重慶市2021-2022學年高一數學下學期期中試題含解析

Page18重慶市2021-2022學年高一數學下學期期中試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知i為虛數單位，則z＝在復平面內對應點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據復數除法運算法則即可計算．【詳解】由題意，

，在復平面內對應的點位于第二象限，故選：B2.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據三角形內角和求得，進而利用正弦定理求得．【詳解】由題意可知，，由正弦定理可知，所以．故選：．3.如圖，已知水平放置的按斜二測畫法得到的直觀圖為，若，則的面積為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直觀圖與原圖的關系，把還原成，然后再求其面積【詳解】解：由題意可知，為直角三角形，且，,所以的面積為，故選：C4.下列命題為真命題的是（）A.棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形；B.用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺；C.以直角三角形一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；D.棱臺的側棱延長后交于一點.【答案】D【解析】【分析】根據棱柱，棱錐，棱臺的定義可判斷A，B，C錯誤，D正確.【詳解】A選項，長方體的側面并不全等.故A選項錯誤；B選項，用一個平行平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺，故B選項錯誤.C選項，以直角三角形的一直角邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐，故C選項錯誤；D選項，棱臺可看作用一個平行平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間部分，所以棱臺的側棱延長后交于一點.故D選項正確.故選：D.5.在平行四邊形中，設為線段上靠近的三等分點，為線段上靠近的三等分點，，，則向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，利用平面向量加法的三角形法則可得出關于、的表達式.【詳解】如下圖所示：，，則.故選：B.6.已知圓錐的表面積為3π，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圓錐的底面半徑和圓錐的母線長與高，再計算圓錐的體積．【詳解】解：設圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為l，由，得，又，所以，解得；所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為．故選：C．7.設的內角，，的對邊分別為，，，若，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知利用切化弦及和差公式進行化簡，然后結合正弦定理得到，再由余弦定理求得，代入三角形的面積公式，即可求解.【詳解】由，可得，即，所以，即，又由，所以，即，解得或（舍去），所以，又因為C為三角形內角，故，所以的面積為.故選：B.8.設直三棱柱的所有頂點都在一個球面上，且球的體積是，，，則此直三棱柱的高是（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】先確定底面的外接圓圓心及半徑，再確定球心位置，并利用球心和圓心的連線垂直于底面，得到直角三角形，利用勾股定理求解.【詳解】設，三角形外接圓的半徑為，直三棱柱外接球的半徑為.因為，所以，于是，，.又球心到平面的距離等于側棱長的一半，所以.在中，由，得，.所以球的體積，解得.于是直三棱柱的高是.故選：B.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列四種說法中正確的有（）A.復數是純虛數B.復數中，實部為1，虛部為C.復數的共軛復數為，則的一個充要條件是D.（為虛數單位）【答案】CD【解析】【分析】根據純虛數的概念，可判斷A的正誤；根據實部虛部的概念，可判斷B的正誤；根據充分、必要條件的概念，可判斷C的正誤；根據復數的性質，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：復數的實部為2，故不是純虛數，故A錯誤；對于B：復數中，實部為1，虛部為-2，故B錯誤；對于C：設，則，若，則虛部為，此時，充分性成立，若，則，則，此時，必要性成立，所以的一個充要條件是，故C正確；對于D：因為，所以，故D正確.故選：CD10.已知向量，，是與同向的單位向量，則下列結論正確的是（）A. B.向量在向量上的投影向量為C.與的夾角余弦值為 D.若，則【答案】CD【解析】【分析】由共線向量的坐標表示，可判定A；根據向量的幾何意義，求得向量在向量上的投影向量為，可判定B；由向量的夾角公式，可判定C；由向量垂直的坐標表示，可判定D.【詳解】由題意，向量，是與同向的單位向量，可得，由，所以與不共線，所以A不正確；由，可得，所以向量在向量上的投影向量為，所以B不正確；由，可得，設與的夾角余弦值為，可得，所以C正確；由，可得，所以D正確.故選：CD.11.的內角、、的對邊分別為、、，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，，，則有兩解C.若為鈍角三角形，則D.若，，則面積的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項，由，得到，再利用正弦定理判斷；對于B選項，由判斷；對于C選項，由為鈍角三角形且為鈍角，利用余弦定理判斷；對于D選項，利用余弦定理與基本不等式集合三角形面積公式求解判斷.【詳解】對于A選項，若，則，由正弦定理可得，所以，，A選項正確；對于B選項，，則，如圖：所以有兩解，B選項正確；對于C選項，若為鈍角三角形且為鈍角，則，可得，C選項錯誤；對于D選項，由余弦定理與基本不等式可得，即，當且僅當時，等號成立，所以，D選項正確．故選：ABD12.如圖，在棱長為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點，Q是線段上的動點，則（）A.存在點Q，使B，N，P，Q四點共面 B.存在點Q，使平面MBNC.三棱錐P-MBN的體積為 D.經過C，M，B，N四點的球的表面積為【答案】ABC【解析】【分析】對于A，連接，，可證得，從而可得結論，對于B，連接PQ，，當Q是的中點時，由線面平行的判定可證得，對于C,利用求解，對于D，分別取，的中點E，F，構造長方體MADF-EBCN，其體對角線就是外接球的直徑，求出體對角線的長，可求出球的表面積【詳解】如圖，在正方體中，連接，，因為N，P分別是，的中點，所以，又因為，所以，所以，B，N，P四點共面，即當Q與重合時，B，N，P，Q四點共面，故選項A正確；連接PQ，，當Q是的中點時，因為，，所以，因為平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故選項B正確；連接，，，因為，所以，故選項C正確；分別取，的中點E，F，構造長方體MADF-EBCN，則經過C，M，B，N四點的球即為長方體MADF-EBCN的外接球，設所求外接球的直徑為2R，則長方體MADF-EBCN的體對角線即為所求的球的直徑，即，所以經過C，M，B，N四點的球的表面積為，故選項D錯誤.故選：ABC三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設是虛數單位，復數，則__________.【答案】【解析】【分析】化簡可得，根據求模公式，即可求得答案.【詳解】由題意得，所以.故答案為：14.在長方體中，，則異面直線與所成的角為__________.【答案】##【解析】【分析】由題意得即為直線與所成的角，在中，求得、的長度，求得其正切值，即可得答案.【詳解】因長方體，所以，所以異面直線與所成的角即為直線與所成的角，即為，因為平面，所以，在中，，所以，因為，所以，即異面直線與所成的角為.故答案為：15.如圖，有一建筑物，為了測量它的高度，在地面上選一長度為的基線，若在點A處測得點的仰角為，在點處的仰角為，且，則建筑物的高度為__________.【答案】40【解析】【分析】設高，根據三角函數的定義，可求得OA、OB的長，在中，由余弦定理，可求得h值，即可得答案.【詳解】設高，則，在中，由余弦定理得，解得.所以建筑物的高度為40m故答案為：4016.已知正的邊長為，D是邊上的動點(含端點)，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】以B為原點，所在直線為x軸建立坐標系，用向量法求平面向量的數量積，進而求出取值范圍【詳解】以B為原點，所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設，則,當時最小值為4，當或時，最大值為12的取值范圍是故答案為：四?解答題：本大題6個小題，共70分，各題解答必須答在答題卡上（必須寫出必要的文字說明?演算步驟或推理過程）.17.如圖，是正方形，直線底面，，是的中點.（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）；【解析】【分析】（1）連接，由三角形中位線可證得，根據線面平行判定定理可證得結論；（2）根據線面角定義可知所求角為，且，由長度關系可求得結果.【詳解】（1）連接，交于，連接四邊形為正方形為中點，又為中點平面，平面平面（2）平面直線與平面所成角即為設，則【點睛】本題考查立體幾何中線面平行關系的證明、直線與平面所成角的求解；證明線面平行關系常采用兩種方法：（1）在平面中找到所證直線的平行線；（2）利用面面平行的性質證得線面平行.18.已知，，與的夾角是120°．（1）計算：；（2）當k為何值時，．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的數量積求出兩個向量的數量積；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．（2）利用向量垂直的充要條件列出方程求出的值．【詳解】解：由已知得，．（1），；（2），，，即．．即時，．19.如圖所示，三棱柱中，平面，分別是棱上的點，且.（1）求證：；（2）若為等邊三角形，，求三棱錐的體積.【答案】(1)見證明；(2)【解析】【分析】（1）先由線面垂直的判定定理證明平面，進而可得出結論成立；（2）結合（1）的結論，先得到平面，再由，即可得出結果.【詳解】（1）因為平面，，所以平面.因為平面，所以.因為，所以，又，所以平面.因為平面，所以.（2）由（1）知平面因為為等邊三角形，所以為等邊三角形，又，所以平面，且分別為棱的中點，所以.【點睛】本題主要考查線面垂直的性質，以及三棱錐的體積，熟記線面垂直的判定定理與性質定理、以及三棱錐的體積公式即可，屬于常考題型.20.在銳角中，分別為內角的對邊，且有.在下列條件中選擇一個條件完成該題目；①；②.（1）求A的大??；（2）求周長的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選擇①，根據誘導公式，化簡整理可得，根據角A的范圍，即可得答案；若選擇②，由正弦定理角化邊可得，根據余弦定理，結合角A的范圍，即可得答案.（2）根據正弦定理，可得b，c的表達式，進而可得周長l的表達式，根據兩角差的正弦公式，輔助角公式，結合角B的范圍，即可得答案.【小問1詳解】若選擇①：則，，，.若選擇②：由正弦定理角化邊可得，即，，，.【小問2詳解】由正弦定理可得，，，的周長，將代入，化簡得，為銳角三角形，，解得，，，周長的取值范圍是.21.如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是的中點．（1）求證：；（2）若M是線段上一動點，則線段上是否存在點N，使平面？說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據線面平行的性質定理即可證明；（2）取中點N，連接，，根據線面平行的性質定理和判斷定理即可證明．【詳解】證明：（1）在四棱錐中，平面，平面，平面平面，∴，（2）線段存在點N，使得平面，理由如下：取中點N，連接，，∵E，N分別為，的中點，∴，∵平面，平面，∴平面，取AP中點F,連結EF,BF，，且，因為，，所以，且，所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以.又面PAB，面PAB，所以平面；又，∴平面平面，∵M是上的動點，平面，∴平面PAB，∴線段存在點N，使得MN∥平面．22.如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地，其中km，km，.當地鎮(zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中M、N都在邊AB上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設兒童游樂場.為安全起見，需在的一周安裝防護網．（1）當km時，求OM長度；（2）若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍，試確定的大小；（3）為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設計施工方案，可使的面積最?。孔钚∶娣e是多少？【答案】（1）；（2）；（3），﹒【解析】【分析】(1)先