多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘法

一、多元函數(shù)的極值和最值1.極大值和極小值的定義一元函數(shù)的極值的定義:是在一點(diǎn)附近將函數(shù)值比大小.定義點(diǎn)P0為函數(shù)的極大值點(diǎn).

類似可定義極小值點(diǎn)和極小值.?設(shè)在點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域,為極大值.則稱多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第一頁1第二頁，共43頁。

注

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的多元函數(shù)的極值也是局部的,一般來說:極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值.有時(shí),極值.極值點(diǎn).內(nèi)的值比較.是與P0的鄰域極小值可能比極大值還大.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第二頁2第三頁，共43頁。例例例函數(shù)存在極值,在(0,0)點(diǎn)取極小值.在(0,0)點(diǎn)取極大值.(也是最大值).在(0,0)點(diǎn)無極值.?橢圓拋物面下半個(gè)圓錐面馬鞍面在簡單的情形下是容易判斷的.函數(shù)函數(shù)(也是最小值).函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第三頁3第四頁，共43頁。2.極值的必要條件證定理1(必要條件)則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:有極大值,不妨設(shè)都有多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法說明一元函數(shù)有極大值,必有類似地可證第四頁4第五頁，共43頁。推廣如果三元函數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù),則它在有極值的必要條件為多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)極值點(diǎn)仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn),駐點(diǎn).如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)如,駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn).?

注第五頁5第六頁，共43頁。3.極值的充分條件定理2(充分條件)的某鄰域內(nèi)連續(xù),有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下:(1)有極值,有極大值,有極小值;(2)沒有極值;(3)可能有極值,也可能無極值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第六頁6第七頁，共43頁。求函數(shù)極值的一般步驟:第一步解方程組求出實(shí)數(shù)解,得駐點(diǎn).第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值第三步定出的符號(hào),再判定是否是極值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第七頁7第八頁，共43頁。例

解又在點(diǎn)(0,0)處,

在點(diǎn)(a,a)處,

故故即的極值.在(0,0)無極值;在(a,a)有極大值,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第八頁8第九頁，共43頁。解練習(xí)求由方程將方程兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù),由函數(shù)取極值的必要條件知,駐點(diǎn)為將上方程組再分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù),多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法法一第九頁9第十頁，共43頁。故函數(shù)在P有極值.代入原方程,為極小值;為極大值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法所以所以zzCPyy-=￠￠=21|第十頁10第十一頁，共43頁。求由方程多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解練習(xí)法二配方法方程可變形為于是顯然,根號(hào)中的極大值為4,※由※可知,為極值.即為極大值,為極小值.第十一頁11第十二頁，共43頁。取得.然而,如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),如:函數(shù)不存在,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值.

在研究函數(shù)的極值時(shí),除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).注由極值的必要條件知,極值只可能在駐點(diǎn)處但也可能是極值點(diǎn).在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第十二頁12第十三頁，共43頁。多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法考研數(shù)學(xué)(一),4分選擇題已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),則(A)點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn).(B)點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn).(C)點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn).(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn).第十三頁13第十四頁，共43頁。其中最大者即為最大值,

與一元函數(shù)相類似,可利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.4.多元函數(shù)的最值求最值的一般方法最小者即為最小值.將函數(shù)在D內(nèi)的所有嫌疑點(diǎn)的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第十四頁14第十五頁，共43頁。解(1)求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)由于所以函數(shù)在D內(nèi)無極值.(2)求函數(shù)在D邊界上的最值(現(xiàn)最值只能在邊界上)圍成的三角形閉域D上的最大(小)值.例多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D第十五頁15第十六頁，共43頁。＊在邊界線＊在邊界線由于最小,由于又在端點(diǎn)(1,0)處,所以,最大.有駐點(diǎn)

函數(shù)值有單調(diào)上升.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D第十六頁16第十七頁，共43頁。＊在邊界線所以,最值在端點(diǎn)處.由于函數(shù)單調(diào)下降,(3)比較多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D第十七頁17第十八頁，共43頁。解練習(xí)此時(shí)的最大值與最小值.駐點(diǎn)得多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法上在求4:94),(2222￡+++=yxDyxyxf第十八頁18第十九頁，共43頁。對(duì)自變量有附加條件的極值.其他條件.無條件極值對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外,并無條件極值多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法第十九頁19第二十頁，共43頁。解例已知長方體長寬高的和為18,問長、寬、高各取什么值時(shí)長方體的體積最大？設(shè)長方體的長、寬、高分別為由題意長方體的體積為多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法且長方體體積一定有最大值,體體積最大.故當(dāng)?shù)拈L、寬、高都為6時(shí)長方由于V在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),,18=++zyx第二十頁20第二十一頁，共43頁。上例的極值問題也可以看成是求三元函數(shù)的極值,要受到條件的限制,這便是一個(gè)條件極值問題.目標(biāo)函數(shù)約束條件多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法

有時(shí)條件極值目標(biāo)函數(shù)中化為無條件極值.可通過將約束條件代入但在一般情形甚至是不可能的.下面要介紹解決條件極值問題的一般方法:下,這樣做是有困難的,拉格朗日乘數(shù)法xyzV=18=++zyx第二十一頁21第二十二頁，共43頁。拉格朗日乘數(shù)法:現(xiàn)要尋求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下取得利用隱函數(shù)的概念與求導(dǎo)法如函數(shù)(1)在由條件(1)(2)極值的必要條件.取得所求的極值,那末首先有(3)確定y是x的隱函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法

不必將它真的解出來,則于是函數(shù)(1)即,取得所取得極值.求的極值.)),(,(xyxfz=第二十二頁22第二十三頁，共43頁。其中代入(4)得:由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件知:(4)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法取得極值.在(3),(5)兩式取得極值的必要條件.就是函數(shù)(1)在條件(2)下的))(,(xyxfz=第二十三頁23第二十四頁，共43頁。

設(shè)上述必要條件變?yōu)?(6)中的前兩式的左邊正是函數(shù):(6)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在的值.函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù),稱為拉格朗日乘子,是一個(gè)待定常數(shù).第二十四頁24第二十五頁，共43頁。拉格朗日乘數(shù)法:極值的必要條件在條件要找函數(shù)下的可能極值點(diǎn),先構(gòu)造函數(shù)為某一常數(shù),其中可由解出其中就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第二十五頁25第二十六頁，共43頁。如何確定所求得的點(diǎn)實(shí)際問題中,

非實(shí)際問題我們這里不做進(jìn)一步的討論.拉格朗日乘數(shù)法可推廣:判定.可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來的情況.自變量多于兩個(gè)是否為極值點(diǎn)?多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第二十六頁26第二十七頁，共43頁。解則又是實(shí)際問題,解得唯一駐點(diǎn)一定存在最值.令?此題是否也可化為無條件極值做多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第二十七頁27第二十八頁，共43頁。解為橢球面上的一點(diǎn),令則的切平面方程為在第一卦限內(nèi)作橢球面的使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的例切平面,四面體體積最小,求切點(diǎn)坐標(biāo).多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第二十八頁28第二十九頁，共43頁。目標(biāo)函數(shù)該切平面在三個(gè)軸上的截距各為化簡為所求四面體的體積約束條件在條件下求V的最小值,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第二十九頁29第三十頁，共43頁。約束條件令由目標(biāo)函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第三十頁30第三十一頁，共43頁?？傻眉串?dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為四面體的體積最小多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第三十一頁31第三十二頁，共43頁。練習(xí)解為簡化計(jì)算,令是曲面上的點(diǎn),它與已知點(diǎn)的距離為問題化為在下求的最小值.目標(biāo)函數(shù)約束條件多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第三十二頁32第三十三頁，共43頁。設(shè)(1)(2)(3)(4)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法第三十三頁33第三十四頁，共43頁。由于問題確實(shí)存在最小值，故得唯一駐點(diǎn)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法還有別的簡單方法嗎?用幾何法!第三十四頁34第三十五頁，共43頁。練習(xí)解為此作拉格朗日乘函數(shù):上的最大值與最小值.在圓內(nèi)的可能的極值點(diǎn);在圓上的最大、最小值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法9)2()2(2222￡-+-+=yxyxz在圓求函數(shù)第三十五頁35第三十六頁，共43頁。最大值為最小值為多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法]9)2()2[(),(2222--+-++=yxyxyxLl22yxz+=函數(shù)上，在圓9)2()2(22￡-+-yx第三十六頁36第三十七頁，共43頁。多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法2002年考研數(shù)學(xué)(一),7分設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面,其底部所占的區(qū)域?yàn)樾∩降母叨群瘮?shù)為(1)設(shè)M(x0,y0)為區(qū)域D上一點(diǎn),問h(x,y)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?若記此方向?qū)?shù)的最大值為g(x0,y0),試寫出g(x0,y0)的表達(dá)式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng),為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).是說,要在D的邊界線上找出使(1)中的g(x,y)達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀巖起點(diǎn)的位置.也就練習(xí)第三十七頁37第三十八頁，共43頁。多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解(1)由梯度的幾何意義知,方向的方向?qū)?shù)最大,h(x,y)在點(diǎn)M(x0,y0)處沿梯度方向?qū)?shù)的最大值為該梯度的模,所以(2)令由題意,只需求在約束條件下的最大值點(diǎn).令第三十八頁38第三十九頁，共43頁。多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法則(1)(2)(3)(1)+(2):從而得由(1)得再由(3)得由(3)得于是得到4個(gè)可能的極大值點(diǎn)可