極限例題極限概念證明中的問題

極限例題1--極限概念證明中的問題1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:(1);(2);(3);(4).證明(1)分析|(3xundefined1)undefined8|undefined|3xundefined9|undefined3|xundefined3|,要使|(3xundefined1)undefined8|undefinedundefined,只須.證明因?yàn)閡ndefinedundefinedundefined0,undefined,當(dāng)0undefined|xundefined3|undefined時(shí),有|(3xundefined1)undefined8|undefinedundefined,所以.(2)分析|(5xundefined2)undefined12|undefined|5xundefined10|undefined5|xundefined2|,要使|(5xundefined2)undefined12|undefinedundefined,只須.證明因?yàn)閡ndefinedundefinedundefined0,undefined,當(dāng)0undefined|xundefined2|undefined時(shí),有|(5xundefined2)undefined12|undefinedundefined,所以.(3)分析,要使,只須.證明因?yàn)閡ndefinedundefinedundefined0,undefined,當(dāng)0undefined|xundefined(undefined2)|undefined時(shí),有,所以.(4)分析,要使,只須.證明因?yàn)閡ndefinedundefinedundefined0,undefined,當(dāng)時(shí),有,所以.2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:(1);(2).證明(1)分析,要使,只須,即.證明因?yàn)閡ndefinedundefinedundefined0,undefined,當(dāng)|x|undefinedX時(shí),有,所以.(2)分析,要使,只須,即.證明因?yàn)閡ndefinedundefined0,undefined,當(dāng)xX時(shí),有,所以.3.當(dāng)xundefined2時(shí),yx2undefined4.問等于多少,使當(dāng)|xundefined2|<時(shí),|yundefined4|<0.001？解由于xundefined2,|xundefined2|undefined0,不妨設(shè)|xundefined2|undefined1,即1undefinedxundefined3.要使|x2undefined4|undefined|xundefined2||xundefined2|undefined5|xundefined2|undefined0.001,只要,取undefined0.0002,則當(dāng)0undefined|xundefined2|undefined時(shí),就有|x2undefined4|undefined0.001.4.當(dāng)xundefinedundefined時(shí),,問X等于多少,使當(dāng)|x|>X時(shí),|yundefined1|<0.01?解要使,只,.5.證明函數(shù)f(x)undefined|x|當(dāng)xundefined0時(shí)極限為零.6.求當(dāng)xundefined0時(shí)的左﹑右極限,并說明它們在xundefined0時(shí)的極限是否存在.證明因?yàn)?,,所以極限存在.因?yàn)?,,所以極限不存在.7.證明:若xundefinedundefinedundefined及xundefinedundefinedundefined時(shí),函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A,則.證明因?yàn)?,所以>0,X10,使當(dāng)xundefinedX1時(shí),有|f(x)undefinedA|;X20,使當(dāng)xX2時(shí),有|f(x)undefinedA|.取Xundefinedmax{X1,X2},則當(dāng)|x|X時(shí),有|f(x)undefinedA|,即.8.根據(jù)極限的定義證明:函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明先證明必要性.設(shè)f(x)undefinedA(xx0),則>0,0,使當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有|f(x)undefinedA|<.因此當(dāng)x0<x<x0和x0<x<x0時(shí)都有|f(x)undefinedA|<.這說明f(x)當(dāng)xx0時(shí)左右極限都存在并且都等于A.再證明充分性.設(shè)f(x00)f(x00)A,則>0,1>0,使當(dāng)x01<x<x0時(shí),有|f(x)A<;2>0,使當(dāng)x0<x<x0+2時(shí),有|f(x)A|<.取min{1,2},則當(dāng)0<|xx0|<時(shí),有x01<x<x0及x0<x<x0+2,從而有|f(x)A|<,即f(x)undefinedA(xx0).9.試給出x時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理,并加以證明.解x時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理如果f(x)當(dāng)x時(shí)的極限存在則存在X0及M0使當(dāng)|x|X