高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第一冊(cè)第一章《1.4空間向量的應(yīng)用》全部課件

第一章1.4.1空間向量的應(yīng)用1.掌握空間點(diǎn)、線、面的向量表示.2.理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量.3.能用向量法證明直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)一直線的方向向量與平面的法向量思考怎樣用向量來(lái)表示點(diǎn)、直線、平面在空間中的位置？梳理(1)直線的方向向量和平面的法向量答案直線的方向向量能平移到直線上的_____向量，叫做直線的一個(gè)方向向量平面的法向量直線l⊥α，取直線l的____________，叫做平面α的法向量非零方向向量n(2)空間中平行關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則答案線線平行l(wèi)∥m?_____?a＝kb(k∈R)線面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?_____＝0面面平行α∥β?μ∥v?____________線線垂直l⊥m?a⊥b?_______線面垂直l⊥α?a∥μ?___________面面垂直α⊥β?μ⊥v?________a∥ba·μμ＝kv(k∈R)a·b＝0a＝kμ(k∈R)μ·v＝0知識(shí)點(diǎn)二利用空間向量處理平行問題思考(1)設(shè)v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分別是直線l1，l2的方向向量.若直線l1∥l2，則向量v1，v2應(yīng)滿足什么關(guān)系.答案答案由直線方向向量的定義知若直線l1∥l2，則直線l1，l2的方向向量共線，即l1∥l2?v1∥v2?v1＝λv2(λ∈R).(2)若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說(shuō)明直線與平面平行？答案答案可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直，進(jìn)而確定線面是否平行.(3)用向量法處理空間中兩平面平行的關(guān)鍵是什么？答案關(guān)鍵是找到兩個(gè)平面的法向量，利用法向量平行來(lái)說(shuō)明兩平面平行.解析答案類型一利用方向向量和法向量判定線面的位置關(guān)系題型探究

例1(1)設(shè)a，b分別是不重合的直線l1，l2的方向向量，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1，l2的位置關(guān)系：①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)；②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；解①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，∴a＝－2b，∴a∥b，∴l(xiāng)1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l(xiāng)1⊥l2.解析答案∴μ·v＝－3＋2＋1＝0，∴μ⊥v，∴α⊥β.②∵μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)，解析答案反思與感悟(3)設(shè)μ是平面α的法向量，a是直線l的方向向量，根據(jù)下列條件判斷平面α與l的位置關(guān)系：①μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)；②μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0).解①∵μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，∴μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l(xiāng)?α或l∥α.②∵μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0).跟蹤訓(xùn)練1

根據(jù)下列條件，判斷相應(yīng)的線、面位置關(guān)系：(1)直線l1與l2的方向向量分別是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；解析答案解∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)(2)直線l1與l2的方向向量分別是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；解析答案解∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，∴a，b既不共線也不垂直，即l1與l2相交或異面，但不垂直.(3)平面α與β的法向量分別是μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；解析答案解∵μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，∴μ·v≠0且μ≠kv(k∈R)，∴μ與v既不共線也不垂直，即α和β相交但不垂直.(4)直線l的方向向量，平面α的法向量分別是a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3).解析答案解∵a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)，

類型二求平面的法向量解析答案反思與感悟解析答案設(shè)平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，反思與感悟解析答案證明設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，同理DB1⊥AD1，又AC∩AD1＝A，所以DB1⊥平面ACD1，

類型三利用空間向量證明平行關(guān)系解析答案例3已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E、F分別是BB1、DD1的中點(diǎn)，求證：(1)FC1∥平面ADE；證明建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2,2,2)，解析答案反思與感悟(2)平面ADE∥平面B1C1F.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因?yàn)閚1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.解析答案返回跟蹤訓(xùn)練3如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝

AD＝1，問在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.返回解分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，∴存在E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E為PD中點(diǎn)時(shí)，CE∥平面PAB.1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為(

)A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)解析答案A當(dāng)堂訓(xùn)練

123452.已知直線l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直線l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若兩直線l1∥l2，則x，y的值分別是(

)A.6和－10 B.－6和10C.－6和－10 D.6和1012345解析答案解析由兩直線l1∥l2，得兩向量a，b平行，A12345解析答案解析能作為平面α的法向量的向量與μ＝(2，－3,1)共線，(－2,3，－1)＝－μ.D3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一個(gè)法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是(

)A.(0，－3,1) B.(2,0,1)C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)12345解析答案C解析不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為：A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量a＝(x，y，z)，123455.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ACD1的一個(gè)法向量為________.規(guī)律與方法(1)空間中一條直線的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè).(2)方向向量在判斷線線、線面位置關(guān)系時(shí)起到重要的作用.(4)利用待定系數(shù)法求平面的法向量，求出向量的橫、縱、豎坐標(biāo)是具有某種關(guān)系的，而不是具體的值，可設(shè)定某個(gè)坐標(biāo)為常數(shù)，再表示其他坐標(biāo).(5)證明線面平行的方法①設(shè)n是平面α的一個(gè)法向量，v是直線l的方向向量，則v⊥n且l上至少有一點(diǎn)A?α，則l∥α.②根據(jù)線面平行的判定定理：“如果平面外直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行”，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量.③根據(jù)共面向量定理可知，如果一個(gè)向量和兩個(gè)不共線的向量是共面向量，那么這個(gè)向量與這兩個(gè)不共線向量確定的平面必定平行，因此要證明平面外一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可.返回(6)證明面面平行的方法①面面平行的證明可轉(zhuǎn)化為線面平行的證明，即如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行.②利用平面的法向量，證明面面平行，即如果a⊥平面α，b⊥平面β，且a∥b，那么α∥β.第一章1.4.2空間向量的應(yīng)用1.能用向量法判斷一些簡(jiǎn)單線線、線面、面面垂直關(guān)系.2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.3.能用向量方法證明空間線面垂直關(guān)系的有關(guān)定理.學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)一向量法判斷線線垂直思考若直線l1的方向向量為μ1＝(1,3,2)，直線l2的方向向量為μ2＝(1，－1,1)，那么兩直線是否垂直？用向量法判斷兩條直線垂直的一般方法是什么？答案問題導(dǎo)學(xué)

答案l1與l2垂直，因?yàn)棣?·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是兩直線的方向向量，所以l1與l2垂直.(2)判斷兩直線的方向向量的數(shù)量積是否為零，若數(shù)量積為零，則兩直線垂直，否則不垂直.知識(shí)點(diǎn)二向量法判斷線面垂直答案梳理設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?____＝0?__________________答案a·ba1b1＋a2b2＋a3b3＝0判斷直線與平面的位置關(guān)系的方法：(1)直線的方向向量與平面的法向量共線?l⊥α.(2)直線的方向向量與平面的法向量垂直?直線與平面平行或直線在平面內(nèi).(3)直線的方向向量與平面內(nèi)的兩相交直線的方向向量垂直?l⊥α梳理設(shè)直線l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?a∥μ?____________.答案a＝kμ(k∈R)知識(shí)點(diǎn)三向量法判斷面面垂直思考平面α，β的法向量分別為μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐標(biāo)法表示兩平面α，β垂直的關(guān)系式是什么？答案答案x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理若平面α的法向量為μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為ν＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0?__________________.返回a1a2＋b1b2＋c1c2＝0答案解析答案類型一證明線線垂直題型探究

反思與感悟證明設(shè)AB中點(diǎn)為O，作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OO1為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

已知如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求證：AC⊥BC1.解析答案證明∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C兩兩垂直.如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，類型二證明線面垂直解析答案例2如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn).求證：A1O⊥平面GBD.反思與感悟證明方法一如圖以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則O(1,1，0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，解析答案反思與感悟設(shè)平面GBD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，令x＝1，得z＝2，y＝－1，∴平面GBD的一個(gè)法向量為(1，－1,2)，

反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練2

如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn).求證：直線PB1⊥平面PAC.類型三證明面面垂直解析答案例3在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點(diǎn)，求證：平面BEF⊥平面ABC.證明以B為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面ABC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，解析答案反思與感悟設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面BEF的一個(gè)法向量，解析答案返回跟蹤訓(xùn)練3

在正三棱錐(底面是正三角形且側(cè)棱相等)PABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分別為BC、PB上的點(diǎn)，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證：平面GEF⊥平面PBC.證明以三棱錐的頂點(diǎn)P為原點(diǎn)，以PA、PB、PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.令PA＝PB＝PC＝3，則A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，G(1,1，0)，P(0,0,0)，解析答案返回令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1).1.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為(

)①若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥β；②若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β

?

n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a與平面α平行，則n·a＝0；④若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面不垂直.A.1B.2C.3D.4解析答案當(dāng)堂訓(xùn)練

12345解析①中平面α，β可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，易知②③④正確.C2.已知兩直線的方向向量為a，b，則下列選項(xiàng)中能使兩直線垂直的為(

)A.a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B.a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C.a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D.a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)12345解析答案B解析因?yàn)閍＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故選B.12345解析答案解析

∵a∥μ，∴l(xiāng)⊥α.B3.若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為μ＝(－2,0，－4)，則(

)A.l∥α B.l⊥αC.l?α D.l與α斜交12345解析答案4.平面α的一個(gè)法向量為(1,2,0)，平面β的一個(gè)法向量為(2，－1,0)，則平面α與平面β的位置關(guān)系是(

)A.平行 B.相交但不垂直

C.垂直 D.不能確定解析

∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴兩法向量垂直，從而兩平面垂直.C12345解析答案5.已知平面α與平面β垂直，若平面α與平面β的法向量分別為μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，則t的值為___.解析∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量μ與平面β的法向量ν垂直，∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.5規(guī)律與方法(1)立體幾何要解決的主要問題是空間圖形的形狀、大小及其位置關(guān)系.其中點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面之間的距離問題以及直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的夾角問題是立體幾何研究的重要問題，空間向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積涉及向量的模以及向量之間的夾角，我們可以把點(diǎn)、直線、平面用向量表示，然后利用向量的運(yùn)算(特別是數(shù)量積)解決點(diǎn)、直線、平面之間的夾角與長(zhǎng)度等問題.(2)類似用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”，我們可以得出用空間向量解決幾何問題的“三步曲”：返回①建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；③把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義.第一章1.4.3空間向量的應(yīng)用1.理解直線與平面所成角的概念.2.能夠利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角問題.3.體會(huì)用空間向量解決立體幾何問題的三步曲.學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)利用空間向量求空間角思考1

空間角包括哪些角？答案問題導(dǎo)學(xué)

答案線線角、線面角、二面角.思考2求解空間角常用的方法有哪些？答案?jìng)鹘y(tǒng)方法和向量法.(3)二面角的求法：①轉(zhuǎn)化為分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條直線上的方向向量的夾角(注意：要特別關(guān)注兩個(gè)向量的方向).②先求出二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一面的距離及到棱的距離，然后通過(guò)解直角三角形求角.如圖所示，已知二面角α－l－β，在α內(nèi)取一點(diǎn)P，過(guò)P作PO⊥β，PA⊥l，垂足分別為O，A，連接AO，則AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角.③先求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量的夾角，然后結(jié)合圖形與題意判斷求出的是二面角的大小，還是它的補(bǔ)角的大小，從而確定二面角的大小.返回解析答案類型一求兩條異面直線所成的角題型探究

反思與感悟解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是A1D1、A1C1的中點(diǎn)，求異面直線AE與CF所成角的余弦值.解析答案解不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，分別取DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(xiàn)(1,1,2)，類型二求直線和平面所成的角解析答案反思與感悟解析答案解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1與側(cè)面A1ABB1所成的角.解析答案解析答案反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直線SC與底面ABCD的夾角θ的余弦值.解由題設(shè)條件知，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD，AB，AS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).解析答案反思與感悟類型三求二面角例3

在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，AB⊥