尼曼-半導(dǎo)體物理與器件第三章2

第三章固體量子理論初步（2）0

高等半導(dǎo)體物理與器件

第三章固體量子理論初步（2）第三章固體量子理論初步（2）13.3三維擴(kuò)展勢函數(shù)的三維擴(kuò)展晶體中不同方向上原子的間距不同。晶體中不同方向上的勢場是不同的。產(chǎn)生不同的k空間邊界。E~k關(guān)系是k空間方向上的函數(shù)。第三章固體量子理論初步（2）2一維模型，關(guān)于k坐標(biāo)對稱。GaAs：導(dǎo)帶最低能量與價帶最高能量位于同一個k位置。直接帶隙半導(dǎo)體材料，電子在能帶間躍遷無動量改變，這對于半導(dǎo)體材料的光電特性具有重要意義。（1）硅和砷化鎵的

k空間能帶圖第三章固體量子理論初步（2）3右圖為Si晶體材料沿[100]、[111]方向的E~k關(guān)系圖。Si導(dǎo)帶最低點(diǎn)與價帶最高點(diǎn)處于不同的k值——間接帶隙半導(dǎo)體材料。此種材料，電子在不同能帶間躍遷涉及動量改變，除了滿足能量守恒之外，還必須要滿足動量守恒。第三章固體量子理論初步（2）4E~k關(guān)系曲線，導(dǎo)帶最小值附近曲率→電子有效質(zhì)量，價帶最大值附近曲率→空穴有效質(zhì)。三維晶體，各方向上的E~k曲線不同，且能帶極值可能不在原點(diǎn)；因而，在不同方向上的有效質(zhì)量不同。對于大多數(shù)器件的計算，使用有效質(zhì)量的統(tǒng)計學(xué)平均值就可。（2）有效質(zhì)量的補(bǔ)充概念第三章固體量子理論初步（2）5k空間量子態(tài)密度量子化效應(yīng)導(dǎo)致k分立一維無限深勢阱模型，勢阱代表晶體，晶體的長為a，由（2.33）可知：在一維k空間中相鄰兩個量子狀態(tài)間隔為π/a。3.4狀態(tài)密度函數(shù)第三章固體量子理論初步（2）6推廣到三維：

晶體為邊長是a的立方體，體積為a3=V。k空間中的狀態(tài)分布kx????????????????????????????????????????????????????????kzky電子的一個允許能量狀態(tài)的代表點(diǎn)每一個k狀態(tài)所占k空間體積為：第三章固體量子理論初步（2）7單位k空間允許的狀態(tài)數(shù)為：單位k空間體積內(nèi)所含的允許狀態(tài)數(shù)等于晶體體積1/8(V/

3)——k空間的量子態(tài)（狀態(tài)）密度gT(k)考慮自旋，k空間的量子態(tài)密度為：gT(k)=2V/(2

)3任意k空間體積中所包含的量子態(tài)數(shù)為：第三章固體量子理論初步（2）8球所占的k空間的體積為：設(shè)這個球內(nèi)所包含的量子態(tài)數(shù)為Z(k)：k空間中的體積微元為：則k空間量子態(tài)密度的微分為：第三章固體量子理論初步（2）9單位體積、單位能量的量子態(tài)密度導(dǎo)帶底的E~k關(guān)系：球形等能面的半徑k為：則第三章固體量子理論初步（2）10化簡得到：因?yàn)橛袉挝惑w積、單位能量的導(dǎo)帶底附近電子的量子態(tài)密度（導(dǎo)帶底附近電子的狀態(tài)密度）：第三章固體量子理論初步（2）11同理，可求得價帶頂附近空穴的狀態(tài)密度：狀態(tài)密度的特點(diǎn)：狀態(tài)密度同時是體積密度和能量密度；狀態(tài)密度和能量、有效質(zhì)量有關(guān)；實(shí)際半導(dǎo)體中，有效質(zhì)量具有方向性，因而等能面不為球面，采用平均的有效質(zhì)量（狀態(tài)密度有效質(zhì)量）計算。第三章固體量子理論初步（2）12當(dāng)Ev<E<Ec時，為禁帶（帶隙），在此區(qū)間g(E)=0。如右圖所示，當(dāng)mn*=mp*時，gc(E)~E圖像和gv(E)~E圖像關(guān)于禁帶中心線相對稱。第三章固體量子理論初步（2）133.5統(tǒng)計力學(xué)（1）統(tǒng)計規(guī)律粒子在有效能態(tài)中的分布法則

分布函數(shù)比較名稱項(xiàng)目麥克斯韋-玻爾茲曼分布函數(shù)玻色-愛因斯坦分布函數(shù)費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù)不同微觀粒子間相互可區(qū)分不可區(qū)分不可分辨每個能態(tài)所能容納的粒子數(shù)不受限制不受限制只允許一個粒子適用范圍經(jīng)典粒子能量分布玻色子，不受泡利不相容原理約束費(fèi)米子，服從泡利不相容原理舉例容器中的氣體處于相對低壓時的狀態(tài)光子，黑體輻射晶體中的電子第三章固體量子理論初步（2）14（2）費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù)費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù)fF(E)

代表能量為E的量子態(tài)被電子占據(jù)的可能性（被電子填充的量子態(tài)占總量子態(tài)的比率）。表示為： 其中，N(E)為單位體積單位能量的粒子數(shù)，g(E)為單位體積單位能量的量子狀態(tài)。k為波爾茲曼常數(shù)，T為絕對溫度，EF是費(fèi)米能級。第三章固體量子理論初步（2）15（3）分布函數(shù)和費(fèi)米能級T=0K，如右上圖所示，當(dāng)E<EF時，fF(E)=1；而當(dāng)E>EF時，fF(E)=0；T>0K，E>EF，fF(E)<1/2；E=EF，fF(E)=1/2；E<EF，fF(E)>1/2。注意：費(fèi)米能級EF反映電子在不同能態(tài)上的填充水平，但并不一定對應(yīng)于某個具體能級。第三章固體量子理論初步（2）16T=0K時，13個電子在不同能級、不同量子態(tài)上的分布示意圖。第三章固體量子理論初步（2）17考慮量子態(tài)密度g(E)是能量E的連續(xù)函數(shù)，如圖所示；假設(shè)系統(tǒng)中的電子總數(shù)為N0，T=0K，電子在這些量子態(tài)上的分布情況如圖中虛線所示。電子從低能級開始填充，最后使得費(fèi)米能級EF以下的能級全部填滿，而EF以上的能級全部為空。已知g(E)和N0，則可確定費(fèi)米能級EF。第三章固體量子理論初步（2）18當(dāng)T>0K時，部分電子將獲得一定的熱運(yùn)動能量，因此13個電子在不同能級、不同量子態(tài)上的分布情況將會有所改變，如圖所示。第三章固體量子理論初步（2）19當(dāng)T>0K時，電子分布情況的改變可以通過費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù)的改變來反映。T>0K時，如果取E=EF，則有：第三章固體量子理論初步（2）20fF(E)反映的是能量為E的一個量子態(tài)被一個電子占據(jù)的幾率，而1?fF(E)反映的則是能量為E的一個量子態(tài)未被電子占據(jù)（即為空穴）的幾率?？昭ǖ姆植迹旱谌鹿腆w量子理論初步（2）21當(dāng)溫度不太高時，E>EF的量子態(tài)基本上沒有被電子占據(jù)；E<EF的量子態(tài)，基本上被電子所占據(jù)；對于任何溫度，電子占據(jù)E=EF能態(tài)的幾率總是1/2。EF位置比較直觀地反映了電子占據(jù)量子態(tài)的情況，即標(biāo)志電子填充能級的水平。EF

越高，說明有較多的能量較高的量子態(tài)上有電子占據(jù)。第三章固體量子理論初步（2）22麥克斯韋-玻爾茲曼近似（或簡約玻爾茲曼近似）

當(dāng)E?EF>>kT時，則有：玻爾茲曼近似exp[(E-EF)/kT]>>1實(shí)際使用中E?EF>>kT第三章固體量子理