福建省泉州市南安一中高二上學期期中考試數(shù)學理試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2012—2013學年福建省泉州市南安一中高二（上）期中數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：(12×5分=60分）1．（5分)（2011?福建）若a∈R，則a=2是（a﹣1)（a﹣2）=0的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．分析:根據一元二次方程根的定義，我們判斷出a=2?（a﹣1)（a﹣2）=0及（a﹣1）(a﹣2）=0?a=2的真假,進而根據充要條件的定義即可得到答案．解答：解：當a=2時，（a﹣1）（a﹣2)=0成立故a=2?（a﹣1）（a﹣2)=0為真命題而當(a﹣1）（a﹣2)=0，a=1或a=2，即a=2不一定成立故（a﹣1）(a﹣2）=0?a=2為假命題故a=2是(a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要條件故選A點評：本題考查的知識點是充要條件，其中判斷a=2?（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）=0?a=2是解答本題的關鍵．2．（5分）已知向量=（1，1,0)，=(﹣1，0，2),且與互相垂直,則k的值是（)A．1B．C．D．考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系．專題：常規(guī)題型．分析：根據題意，易得k+，2﹣的坐標，結合向量垂直的性質，可得3(k﹣1)+2k﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．解答：解：根據題意,易得k+=k（1，1,0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2）,2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1,0，2）=（3，2,﹣2）．∵兩向量垂直，∴3(k﹣1)+2k﹣2×2=0．∴k=，故選D．點評：本題考查向量數(shù)量積的應用,判斷向量的垂直，解題時,注意向量的正確表示方法．3．（5分)已知命題p：,則(）A．￢p：B．￢p：C．￢p:D．￢p：考點：特稱命題;命題的否定．專題：計算題．分析:直接利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出命題p的￢p即可．解答：解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題p：,則￢p:．故選C．點評：本題考查特稱命題與全稱命題的否定關系，注意量詞的轉化，考查基本知識的應用,?？碱}型．4．(5分）如圖：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若，，，則下列向量中與相等的向量是(）A．B．C．D．考點：空間向量的基本定理及其意義．專題：計算題．分析:利用向量的運算法則：三角形法則、平行四邊形法則表示出．解答:解：∵====故選A點評:本題考查利用向量的運算法則將未知的向量用已知的基底表示從而能將未知向量間的問題轉化為基底間的關系解決．5．（5分）有以下命題：①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系是不共線;②O，A，B，C為空間四點,且向量不構成空間的一個基底，那么點O，A，B，C一定共面;③已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底．其中正確的命題是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③考點：共線向量與共面向量．專題：綜合題．分析：空間向量的基底判斷②③的正誤，找出反例判斷①命題的正誤，即可得到正確選項．解答:解：①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底,那么的關系是不共線；如果有一個向量為零向量,共線但不能構成空間向量的一組基底，所以不正確．②O,A，B,C為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點O，A，B，C一定共面；這是正確的．③已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底；因為三個向量非零不共線,正確．故選C．點評:本題考查共線向量與共面向量，考查分析問題解決問題的能力，是基礎題．6．（5分）（2008?北京）若點P到直線x=﹣1的距離比它到點（2,0)的距離小1，則點P的軌跡為（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線考點：拋物線的定義．分析：把直線x=﹣1向左平移一個單位變?yōu)閤=﹣2,此時點P到直線x=﹣2的距離等于它到點（2，0)的距離，這就是拋物線的定義．解答:解：因為點P到直線x=﹣1的距離比它到點（2,0)的距離小1，所以點P到直線x=﹣2的距離等于它到點（2，0)的距離，因此點P的軌跡為拋物線．故選D．點評：本題考查拋物線的定義．7．(5分）設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為30．若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于10，則曲線C2的標準方程為(）A．B．C．D．考點：雙曲線的標準方程．專題：計算題．分析:先根據題意可推斷出橢圓方程中的長半軸，進而根據離心率求得焦半距,根據曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于10,推斷出其軌跡是雙曲線且半焦距為7，實軸為10，進而求得虛軸的長，則雙曲線的方程可得．解答：解：根據題意可知橢圓方程中的a=15，∵=∴c=7根據雙曲線的定義可知曲線C2為雙曲線，其中半焦距為7，實軸長為10∴虛軸長為2=4∴雙曲線方程為故選B．點評：本題主要考查了雙曲線的定義和簡單性質，雙曲線的標準方程和橢圓的簡單性質．考查了學生對圓錐曲線基礎知識的綜合運用．8．（5分）“k＞9”是“方程表示雙曲線”的（）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．既不充分也不必要條件D．充要條件考點：雙曲線的標準方程；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：計算題．分析：可直接求出方程表示雙曲線的充要條件，在看與條件“k＞9”誰能推出誰，即可進行選項比對．解答：解：方程表示雙曲線的充要條件是（k﹣4）（9﹣k）＜0，即k＞9或k＜4．由于“k＞9”?“k＞9或k＜4";反之不成立．故選B．點評:本小題主要考查雙曲線的標準方程、必要條件、充分條件與充要條件的判斷、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力．方程表示雙曲線則須m＞0，n＜0或m＜0，n＞0即mn＜0．屬于基礎題．9．（5分）已知拋物線y2=8x，過點A（2,0）作傾斜角為的直線l，若l與拋物線交于B、C兩點，弦BC的中點P到y(tǒng)軸的距離為（）A．B．C．D．8考點：直線與圓錐曲線的關系；拋物線的簡單性質．專題：計算題．分析：先表示出直線方程，代入拋物線方程可得方程3x2﹣20x+12=0,利用韋達定理，可求弦BC的中點P到y(tǒng)軸的距離．解答：解：由題意，直線l方程為:y=（x﹣2）代入拋物線y2=8x整理得：3x2﹣12x+12=8x∴3x2﹣20x+12=0設B(x1，y1)、C（x2，y2）∴x1+x2=∴弦BC的中點P到y(tǒng)軸的距離故選A．點評：本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關系,考查韋達定理的運用，解題的關鍵是聯(lián)立方程，利用韋達定理．10．（5分）（2007?江西）連接拋物線x2=4y的焦點F與點M（1，0）所得的線段與拋物線交于點A，設點O為坐標原點，則三角形OAM的面積為(）A．B．C．D．考點：拋物線的定義．分析：先求出直線FM的方程，然后與拋物線方程聯(lián)立方程組解得點A的縱坐標，最后利用三角形面積公式求解．解答：解：拋物線x2=4y的焦點F為（0,1)且M（1，0)，所以直線FM所在的直線方程為x+y=1,與拋物線方程聯(lián)立有，解得y1=，y2=，因為點A是線段FM與拋物線x2=4y的交點，所以點A的縱坐標為,所以．故選B．點評：本題主要考查代數(shù)法研究形，同時考查拋物線焦點坐標、直線方程等知識點．11．(5分）(2007?安徽）已知F1,F2分別是雙曲線﹣=1(a＞b＞0）的兩個焦點，A和B是以O（O為坐標原點）為圓心，｜OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．+1考點：雙曲線的簡單性質．專題:計算題；數(shù)形結合．分析：先設F1F2=2c，根據△F2AB是等邊三角形，判斷出∠AF2F1=30°，進而在RT△AF1F2中求得AF1和AF2，進而根據栓曲線的簡單性質求得a，則雙曲線的離心率可得．解答：解:如圖,設F1F2=2c，∵△F2AB是等邊三角形，∴∠AF2F1=30°，∴AF1=c,AF2=C，∴a=e==+1，故選D點評:本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了學生綜合分析問題和數(shù)形結合的思想的運用．屬基礎題．12．（5分）設點P（x，y）是曲線上的點，又點F1(﹣4,0），F(xiàn)2（4，0），下列結論正確的是（）A．｜PF1｜+｜PF2｜=10B．|PF1｜+｜PF2|＜10C．｜PF1|+|PF2|≤10D．|PF1｜+|PF2｜＞10考點：簡單線性規(guī)劃．專題：計算題；壓軸題．分析：先確定圖形的形狀，再利用圖形求解即可解答：解：曲線可化為:，∴曲線圍成的圖形是一正方形，與坐標軸的交點分別為（±5,0），（0，±3）,根據圖形的對稱性，當且僅當點P為（0，±3）時，|PF1｜+|PF2｜最大為10,故選C．點評：本題主要考查曲線與方程，考查兩點間的距離公式，屬于基礎題．二、填空題：（4×4分=16分）13．（4分）命題“若a=﹣1，則a2=1”的否命題是若a≠﹣1，則a2≠1．考點：四種命題間的逆否關系．專題:計算題．分析：直接按照否命題的定義，寫出命題的否命題即可．解答:解:一般命題的否命題，就是將命題的條件與結論都否定,所以命題“若a=﹣1，則a2=1”的否命題是：“若a≠﹣1,則a2≠1”．故答案為：若a≠﹣1,則a2≠1．點評:本題考查沒有與否命題的關系，考查基本知識的應用．14．（4分)已知向量．若與的夾角為60°，則實數(shù)k=﹣3．考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．專題:計算題；平面向量及應用．分析:利用向量數(shù)量積公式，建立方程，即可求得k的值．解答：解：∵，與的夾角為60°，∴﹣k=××cos60°∴k2=9∵k＜0，∴k=﹣3故答案為：﹣3點評：本題考查向量的數(shù)量積，考查學生的計算能力,屬于基礎題．15．（4分）已知雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于．考點：雙曲線的簡單性質．專題：計算題．分析：可求得拋物線y2=12x的焦點坐標，從而可求得b2及雙曲線﹣=1的右焦點坐標，利用點到直線間的距離公式即可．解答：解：∵拋物線y2=12x的焦點坐標為(3，0），依題意,4+b2=9，∴b2=5．∴雙曲線的方程為：﹣=1,∴其漸近線方程為:y=±x，∴雙曲線的一個焦點F（3,0）到其漸近線的距離等于d==．故答案為:．點評:本題考查雙曲線的簡單性質，求得b2的值是關鍵，考查點到直線間的距離公式，屬于中檔題．16．（4分）（2012?江蘇二模）已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F．設線段AB的中點為M，若,則該橢圓離心率的取值范圍為(0,，﹣1+］．考點：橢圓的簡單性質；平面向量數(shù)量積的性質及其運算律．專題：計算題．分析:將向量用坐標表示,利用數(shù)量積公式,可得關于e的不等式，即可求得結論．解答：解：由題意，A（﹣a,0），B（0,b）,F（c，0)，則M（）∵∴∴∴∴e2+2e﹣2≤0∴﹣1﹣≤e≤﹣1+∵e＞0∴0＜e≤﹣1+故答案為：(0，，﹣1+］點評：本題考查橢圓的離心率，考查向量知識的運用,屬于中檔題．三、解答題：（共6個小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．（12分）已知命題p：不等式(x﹣1）2＞m﹣1的解集為R，命題q：f（x）=(5﹣2m）x是R上的增函數(shù)，若p或q為真命題，p且q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．考點：命題的真假判斷與應用．專題：函數(shù)的性質及應用．分析：根據二次不等式恒成立的條件可得，p：即m＜1；由指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點得，q:即m＜2．從而求得當這兩個命題有且只有一個正確時實數(shù)m的取值范圍．解答：解:不等式（x﹣1）2＞m﹣1的解集為R，須m﹣1＜0即p是真命題時，m＜1f（x）=(5﹣2m）x是增函數(shù)，須5﹣2m＞1即q是真命題時，m＜2由于p或q為真命題，p且q為假命題故p、q中一個真,另一個為假命題當p真q假時，不存在滿足條件的m值當p假q真時，1≤m＜2綜上實數(shù)m的取值范圍為1≤m＜2點評：本題考查在數(shù)軸上理解絕對值的幾何意義，指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點，分類討論思想，化簡這兩個命題是解題的關鍵．屬中檔題．18．（12分）（2011?陜西）如圖，設P是圓x2+y2=25上的動點，點D是P在x軸上的攝影，M為PD上一點，且|MD|=｜PD|（Ⅰ）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程（Ⅱ）求過點(3,0）且斜率的直線被C所截線段的長度．考點：軌跡方程;直線與圓相交的性質．專題：計算題．分析:（I）由題意P是圓x2+y2=25上的動點，點D是P在x軸上的攝影，M為PD上一點，且｜MD｜=|PD|，利用相關點法即可求軌跡;（II）由題意寫出直線方程與曲線C的方程進行聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關系得到線段長度．解答：解：（Ⅰ）設M的坐標為（x,y）P的坐標為(xp,yp）由已知得：∵P在圓上，∴，即C的方程為．(II）過點（3，0）且斜率為的直線方程為：，設直線與C的交點為A（x1，y1)B（x2，y2),將直線方程即：，∴線段AB的長度為|AB｜===．點評：此題重點考查了利用相關點法求動點的軌跡方程,還考查了聯(lián)立直線方程與曲線方程進行整體代入，還有兩點間的距離公式．19．（12分）如圖，已知三棱錐O﹣ABC的側棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1,OB=OC=2，E是OC的中點．（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；（2）求直線BE和平面ABC的所成角的正弦值．考點:直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角．分析：根據題中的條件可建立以O為原點,OB、OC、OA分別為X、Y、Z軸的空間直角坐標系然后利用空間向量進行求解：（1）根據建立的空間直角坐標系求出然后再利用向量的夾角公式cos=求出cos＜＞然后根據cos＜＞≥0則異面直線BE與AC所成角即為＜＞，若cos＜＞＜0則異面直線BE與AC所成角即為π﹣＜＞進而可求出異面直線BE與AC所成角的余弦值．(2）由（1）求出和平面ABC的一個法向量然后再利用向量的夾角公式cos=求出cos＜，＞再根據若cos＜,＞≥0則直線BE和平面ABC的所成角為﹣＜，＞，若cos＜，＞＜0則直線BE和平面ABC的所成角為＜，＞﹣然后再根據誘導公式和cos＜，＞的值即可求出直線BE和平面ABC的所成角的正弦值．解答：解：（1)以O為原點,OB、OC、OA分別為X、Y、Z軸建立空間直角坐標系．則有A（0，0，1）、B（2，0，0)、C(0,2,0）、E（0，1，0）…（3分）∴，∴COS＜＞==﹣…（5分）所以異面直線BE與AC所成角的余弦為…（6分）（2）設平面ABC的法向量為則知知取，…(8分）則…（10分)故BE和平面ABC的所成角的正弦值為…（12分)點評：本題主要考察了空間中異面直線所成的角和直線與平面所成的角，屬立體幾何中的?？碱}型，較難．解題的關鍵是首先正確的建立空間直角坐標系然后可將異面直線所成的角轉化為所對應的向量的夾角或其補角而對于利用向量法求線面角關鍵是正確求解平面的一個法向量！20．(12分）（2006?上海)在平面直角坐標系xOy中,直線l與拋物線y2=2x相交于A、B兩點．(1）求證：“如果直線l過點T（3，0），那么=3”是真命題；（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．考點：四種命題的真假關系；拋物線的簡單性質．分析:（1）設出A，B兩點的坐標根據向量的點乘運算求證即可,（2）把（1)中題設和結論變換位置然后設出A,B兩點的坐標根據向量運算求證即可．解答：解：（1）設過點T（3，0)的直線l交拋物線y2=2x于點A（x1，y1）、B（x2，y2)．當直線l的鈄率不存在時，直線l的方程為x=3，此時，直線l與拋物線相交于點A（3，）、B（3,﹣)．∴=3；當直線l的鈄率存在時，設直線l的方程為y=k（x﹣3），其中k≠0,由得ky2﹣2y﹣6k=0?y1y2=﹣6又∵，∴，綜上所述，命題“如果直線l過點T（3，0）,那么=3"是真命題；（2）逆命題是：設直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果=3，那么該直線過點T（3，0)．該命題是假命題．例如：取拋物線上的點A（2，2）,B（,1），此時=3,直線AB的方程為：，而T(3，0)不在直線AB上；說明:由拋物線y2=2x上的點A(x1，y1）、B（x2,y2)滿足=3，可得y1y2=﹣6，或y1y2=2，如果y1y2=﹣6，可證得直線AB過點（3,0);如果y1y2=2，可證得直線AB過點（﹣1，0），而不過點（3，0）．點評:本題考查了真假命題的證明,但要知道向量點乘運算的知識．21．(12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點，BB1⊥平面ABC（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD;（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦值；（Ⅲ）求點C到平面A1BD的距離．考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；點、線、面間的距離計算；二面角的平面角及求法．專題：空間角；空間向量及應用．分析:(I)取BC中點O，連接AO．可由面面垂直的性質得到AO⊥平面B1C1CB，令B1C1中點為O1,以0為原點，OB，OO1，OA的方向為x,y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，分別求出向量，，的坐標，用向量法可得⊥，⊥,進而由線面垂直的判定定理得到AB1⊥平面A1BD；（II）求出平面AA1D的法向量，結合(I）中結論為平面A1BD的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角A﹣A1D﹣B的余弦值；（Ⅲ）由（I）中為平面A1BD的法向量，求出向量的坐標，代入，可得點C到平面A1BD的距離．解答：解：(I）取BC中點O，連接AO．∴△ABC為正三角形，∴AO⊥BC．∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面B1C1CB，∴AO⊥平面B1C1CB,取B1C1中點O1，以0為原點，OB，OO1，OA的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（﹣1，1，0），A1（0,2，），A（0，0,），B1(1,2，0)，∴=（1，2,﹣），=（﹣2，1，0)，=（﹣1，2,）．∵?=﹣2+2=0,?=﹣1+4﹣3=0∴⊥，⊥∴AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ)設平面AA1D的法向量為=(x，y,z）．∵=（﹣1,1,﹣），=（0,2，0）．⊥，⊥，∴,即令z=1得=(，0，1)由（I）知AB1⊥平面A1BD,∴為平面A1BD的法向量．∴∴二面角A﹣A1D﹣B的余弦值為．（3）由(2），為平面A1BD的法向量，又∵=（﹣2，0，0），=（1,2，﹣)，．∴點C到平面A1BD的距離．點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及其求法,直線與平面垂直的判定,點到平面的距離，其中建立空間坐標系，將空間線面關系,夾角問題轉化為向量問題是解答的關鍵．22．(14分）（2013?天津模擬）設橢圓C：的左