大學(xué)高等數(shù)學(xué)等價無窮小

大學(xué)高等數(shù)學(xué)等價無窮小這個問題很多人都搞不明白，很多自認為明白的人也不負責(zé)任地說一句“乘除可以，加減不行”，包括不少高校教師。其實這種講法是不對的！關(guān)鍵是要知道其中的道理，而不是記住結(jié)論。.做乘除法的時候一定可以替換，這個大家都知道。如果f(x)?u(x),g(x)?v(x),那么limf(x)/g(x)=limu(x)/v(x)。關(guān)鍵要記住道理limf(x)/g(x)=limf(x)/u(x)*u(x)/v(x)*v(x)/g(x)其中兩項的極限是1,所以就順利替換掉了。.加減法的時候也可以替換！但是注意保留余項。f(x)?u(x)不能推出f(x)+g(x)?u(x)+g(x),這個是很多人說不能替換的原因，但是如果你這樣看：f(x)?u(x)等價于f(x)=u(x)+o(f(x)),那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x)),注意這里是等號，所以一定是成立的！問題就出在u(x)+g(x)可能因為相消變成高階的無窮小量，此時余項o(f(x))成為主導(dǎo)，所以不能忽略掉。當u(x)+g(x)的階沒有提高時，o(f(x))仍然是可以忽略的。比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替換的，因為ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x),所以ln(1+x)+x和2x是等價無窮小量。但是如果碰到ln(1+x)-x,那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x),此時發(fā)生了相消，余項o(x)成為了主導(dǎo)項。此時這個式子仍然是成立的！只不過用它來作為分子或分母的極限問題可能得到不定型而無法直接求出來而已。碰到這種情況也不是說就不能替換，如果你換一個高階近似：ln(1+x)=x-xA2/2+o(xA2)那么ln(1+x)-x=-xA2/2+o(xA2)這個和前面ln(1+x)?x=o(x)是相容的，但是是更有意義的結(jié)果，此時余項。依人2)可以忽略。也就是說用x-xA2/2作為ln(1+x)的等價無窮小量得到的結(jié)果更好。從上面的例子就可以看出來，余項很重要，不能直接扔掉，因為余項當中包含了一定的信息。而且只要保留余項，那么所做的就是恒等變換(注意上面我寫的都是等式)而不是近似，這種方法永遠是可行的，即使得到不定型也不可能得出錯誤的結(jié)論。等你學(xué)過帶余項的Taylor公式之后對這一點就會有更好的認識。高數(shù)教了一段時間了，對于等價無窮小量代換法求極限為什么只能在乘除中使用，而不能在加減的情況下使用的條件感到有些疑惑，于是找了一些資料，仔細的研究了這個問題，整理如下：等價無窮小的定義及常用的等價無窮小無窮小量是指某變化過程中極限為。的變量。而等價無窮小量是指在某變化過程中比值極限為工的兩個無窮小量。常用的等價無窮小有：si八八 八?x(xf。)sin]1]x~taiiQ)5x?arctan;&k?arcsin!&k~ln?(i+x)~x(xfo)工—COSX/z2,I+X Vn-X^A（X->O）i-cos^x?x22,i+xn-i~xn（x一o）等價無窮小量在求極限問題中非常重要。恰當?shù)氖褂玫葍r無窮小量代換常常使極限問題大大簡化。但是有時卻不能使用等價無窮小量代換。等價無窮小替換原理定理1：設(shè)oca”仇生a,ai,0,01是某一變化過程中的無窮小量，且2a?ai,0?01,若f/^^limaP存在，則,麗口廠/麗口邛［Iima0=limai0i。例1：口2?_0/八(l+3X)Sin2X.limxfoln?(i+3x)sin?2x.解：八(2+3X)si八2X=/ikvic3X2X=32.1imxfoln?(i+3x)sin?2x=limxfO3x2x=32.例2:僅八X-Sl八XX4limx—otan?x-sin?xx3.錯誤解法:一介七〃八X-S/八XXw=一cX-XXx二°limxfotanmx-sin?xx3=limxox-xx3=o.正確解法:limXT0tanx-sinxx3=limXT0sinx(1-cosx)x3?cosx=limXT01Hosxx2?coSX=hmx—012cosX=12.limx-0tan?x-sin?xx3=limx-0sin?x(i-cos?x)x3-cos?x=limx-01-cos?xx2-cos?x=limx-012cos回x=i2.從上面的解法可以看出，該題分子不能直接用等價無窮小量替代來做，下面我們分析產(chǎn)生錯誤的原因：等價無窮小之間本身一般并不相等，它們之間一般相差一個較它們高階的無窮小，由函數(shù)f(X)f(x)在點X=0x=0處的泰勒公式，即麥克勞林公式：f(x)=f(0)+f,(0)x+產(chǎn)(0)2!X2+Tf(n)(0)n!Xn+o(Xn)f(x)=f(0)+f,(0)x+產(chǎn)(0

)2!x2+…+f(n)(0)n!xn+o(xn)很容易有：tanx=x+x33+2x515+o(x5).(x-0)tan?x=x+x33+2x515+o(x5).(x-0

)sinX=X+X33!+X55!+X77!+T(-1)m_iX2m_i(2m-1)!+o(X2m_i)(XT0)si

n?x=x+x33!+x55!+x77!+—+(-1)m-1x2m-1(2m-1)!+o(x2m-1).(x-

0)由此可知，\sin{x}與\tan{x}相差一個較Xx的三階無窮小，此三階無窮小與分母X5x3相比不可忽略，因為把上述結(jié)論代入原式得“mXT0tanX-sinXX3=limx-0x33+x33,+o(X3)X3=12.limxf0tan?x-si

n?xx3=limx_0x33+x33!+o(x3)x3=12.由此，我們可以得出：加減情況下不能隨便使用等價無窮小。下面我們給出一個在加減情況下使用等價無窮小的定理并加以證明。在這里我們只討論減的情況，因為我們知道加上一個數(shù)可以看成減去這個數(shù)的負數(shù)。為方便，首先說明下面的定理及推論中的無窮小量其自變量都是Xx,其趨近過程都相同：X-Ox-0,在有關(guān)的極限中都省去了極限的趨近過程。定理2：設(shè)出以1給給1%。1,。,。1是某一變化過程中的無窮小量，且a7a”Bf1a?ai,0?01,則儀一^^工一^1。-。?ai-01的充分必要條件是limaB=k，1lima0=k±i。證明：1。1。充分性：a7X1，B^B1=fimaai=hmBB1=1a7a1,0?010limaa1=lim001=1又limaB=k，1』imaiB1=k，1lima0=k±1,lima101=k±1則〃ma-Bai-Bi=〃maBi-睇laiBiT-kTkTFima-0a1-01=lima01-

001a101-1=k-1k-1=1即儀一^?^-％a-0?a1-01.2。2。必要性：a電a17314m吠-儆廠色二為?0,a1?010lima-0a1-01=1lim(a-Bai-B1-1)=Olim(a-0a1-01-1)=0通分得lima-a1a1-B1-limB-B1a1-B1=Olima-aiai-0i-lim0-0iai_0i=0所以l^maa1-11-^a1-lim1-^^1a1^1-1=0limaa1-11-Pa1-lim1-PP1a1P1-1=0又limaai=1,limPP1=1limaai=i,limPPi=i所以l/mO1-^a1-limOa1^1-1=Olim0i-Pai-lim0aiPi-i=0所以limB1al=k，lTima1B1=k,1lim0iai=k±i0limai0i二k±i又limaB=limaiB1.limaP=limaiPi.所以limaB=k^1,limaiB1=k^1.limaP=k^i,limaiPi=k^i.由1。,2。io,20得，原命題成立。證畢。這樣一來，就得到了差形式無窮小量等價代換的充要條件。例3:limx-01-COSX+2SinxarcSin2X-SinX.limx-0i-cos?x+2sin?xarcsin國2x-sin?x.解:1-cosx?<22,-2sinx?-2x,2arcsinx?2x,sinx?x(x—o)i-cos?x?x22,-2sin?x 2x,2arcsin?x?2x,sin?x?x(x-0)所以limx_01Hosx-2sinx=Or1JimXT02arcsinxsinx=2,llimx-oi-cos國x-2sin?x=0±i,limx-02arcsin?xsin?x=2±i由定理2得“mXT01Hosx+2sinxarcsin2x-sinx=limx_X22+2xx=2.limxf0i-cos國x+2sin?xarcsin?2x-sin血x=limx-x22+2xx=2.例4：limx_0arctan2X+〃rcSinSXSin3X.limxf0arctan?2x+arcsin國5xsin國3x.解：arctan2x?2x,arcsin5x?5X,Sin3X?3x(x—0)arctan?2x?2x,arcsin國5x?5x,sin?3x?3x(x一0)又limarctan2X-arcSinSX=-25，1limarctan國2x