初中數(shù)學(xué)證明三角形全等方法總結(jié)

第頁初中數(shù)學(xué)證明三角形全等方法總結(jié)姓名：__________指導(dǎo)：__________日期：__________在證明線段或角相等時，解題的關(guān)鍵往往是根據(jù)條件找到兩個可能全等的三角形，再證明這兩個三角形全等，最后得出結(jié)論.

利用全等三角形的性質(zhì)可以證明分別屬于兩個三角形中的線段或角相等．

下面介紹證明三角形全等的幾種方法，供同學(xué)們參考．

一、利用公共角證明全等

【例題1】如圖1，已知AB＝AC,AE＝AF，BF交CE于點O.

圖1

求證:∠ABF＝∠ACE.

分析：要證明∠ABF＝∠ACE，只需證明△BOE≌△COF或△ABF≌△ACE.而由圖形可知∠A是公共角，又由已知條件AB＝AC,AE＝AF,所以△ABF≌△ACE（SAS），于是問題獲證．

證明：略.

二、利用對頂角證明全等

【例題2】如圖2，點B、E、F、D在同一條直線上，AB＝CD，BE＝DF，AE＝CF，連接AC交BD于點O．

圖2

求證：AO＝CO．

分析：要證明AO＝CO，只需證明△AOE≌△COF或△AOB≌△COD即可．根據(jù)現(xiàn)有條件都無法直接證明．而由已知條件AB＝CD，BE＝DF,AE＝CF可直接證明△ABE≌△CDF，則有∠AEB＝∠CFD，進(jìn)而有∠AEO＝∠CFO，再利用對頂角相等即可證明△AOE≌△COF（AAS）于是問題獲證．

證明：略.

三、利用公共邊證明全等

【例題3】如圖3，已知AB＝CD，AC＝BD．

圖3

求證：∠B＝∠C．

分析：設(shè)AC與BD交于點O，此時∠B與∠C分別在△AOB和△DOC中，而用現(xiàn)有的已知條件是不可能直接證明這兩個三角形全等的，需添加輔助線來構(gòu)造另一對全等三角形．此時可以連接AD，那么AD是△ABD和△DCA的公共邊，這樣可以證明△ABD≌△DCA（SSS），從而可證明∠B＝∠C，于是問題獲證．

證明：略.

四、利用相等線段中的公共部分證明全等

【例題4】如圖4，點E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AF＝CE.

圖4

求證：BE∥DF.

分析：要證明BE∥DF,只需證明∠BEC＝∠DFA，此時可以轉(zhuǎn)換為證明∠AEB＝∠CFD,進(jìn)而證明△AEB≌△CFD（SAS）.而AE=AF-EF,CF=CE-EF,故AE=CF.

證明：

∵在平行四邊形ABCD中，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴∠BAE=∠DCF，

∵AE=AF-EF,CF=CE-EF,AF＝CE，

∴AE=CF，

∴△AEB≌△CFD（SAS），

∴∠AEB＝∠CFD,

∴∠BEC＝180°-∠AEB=180°-∠CFD=∠DFA，

∴BE∥DF.

五、利用等角中的公共部分證明全等

【例題5】如圖5，已知∠E＝30°，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．

圖5

求：∠C的度數(shù)．

分析：已知∠E＝30°，要求∠C，可考慮證明△ABC≌△ADE,由∠BAE＝∠DAC,結(jié)合圖形可知∠BAC＝∠DAE，于是問題獲解．

證明：

∵∠BAE＝∠DAC，

∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，

∴∠BAC＝∠DAE，

∵AB＝AD，AC＝AE，

∴△ABC≌△ADE（SAS）,

∴∠C=∠E=30°.

六、利用互余或互補角的性質(zhì)證明全等

【例題6】如圖6，已知∠DCE＝90°，∠DAC＝90°，BE⊥AC于點B,且DC＝EC,能否找出與AB+AD相等的線段，并說明理由．

圖6

分析：由于AC＝AB+BC，可以猜想AC＝AB+AD，或BE＝AB+AD，此時只需證明AD＝BC即可．而事實上，用同角的余角相等可得到∠DCA＝∠E，從而證明△ADC≌△BCE，問題獲證．

注意考點：同角或等角的余角相等.

證明：

∵BE⊥AC，

∴∠EBC=90°，

∵∠DCA+∠ACE=∠DCE=90°，∠E+∠ACE=90°，

∴∠DCA＝∠E，

∵∠DAC=∠EBC=90°，DC＝EC,

∴△ADC≌△BCE（AAS），

∴AC=BE,AD=BC，

∴AB+AD=AB+BC=AC=BE.

七、利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形證明全等

考點：角平分線上的點到角兩邊的距離相等

【例題7】如圖7，點P是∠ABC的平分線BN上一點，PE垂直AB所在的直線與E,PF垂直BC所在的直線于F,∠PAB+∠PCB=180°.

圖7

求證：PA=PC.

證明：

∵BN是∠EBC的角平分線，PE⊥BA，PF⊥BC，

∴∠PEA=∠PFC=90°，PE=PF,

∵∠PAB+∠PAE=∠PAB+∠PCB=180°，

∴∠PAE=∠PCF，

∴△PAE≌△PCF，

∴PA=PC.

八、利用截長補短法構(gòu)造全等三角形證明全等

所謂截長法是指在較長的線段上截取一條線段等于較短的線段，而補短法是指延長較短的線段等于較長的線段，通過截長補短可以把分散的條件相對集中起來，以便構(gòu)造全等三角形。

【例題8】如圖8，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.

圖8-1

求證：AB=AC+CD.

分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，

圖8-2

來證明△ADB≌△ADE（AAS）.

或在AB上截取AF=AC，來證明△ADF≌△ADC（SAS）,

圖8-3

AB=AF+FB=AF+FD=AC+CD.

證明：略.

九、利用“一線三等角”模型構(gòu)造全等三角形證明全等

所謂“一線三等角”是指一條直線上有三個相等角，如果有一組邊對應(yīng)相等則可以構(gòu)造全等三角形.

類型一：直角三角形中的“一線三等角”模型

【例題9】如圖9，在△ABC中，∠B=90°，CD⊥AC，過點D作DE⊥BC交BC延長線于點E，且AC=CD，

圖9

求證：△ABC≌△CED.

證明：

∵DE⊥BC，CD⊥AC，

∴∠DEC=90°，∠ACD=90°，

∵∠A+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=180°-∠ACD=90°，

∴∠A=∠DCE，

∵∠B=∠E=90°，AC=CD,∠A=∠DCE，

∴△ABC≌△CED（AAS）.

類型二：等腰三角形中底邊上的“一線三等角”模型

【例題10】如圖10，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、BC上，作∠DEF=∠B，射線EF交線段AC于點F，若DE=EF,

圖10

求證：△DBE≌△ECF.

證明：

∵