòng)力反分析通常要數(shù)次調(diào)用計(jì)算模型,因此快速有效地對路面模量進(jìn)行反演仍未很好地得到解決。另一方面,對于路面的力學(xué)模型的分析大都以空間軸對稱為理論基礎(chǔ),作用在路面上的荷載是呈圓形均布作用的。但是,實(shí)際的路面在寬度方向的尺寸通常是有限的,且荷載常常作用在路面邊緣。這樣,所分析的問題就變成了一個(gè)三維問題。對于三維空間模型,文獻(xiàn),提出應(yīng)用一種半解析半數(shù)值的方法——有限層法分析空間層狀路面和空間層狀地基。文獻(xiàn)提出采用等參有限元分析空間問題,但由于單元過多,方法難于在工程上應(yīng)用。文獻(xiàn)提出選擇一次樣條函數(shù)作為半解析法中的插值函數(shù),選擇付里葉級數(shù)作為半解析半數(shù)值的方法中的解析函數(shù)族,利用付里葉級數(shù)的正交性,將三維問題簡化為一維問題處理,從而大幅度降低了計(jì)算量。本文在文獻(xiàn)的理論基礎(chǔ)上,提出分析空間層狀路面動(dòng)力時(shí)域響應(yīng)的樣條半解析法,結(jié)果表明,它是一個(gè)實(shí)用而有效的方法。在此基礎(chǔ)上,針對落錘式彎沉儀(FWD)的動(dòng)力荷載的時(shí)程曲線,建立了路面材料性能時(shí)域反演的加速收斂算法。并對落錘式彎沉儀(FWD)所測現(xiàn)場時(shí)程曲線在時(shí)域下進(jìn)行動(dòng)力反演分析,從而確定路面的結(jié)構(gòu)參數(shù)。為應(yīng)用落錘式彎沉儀(FWD)快速、有效評價(jià)路面提供一條有效的途徑。2節(jié)點(diǎn)參數(shù)矩陣假設(shè)路面在沿深度的方向上分成N個(gè)水平層,厚度為hk,結(jié)點(diǎn)非均勻分布在區(qū)間[0,H]上,使層間交界線通過結(jié)點(diǎn)。層間符合一定的連續(xù)條件,每一層用不同的彈性常數(shù)(Ei,vi)來表征,且符合連續(xù)、彈性、均質(zhì)、各向同性等彈性理論假設(shè)。地基的位移函數(shù)表示為半解析半離散形式,即在X、Y兩個(gè)方向用付里葉級數(shù)逼近,在Z方向進(jìn)行一次樣條插值。位移函數(shù)的表達(dá)形式為:u=R∑m=1S∑n=1[?]Xmn{a}mn(1)v=R∑m=1S∑n=1[?]Ymnmn(2)w=R∑m=1S∑n=1[?]Zmn{c}mn(3)式中Xmn,Ymn,Zmn分別為雙向Fourier級數(shù)函數(shù),{a}mn=[a0,a1???aΝ]Τ?mn=[b0,b1,??bΝ]Τ?{c}mn=[c0,c1,??cΝ]Τ?[?]=[?0,?1,???Ν]為一組由一次樣條函數(shù)構(gòu)成的基函數(shù),一次樣條函數(shù)具有(0,1)的基特性。這使其在節(jié)點(diǎn)位移、邊界條件處理上非常簡單,即可以將節(jié)點(diǎn)參數(shù){a}mn,mn,{c}mn直接表示節(jié)點(diǎn)位移。將位移函數(shù)式用矩陣統(tǒng)一表示為:{δ}={uvw}=R∑m=1S∑n=1[Ν]mn{γ}mn(4)式中:[N]mn為形函數(shù)矩陣,{γ}mn為節(jié)點(diǎn)參數(shù)矩陣。空間幾何方程ε={εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx}T=R∑m=1S∑n=1[B]mn[γ]mn=[B][γ](5)根據(jù)廣義虎克定律,應(yīng)力分量可由下式確定:{σ}=[D]{ε}=[D][B]{γ}(6)[D]為彈性矩陣,對與第k層[Dk]=[d1(k)d2(k)d3(k)000d1(k)d3(k)000d4(k)000d5(k)00對稱d6(k)0d6(k)]式中,對于各向同性體d1(k)=[1-v(k)]E(k)[1-2v(k)](1+μ(k))d2=d3=d1(k)v(k)1-v(k)d4(k)=d5(k)=d6(k)=E(k)2(1+v(k))利用彈性動(dòng)力學(xué)的Hamilton原理,可以得到關(guān)于樣條節(jié)點(diǎn)參數(shù){γ(t)}的方程:[Μ]{??γ}+[C]{˙γ}+[Κ]{γ}=[F(t)](7)廣義剛度矩陣[K]由下式確定:[K]=∫v[B]T[D][B]dv=[k]mnpq[M]=∫vρv[N]T[N]dv=[M]mnpq(8)[C]=α[M]+β[K][K]mnpq=∫Η0∫Ly/2-Ly/2∫Lx/2-Lx/2[B]Tmn[D][B]pqdxdydz[M]mnpq=∫Η0∫Ly/2-Ly/2∫lx/2-Lx/2ρs[N]Tmn[N]pqdxdydz(m,p=1,2…R)(n,q=1,2…S),ρs的土層密度,根據(jù)文獻(xiàn)取α=0,β=0.001廣義荷載列陣{f}由下式確定:{f}=∫v[N]T{q}dv=[{f}Τ12…{f}Τ1s…{f}ΤR1{f}ΤR2…{f}ΤRS]T(9)式中:{f}mn=∫v[N]Τmn{q}dv=[{fu}Τmn{fv}Tmn{fw}Τmn]T級數(shù)Xmn,Ymn,Zmn各項(xiàng)之間不存在耦聯(lián),可以對每一項(xiàng)分別進(jìn)行計(jì)算,于是方程組簡化為下列R×S個(gè)獨(dú)立的方程組:[Μ]mnmn{¨γ}+[C]mnmn{˙γ}+[Κ]mnmn{γ}=[f(t)]mnm=1,2,…Rn=1,2,…S(10)其中[K]mnmn由下式確定:[K]mnmn=∫H0∫Ly/2-Ly/2∫Lx/2-Lx/2[B]Tmn[D][B]mndxdydz=[[Κ]uu[Κ]uv[Κ]uw[Κ]vv[Κ]vw對稱[Κ]ww]mnmn(11)各子矩陣的具體形式如下:[Κ]uu=Ν∑k=1d1(k)J1[Fkz]+d5(k)J2[Fkz]+d6(k)J3[Ckz][Κ]uv=Ν∑k=1d2(k)J4[Fkz]+d5(k)J5[Fkz][Κ]uw=Ν∑k=1d3(k)J6[Ηkz]+d6(k)J7[Ηkz]Τ[Κ]vv=Ν∑k=1d1(k)J8[Fkz]+d5(k)J9[Fkz]+d6(k)J10[Ckz][Κ]vw=Ν∑k=1d3(k)J11[Ηkz]+d6(k)J12[Ηkz]Τ[Κ]w?w=Ν∑k=1d4(k)J13[Ckz]+d6(k)J14[Fkz]+d6(k)J15[Fkz]式中,J1～J15為Fourier級數(shù)的積分,矩陣[Ckz],[Fkz],[Hkz]的表達(dá)式如下:[Ckz]=∫hk[?′]T[?′]dz[Fkz]=∫hk[?]T[?]dz[Hkz]=∫hk[?]T[?′]dz需要指出的是,上式中各矩陣的元素為一次樣條函數(shù)或與其一階導(dǎo)數(shù)的乘積在樣條結(jié)點(diǎn)間的積分,由于插值函數(shù)采用一次函數(shù),根據(jù)樣條函數(shù)的緊湊性,矩陣[Ckz]、[Fkz]及[Hkz](k=1,2,……,N)中只含一個(gè)非零不超過2階的子矩陣,其余元素均為零,各矩陣的具體形式見附錄。[M]mnmn由下式確定:[M]mnmn=∫Η0∫Ly/2-Ly/2∫Lx/2-Lx/2[N]Tmn[N]mndxdydz=[[Μ]uu000[Μ]vv000[Μ]ww]mnmn(12)[Μ]uu=Ν∑k=1ρkJ3[Fkz][Μ]vv=Ν∑k=1ρkJ10[Fkz][Μ]ww=Ν∑k=1ρkJ13[Fkz]對于FWD荷載的計(jì)算,需將其簡化為表面豎向矩形均布荷載作用(圖1),qx=0,qy=0,qz(t)=q(t)ab,如令a=b,則荷載列陣為{fu}mn={fv}mn=0{fw}mn=[?(0)]Τ∫-a2a2∫-a2a2qa2Ζmndxdy=[?(0)]Τ4q(t)LxLya2π2mnsinmπ2cosnπ2sinmπa2Lxsinnπa2Ly(13)[?(0)]Τ=[10??0]ΤΝ+1對于第mn項(xiàng),采用Wilson?θ法求出一次樣條結(jié)點(diǎn)參數(shù){a}mn=[a0,a1,……aN]T,mn=[b0,b1,……bN]T,{c}mn=[c0,c1,……cN]T,從而由式(1)、(2)、(3)得到荷載全程動(dòng)力響應(yīng)。3路面模型的建立系統(tǒng)識別也叫結(jié)構(gòu)辨識或結(jié)構(gòu)識別,它是研究如何根據(jù)已知的系統(tǒng)輸入和輸出來確定系統(tǒng)模型參數(shù)的方法。首先建立一個(gè)合理的力學(xué)(或數(shù)學(xué))模型來模擬實(shí)際未知系統(tǒng),從而達(dá)到真實(shí)模擬未知系統(tǒng)的目的,即模型的計(jì)算機(jī)仿真。然后通過現(xiàn)有的測量方法截取實(shí)際未知系統(tǒng)的信息特征(如位移、應(yīng)力、應(yīng)變)。最后通過迭代過程修改模型參數(shù)使其與實(shí)際系統(tǒng)之間的信息特征誤差在某種意義上達(dá)到最小。在系統(tǒng)識別分析過程中,根據(jù)誤差極小化的基本方法不同,可分為:1.正向分析法。即系統(tǒng)輸入數(shù)據(jù)已知,模型輸入數(shù)據(jù)與之相同,通過調(diào)整模型參數(shù),使模型輸出與系統(tǒng)輸出之間的誤差達(dá)到最小;2.逆向分析法。即系統(tǒng)輸出已知,模型輸出數(shù)據(jù)與之相同,調(diào)整模型參數(shù),使模型輸入與系統(tǒng)輸入之間的誤差達(dá)到最小;3.綜合分析法。即正向分析法和逆向分析法的綜合應(yīng)用。由于正向分析法采用正向分析模型,很容易計(jì)算模型輸出,并形成參數(shù)調(diào)整算法,與逆向分析法和綜合法相比要簡單,因此實(shí)際應(yīng)用多采用正向分析法。系統(tǒng)識別基本分析過程如圖2所示?？梢酝ㄟ^系統(tǒng)識別方法建立路面的時(shí)域反分析方法,其基本過程如下:①利用FWD檢測系統(tǒng)對路面結(jié)構(gòu)進(jìn)行現(xiàn)場非破壞性試驗(yàn),觀測其在已知荷載作用下的時(shí)程變形;②應(yīng)用所建的力學(xué)模型,在時(shí)域內(nèi)計(jì)算在相同荷載作用下路面結(jié)構(gòu)的時(shí)程位移(正分析);③建立模型修改算法,逐步調(diào)整模型參數(shù),使計(jì)算位移(峰值附近一系列位移)與實(shí)測位移(峰值附近一系列位移)之間在要求的時(shí)間內(nèi)誤差達(dá)到最小。目標(biāo)函數(shù)為:minJ(E1,E2…EN,q,t)=1ΝΤ×ΝS∑i=1ΝS∑j=1ΝΤ[Wi,jc(E)-Wi,jm(E)Wi?jc]2(14)NT為反演時(shí)程點(diǎn)個(gè)數(shù),NS為傳感器個(gè)數(shù),Wci,j和Wmi,j分別為在j時(shí)刻i傳感器的計(jì)算彎沉和測量彎沉,q為荷載時(shí)程,E={E1,E2…EN}為各層路面模量,N為層數(shù)。對于N層路面力學(xué),其模型為:Wc=f(E1,E2,……EN,q,t)(15)其中,Wc為計(jì)算彎沉,第k個(gè)傳感器處的彎沉值可表示為:Wc=fk(E1,E2,……EN,q,t),在t=tn時(shí)刻,對E={E1,E2…EN}進(jìn)行泰勒級數(shù)展開,并取一級近似可得:fk(E+ΔE)=fk(E)+?fkΔE=?fk?E1ΔE1+?fk?E2ΔE2+??+?fk?EΝΔEΝ(16)由(16)式ek=fk(E+ΔE)-fk(E)?fkΔE=?fk?E1ΔE1+?fk?E2ΔE2+??+?fk?EΝΔEΝ(17)對不同的傳感器建立上述方程,可得控制方程為:[F]{ΔE}={e}(18)其中,{ΔE}=[ΔE1ΔE2……ΔEN]T,{e}=[Δe1Δe2……ΔeNS]T[F]表示靈敏度矩陣[F]=[?W1?E1???W1?EΝ???????WΝS?E1???WΝS?EΝ](19)式中?Wi?Ej表示路面第i點(diǎn)的變形對第j個(gè)參數(shù)的敏感性,其數(shù)值計(jì)算方法見文。為加快收斂速度,本文對控制方程做對數(shù)變換。變換后的控制方程為:[F′]{Δ(lgE)}={lgWm}-{lgWc}(20)其中,{Δ(lgE)}為變換后的誤差向量,[F′]為變換后的靈敏度矩陣:[F′]=[?(lgW1)?(lgE1)???(lgW1)?(lgEΝ)???????(lgWΝS)?(lgE1)???(lgWΝS)?(lgEΝ)]求解方程,得到解向量{Δ(lgE)},從而得出下次迭代的彈性模量:Enew=Eold×10ΔlgE(21)應(yīng)用同樣方法,在峰值附近各時(shí)間段內(nèi)建立一系列靈敏度矩陣,組成一個(gè)總靈敏度矩陣,并在此基礎(chǔ)上求解一個(gè)形式如(20)式的方程組。上述的控制方程組可能成為“病態(tài)”方程,在這種情況下,奇異值分解技術(shù)是較有效的求解方法。其數(shù)值計(jì)算方法見文獻(xiàn)。4實(shí)際算例分析我們對某路面結(jié)構(gòu)進(jìn)行材料參數(shù)反演分析,分別采用文獻(xiàn)方法和本文方法,選擇不同的初始值比較了其收斂趨勢。例1某三層路面結(jié)構(gòu)見表1,落錘式彎沉儀(FWD)傳感器布置見表2,輸入荷載時(shí)程、輸出響應(yīng)時(shí)程見圖3、圖4,反演結(jié)果見圖5、圖6和圖7。由以上實(shí)際算例的分析結(jié)果可以看出,面層、基層、土基的初始模量變化范圍分別為50MPa～5000MPa、50MPa～5000MPa和5MPa～500MPa,且均可穩(wěn)定的收斂,收斂迭代次數(shù)比文獻(xiàn)方法可減少大約20%,大大節(jié)省了計(jì)算時(shí)間。因此本文建立的路面結(jié)構(gòu)材料性能反演分析方法的收斂效果是顯著的。5fwd動(dòng)力反分析方法本文提出應(yīng)用樣條半解析方法計(jì)算路面的動(dòng)力響應(yīng),結(jié)合系統(tǒng)識別原理和靈敏度分析所建立的反分析方法,