圣彼得堡悖論及其消解新解

#圣彼得堡悖論新解與不確定性估值內(nèi)容提要：著名數(shù)學家Bernoulli為解決“圣彼得堡悖論”提出了貨幣的邊際效用遞減理論(下稱“效用函數(shù)解決方案”)，本文通過以下兩個方面證明了Bernoulli的“效用函數(shù)解決方案”是不成立的：1、用Bernoulli和克萊默的“效用函數(shù)”構(gòu)造了新的悖論；2、設(shè)計并實施了不存在邊際效用遞減效應的“新型圣彼得堡游戲”，該游戲同樣產(chǎn)生了“圣彼得堡悖論”。本文進一步分析論證了人們面對不確定性前景的風險調(diào)整才是導致“圣彼得堡悖論”產(chǎn)生的真正原因，由此給出了不確定性決策的風險調(diào)整模型，用此模型解決了“圣彼得堡悖論”及其它相關(guān)悖論。本文對基于不確定性的經(jīng)濟學理論研究提出了一個全新的研究思路和方向。關(guān)鍵詞：不確定性估值，圣彼得堡悖論，效用，風險調(diào)整模型，經(jīng)濟實驗圣彼得堡悖論與Bernoulli的效用函數(shù)解決方案“圣彼得堡悖論”來自于一種擲幣游戲，即圣彼得堡游戲。設(shè)定擲幣擲出正面為成功，游戲者如果第一次投擲成功，得獎金2元，游戲結(jié)束；第一次若不成功，繼續(xù)投擲，第二次成功得獎金4元，游戲結(jié)束；這樣，游戲者如果投擲不成功就反復繼續(xù)投擲，直到成功，游戲結(jié)束。如果第n次投擲成功，得獎金2n元，游戲結(jié)束。按照概率期望值的計算方法，此游戲的期望收益為所有可能結(jié)果的得獎期望值之和：E(?)—x2+—x4+—x8+???+x2n+?…(1.1)2482n由于對于游戲中投幣的次數(shù)沒有理論上的限制，很顯然，上式是無數(shù)個1的和，它等于無窮大，即該抽獎活動收益的數(shù)學期望值是無限的。那么對于這樣一個收益的數(shù)學期望值是無窮大的“圣彼得堡游戲”當支付多大的費用呢？試驗表明，大多數(shù)人只準備支付幾元錢來參加這一游戲。于是，個人參與這種游戲所愿支付的有限價格與其收益的無窮數(shù)學期望之間的矛盾就構(gòu)成了所謂的“圣彼得堡悖論”。Bernoulli對于這個問題給出一種解決辦法。他認為人們真正關(guān)心的是獎勵的效用而非它的絕對數(shù)量；而且額外貨幣增加提供的額外效用，會隨著獎勵的價值量的增加而減少，即后來廣為流傳的“貨幣邊際效用遞減律”。伯努利將貨幣的效用測度函數(shù)用貨幣值的對數(shù)來表示，從而所有結(jié)果的效用期望值之和將為一個有限值，則理性決策應以4元為界。他選擇對數(shù)函數(shù)形式的效用函數(shù)：

TOC\o"1-5"\h\zU(x)=log(x)(1.2)來反映貨幣的邊際效用遞減原理，然后用期望效用最大化方法來解圣彼德堡悖論。如果這樣看問題，那么該游戲的期望效用就是：E[U(x)]二無P(n)U(?)二無—log(2n)二2log2n2nn=1n=1因此，理性個人為參加該抽獎活動所愿意支付的最大價格X可由下列方程解出：E[U(x)]=U(x)=log(X)變形得：x=10exp{E[U(x)]}=10exp(2log2)<4所以Bernoulli認為“理性決策應以4元為界”?？巳R默持類似的觀點，他選擇了冪函數(shù)形式的效用函數(shù)(1.3)該抽獎活動的效用就是：E[U(x)]=藝P(n)U(?)=藝丄2nn=1n=1_1.222x邁x邁16=—++++???2416=11=1=2xK=丁因此，理性個人為參加該抽獎活動所愿意支付的最大價格x可由下列方程解出:E[U(x)]=U(x)=、廳變形得：x={E[U(x)]}2所以：x={所以：x={}2=2.914從表面上看，以上的解決方案近似完美，我們把這類方案稱為效用函數(shù)解決方案。然而，學術(shù)界對以上的效用函數(shù)解決方案一直存在著質(zhì)疑。對效用解決方案的質(zhì)疑一些學者如：Menger(1967)的研究對效用函數(shù)解決方案提出了挑戰(zhàn)。按照效用函數(shù)解決方案，貨幣具有邊際效用遞減的性質(zhì)，以此計算貨幣的效用，原

來的“圣彼得堡悖論”似乎被完美地解決，但是如果增加獎金的數(shù)目，則很容易構(gòu)造出新的“超級圣彼得堡游戲”，制造新的悖論。以(1.2)的效用函數(shù)為例，貨幣效用函數(shù)呈對數(shù)形式，我們可以讓第n次成功得到的獎金為10的2n次方，于是獎金的分布可見下表：nP(n)獎金獎金的效用期望效用11/2$1022121/4$1044131/8$1088141/16$101616151/32$103232161/64$106464171/128$10128128181/256$10256256191/512$105125121101/1024$10102410241那么新游戲的效用就是：E[U(x)]二藝P(n)U(?)二藝—log[10(2“)]二藝—x2nn2n2nn=1n=1n=1上式所計算的期望效用是無數(shù)個1的和，它等于無窮大，即該游戲收益的期望效用是無限的。對于(1.3)的效用函數(shù)，我們可以讓第n次成功得到的獎金為2n的平方即22n,于是獎金的分布可見下表：nP(n)獎金獎金的效用期望效用11/2$222121/4$244131/8$268141/16$2816151/32$21032161/64$21264171/128$214128181/256$216256191/512$2185121101/1024$22010241那么新的游戲的效用就是：E[U(x)]二無P(n)U(?)二無丄J222二藝丄x2nn2n2nn=1n=1n=1上式所計算的期望效用仍然是無數(shù)個1的和，它等于無窮大，即如果按照冪函數(shù)的形式來計算，新游戲收益的期望效用同樣是無限的。對于以上兩個具有無限的期望效用的游戲，同樣沒有人愿意支付無限大的金額，由此又構(gòu)成了新的“超級彼得堡悖論”。Menger還發(fā)現(xiàn)，除非效用函數(shù)有限，人們可以繼續(xù)構(gòu)造新的超級圣彼得堡悖論(Menger,1967)。以上研究實際上已經(jīng)說明了用效用函數(shù)解決“圣彼得堡悖論”是無效的，因為效用函數(shù)解決方案并不能消除類似的悖論。效用函數(shù)悖論本文同樣運用Bernoulli和克萊默的效用函數(shù)，構(gòu)造出了“效用函數(shù)悖論”，以此證明了效用函數(shù)解決方案是不成立的?！靶в煤瘮?shù)悖論”來源于我們構(gòu)造的效用函數(shù)游戲。假設(shè)有一個效用公園，公園里面有五個院子，每個院子中有一個抽獎游戲。每個游戲都是有一個抽獎箱，里面有兩個紅球，一個白球，抽中紅球有獎勵，抽中白球沒有獎勵。Bernoulli提出人類的效用函數(shù)應該是對數(shù)形式，不失一般性，假設(shè)是以2為底的對數(shù)函數(shù)，我們構(gòu)造如下效用函數(shù)悖論：第1個院子的抽獎的獎勵是2元，第2個院子的抽獎的獎勵是4元，第3個院子的抽獎的獎勵是8元，第4個院子的抽獎的獎勵是16元，第5個院子的抽獎的獎勵是32元。問題：一個人應該花多少錢購買效用公園的門票？(假設(shè)購買門票花費x)運用Bernoulli的對數(shù)效用函數(shù)可以得出效用公園內(nèi)游戲的期望效用是：E[U(x)]=工5[P(red)U(red)+P(white)U(white)]nnn=1=f[(2/3)10篤(2n)+(1/3)*0]=10n=1其中：P(red)是抽中紅色球的概率，P(white)是抽中白色球的概率；U(red)是在第n個院子中抽中紅色球的獎勵的效用，U(white)是在第n個

nn院子中抽中白色球的獎勵的效用因此，理性個人為參加該抽獎活動所愿意支付的最大價格x可由下列方程解出：E[U(x)]=U(x)=log2(x)=10變形得：x=2exp{E[U(x)]}=2expl0=1024即使全部抽中紅球所得的獎金總共只有62元，而運用Bernoulli的對數(shù)效用函數(shù)得出效用公園門票價格竟然是1024元！這就產(chǎn)生了一個明顯的悖論——效用函數(shù)悖論。我們運用克萊默的效用函數(shù)同樣可以構(gòu)造出一個效用函數(shù)悖論?？巳R默選擇了冪函數(shù)形式的效用函數(shù)，不失一般性，假設(shè)是1/2次方的冪函數(shù)，我們構(gòu)造如下效用函數(shù)悖論：第1次抽獎的獎勵是1元，第2次抽獎的獎勵是4元，第3次抽獎的獎勵是9元，第4次抽獎的獎勵是16元，第5次抽獎的獎勵是25元。問題同樣是：應該花多少錢購買效用公園的門票？(假設(shè)購買門票花費x)運用克萊默的冪函數(shù)效用函數(shù)可以得出效用公園內(nèi)游戲的期望效用是：E[U(x)]=[P(red)U(red)+P(white)U(white)]nnn=1=蘭(2/3wnr+(1/3)*o=ion=1因此，理性個人為參加該抽獎活動所愿意支付的最大價格x可由下列方程解出：E[U(x)]=U(x)=仁=10變形得：x=102=100即使全部抽中紅球所得的獎金總共只有55元，而運用克萊默的冪函數(shù)效用函數(shù)得出效用公園門票價格竟然是100元！這就產(chǎn)生了一個明顯的悖論——效用函數(shù)悖論。對效用函數(shù)解決方案的進一步質(zhì)疑——實驗證據(jù)除了在前一節(jié)從理論邏輯上構(gòu)造“效用函數(shù)悖論”來證明效用函數(shù)解決方案不成立之外，本文還設(shè)計了相關(guān)實驗來提供了進一步的證據(jù)。實驗設(shè)計讓我們設(shè)計一個新型的圣彼得堡游戲：這是有n個人參加的競爭游戲，其獎品的價值為B。游戲的規(guī)則是這樣的：莊家發(fā)給每個參加人一個非常大的相同的原始點數(shù)S,然后每個參加者i自行決定給出S中的一部分點數(shù)xi點數(shù)進行競標，給出的點數(shù)最大者競標成功，得到一次與莊家玩圣彼得堡游戲的機會，然后在此游戲中贏取莊家手中的點數(shù)（莊家手中的點數(shù)沒有上限）。所有參加者為了競標而給出的點數(shù)不予退還，競標成功者與莊家的圣彼得堡游戲結(jié)束后，全體參加者清點自己手中的點數(shù)，手中持有最多點數(shù)的參加者贏得獎品B。這樣，所有參與人的第一輪競標點數(shù)將代表其對以上新型圣彼得堡游戲的“估值”。實驗結(jié)果我們在深圳市高等職業(yè)技術(shù)學院的學生和中信銀行深圳寶安支行的中高層管理人員中組織了6次以上描述的游戲，相關(guān)實驗報告如下：第1輪2009.9.30.地點：深圳市高等職業(yè)技術(shù)學院1號樓參加人數(shù)：10人獎品：水壺（20兀）參加人01號02號03號04號05號06號07號08號09號10號原始點11155111551115511155111551115511155111551115511155出價10857510100100010010第2輪2009.9.30.地點：深圳市高等職業(yè)技術(shù)學院1號樓參加人數(shù)：10人獎品：水壺（20兀）參加人01號02號03號04號05號06號07號08號09號10號原始點11018110181101811018110181101811018110181101811018出價400441000101第3輪2009.9.30.地點：深圳市高等職N上技術(shù)學院1號樓參加人數(shù)：10人獎品：水壺（20兀）參加人01號02號03號04號05號06號07號08號09號10號原始點11018110181101811018110181101811018110181101811018出價41000100000001004141010第4輪2009.9.30.地點：深圳市高等職業(yè)技術(shù)學院1號樓參加人數(shù)：10人獎品：水壺（20兀）參加人01號02號03號04號05號06號07號08號09號10號原始點11108111081110811108111081110811108111081110811108出價100202100011000100042第5輪2009.9.30.地點：深圳市高等職N上技術(shù)學院1號樓參加人數(shù)：10人獎品：水壺（20兀）參加人01號02號03號04號05號06號07號08號09號10號原始點11108111081110811108111081110811108111081110811108出價1051005511010001051001101000第6輪2009.10.17.地點：中信銀行深圳寶安支行會議室參加人數(shù)：8人獎品：白酒（300元）參加人01號02號03號04號05號06號07號08號原始點1115511155111551115511155111551115511155出價8100100100083108結(jié)果分析首先，從實驗結(jié)果來看，悖論仍然存在。由于是用預先分配的點數(shù)競標，參與者競標給出的點數(shù)更能反映出其對在圣彼得堡游戲中可能贏取的點數(shù)的真實估值。從以上的實驗結(jié)果可以看到，58個參與者中：出價為10000點的1人；出價在1000點左右的9人；出價在100點左右的13人；出價在10點左右的35人。后來對出價10000點的參與者的訪談可以得知，他的出價目的不在于贏取獎品而在于一定要取得玩一次的機會，因此不具有參考性。因此從絕大多數(shù)人的出價不到給定點數(shù)的10％來看，圣彼得堡悖論依然存在。其次，不存在邊際效用遞減。第一，如果能夠最后贏得獎品，那么總的效用是固定的，因此不存在邊際效用遞減的問題；第二，在競標過程中，由于有其它的競爭者的存在，任何一個參與者都會盡力爭取贏得更多的點數(shù)，因此能夠贏得的每個點數(shù)對確保贏得最后的獎品都是至關(guān)重要的，不存在后面贏得的點數(shù)的重要性小于前面贏得的點數(shù)的情況，因此，同樣不存在邊際效用遞減的問題。因此，在一個不存在邊際效用遞減的圣彼得堡游戲中同樣產(chǎn)生了悖論，這說明Bernoulli的所謂邊際效用遞減并不是導致悖論產(chǎn)生的根本原因，效用函數(shù)解決方案是不成立的。不確定性估值的風險調(diào)整模型對于圣彼得堡悖論，我們從理論和實驗兩方面研究證明了Bernoulli給出的效用函數(shù)解決方案是不成立的。那么，導致圣彼得堡悖論的原因是什么呢？所謂的悖論，其相悖的是數(shù)學期望決策理論。在人類的早期認識中，面對不確定性事件，人們的估值應該是該事件的數(shù)學期望，然而，圣彼得堡悖論的產(chǎn)生說明人們對不確定事件的估值并不是依據(jù)該事件的數(shù)學期望。5.1不確定性分析弗蘭克?奈特(Knight.F)爵士在他1921年的名著《風險、不確定性和利潤》中，準確地識別了這個世界演進環(huán)境的三種形態(tài)，即：確定的、存在風險的和不確定的。確定性排除了任何隨機事件發(fā)生的可能，它是哲學意義上前因后果必然關(guān)系的體現(xiàn)。存在風險則意味著，我們對于未來可能發(fā)生的所有事件，以及它們發(fā)生概率的大小，有準確的認識，但是對于究竟哪一種事件會發(fā)生事先卻一無所知。而不確定性則意味著：我們對未來的可能狀態(tài)(結(jié)果)并不清楚，或者即便是我們能夠知道未來世界的可能狀態(tài)(結(jié)果)，它們發(fā)生的概率大小仍然是不清楚的?，F(xiàn)代金融研究中，把上述后兩種情況統(tǒng)稱為“不確定性”。為了避免語詞的混亂給我們的分析和研究造成歧義，我們把上面的“存在風險的”命名為“概率型不確定”，把上面的“不確定”的命名為“模糊型不確定”。即，“概率型不確定”意味著未來可能有多種結(jié)果，這些結(jié)果及其概率分布是確定和已知的；“模糊型不確定”意味著未來可能有多種結(jié)果，但或者這些結(jié)果本身或者這些結(jié)果的概率分布是未知的。5.2風險的量度分析風險是由不確定性導致的，顯然不確定性的大小是影響風險的主要因素，因此風險可以通過不確定性的大小進行度量。概率型不確定性風險的量度概率性不確定性事件X的風險是由其不確定性的大小量度的，而對于概率型不確定事件，其不確定性的大小是由其方差度量的。因此我們可以用X的方差作為其風險的量度。模糊性不確定性風險的量度模糊型不確定性事件X是會產(chǎn)生多種可能結(jié)果，但或者這些結(jié)果本身或者這些結(jié)果的概率分布是未知的。對這類事件的風險仍然是通過其不確定性的大小進行量度的。而對于模糊型不確定性事件，我們用模糊方差來代表其不確定性。模糊方差具體可以有專家法、貝葉斯估計、模糊數(shù)學等多種數(shù)學方法進行計算，而一般的投資者則是基于經(jīng)驗和自身的知識水平進行直觀的主觀估計。具體的估計方法不在本文的討論范圍，我們只是認為無論通過什么方法，最終會得到關(guān)于模糊型不確定性事件的模糊方差，以此作為其風險的度量。不確定性條件下估值分析由于研究所限，本文只討論概率型不確定的估值。對于概率型不確定性事件X，人們可以知道其未來可能產(chǎn)生的多種結(jié)果及其概率分布，但最終的結(jié)果，人們預先永遠也無法預知。那么，對于這個不確定性事件X，數(shù)學期望E(X)刻畫了X的取值總在E(X)周圍波動，因此可以看成是估值的初步結(jié)果。但x的風險即其波動程度則是由其均方差fVar&y來刻畫的。因此，人們在進行

不確定性估值時，會根據(jù)其風險的大小對估值的初步結(jié)果進行風險調(diào)整，風險越大，經(jīng)風險調(diào)整后的估值越小，反之亦然，而對于確定性事件，其估值就是事件的結(jié)果本身，其風險調(diào)整系數(shù)為0.5.4風險調(diào)整模型設(shè)某一抽獎X，可能有N個結(jié)果(C，…,C)，而每一種結(jié)果發(fā)生的概率為(P，…,P)1N1N記為：X=(P，…,P;C，…，C),P>01N1Ni5.1)迓P=15.1)ii=1E(X)=》PxC=C*iii=1根據(jù)早期的數(shù)學期望決策模型，當人們面對以上的一組抽獎時，對它的估值ES(X)等于C*，由此產(chǎn)生了所謂的“圣彼得堡悖論”但實事上，因為最終的結(jié)果是一個不確定的數(shù)(即有風險)，而C*僅僅是多次試驗后的平均數(shù)(大數(shù)定理)，因此從人們普遍的心理來看，人們對該抽獎X的估值ES(X)要小于C*，而且，風險越大估值調(diào)整的幅度越大，調(diào)整后的估值越小。根據(jù)這一特性，我們得出下面的風險調(diào)整模型。對于抽獎(6.1)，令該抽獎X的風險系數(shù)為a(X)，投資者對該抽獎的估價為ES(X)，則(5.2)C*(5.2)ES(X)=1+a(X)一般地，設(shè)概率型不確定性事件X，則上式(6.2)中C*=E(X)，a(X)=\.Var(X)，即:E(XE(X)ES(X)1+JVar(X)5.3)對于模糊型不確定性事件X,由于其期望值E(X)是未知的，我們只能對其進行經(jīng)驗估計E*(X)，同時我們也要對X所能導致的風險程度進行經(jīng)驗估計，得出模糊型不確定性事件X的風險系數(shù)a*(X)。在這兩個估計值的基礎(chǔ)上，我們可以得出模糊型不確定性事件的風險調(diào)整估值V*(X):

ES(XES(X)二E*(X)1+a*(X)(5.4)這就是模糊型不確定估值的風險調(diào)整模型。應用——“悖論”的消解6.1“圣彼得堡悖論”的消解對于“圣彼得堡游戲”，我們可以把它分成由無數(shù)個獨立的二元擲幣游戲組成的。設(shè)“圣彼得堡游戲”二ST，根據(jù)(5.1)式，每一個二元擲幣游戲為：X=；0,2n),n=1,2,...,+8n2n2n曰是：8曰是：8ST仝X，nn=1對于每個X：nE(X)=1,nVar(X)=n2Var(X)=n2n-12nx(0-1)2+—X(2n-1)=2n-12n根據(jù)(5.3)式：ES(X)=nES(X)=nE(X)1+^Var(X)11+*；2n—111因為：1+€2"-1An，所以：ES(X)=<=n1+Q2n-1\2n于是，對“圣彼得堡游戲”ST的估值：n=111+J2n-1ES(ST)=藝ESn=111+J2n-1nn=1而：藝-1=藝4+藝』=1+邁沁2.4142n22m22m-1n=1丫m=1'm=1、即：ES(ST)<2.414“超級彼得堡悖論”的消解出于對Bernoulli效用函數(shù)解決方案的質(zhì)疑，一些學者Menger(1967)、PaulWeirich

（1984）的構(gòu)造了“超級彼得堡游戲”，從而產(chǎn)生了“超級彼得堡悖論”。而運用不確定估值的風險調(diào)整模型，“超級彼得堡悖論”同樣可以消解。下面只針對Bernoulli型效用函數(shù)進行分析。對于“超級圣彼得堡游戲”，我們同樣可以把它分成由無數(shù)個獨立的二元擲幣游戲組成的。設(shè)“超級圣彼得堡游戲”=SUPER-ST,根據(jù)（5.1）式，每一個二元擲幣游戲為:2n—11X=（,;0,22n）,n=1,2,...,n2n2n于是：SUPER—ST=￡X，對于每個X:nn=1E(X)=22n—n,n2nnn=1E(X)=22n—n,n2n—1Var(X)=n2n=2n—12nX(0—22"-n)2+X(^2°—22"-n)2n1(1)X22(2n—n)+^x22x2"1———2n丿2n2=(2”一?2心(1+2n—1)23n=(2n—1)22(2n—n)根據(jù)（5.3）式:ES(X)=E(X)n=11+、：Var(X)1+22"—n2n—12n—2n+Xj2n—1乍nES(X)<1<=2n—12n-1于是，對“超級圣彼得堡游戲”SUPPER-ST的估值：22n—nES(SUPER—ST)=藝ES(X)<藝丄=1+藝丄n=1"n=0莎”=1莎n=1而：藝丄沁2.414，于是：ES（SUPER—ST）<3.414n八2”因此沒有產(chǎn)生新的“超級彼得堡悖論”。6.3效用函數(shù)悖論的消解從嚴格意義上講，“效用函數(shù)悖論”并不是真正的悖論，它是有“效用函數(shù)解決方案”所引發(fā)的，下面我們將證明，風險調(diào)整模型不會引發(fā)類似的悖論。為方便起見，同樣只針對Bernoulli型效用函數(shù)進行分析。效用公園內(nèi)有以下五個游戲：21X=—;0,2n),n=1,2,3,4,5,對于每個X:n33n2nE(X)=2nn32nVar(X)=-x(0——)2+-n333于是，根據(jù)(5.3)式：ES(X)=ES(X)=E(X)n2n32n1+、；Var(X)1+€2x22n33+222于是，設(shè)效用公園的門票為T,則曰是，22nT二工ES(X)二〉.二2.6515n3+2n邁n=1n=1小結(jié)及對未來研究的展望本文從理論和實驗兩個方面證明了Bernoulli對“圣彼得堡悖論”給出的效用函數(shù)解決方案是不成立的，在此基礎(chǔ)上，通過對不確定性的分析，得出了不確定性條件下估值的風險調(diào)整模型，并用此模型解決了“圣彼得堡悖論”“超級彼得堡悖論”和“效用函數(shù)悖論”。自從1738年Bernoulli提出貨幣的邊際效用遞減并據(jù)此給出了效用函數(shù)解決方案以來，金融學后來的理論發(fā)展或多或少都與Bernoulli提出的概念和理論模型有關(guān)，本文則是從一個不同的角度提出了一個完全不同的分析框架——不確定性決策的風險調(diào)整模型，這一模型是簡單的，也是符合人類的思維模式的。我們提出的理論模型代表了一個全新的研究方向，但就本文的研究內(nèi)容來講仍然是非常初級的和粗糙的，下一步的工作可以從以下幾個方面繼續(xù)深入下去:關(guān)于概率型不確定性估值的風險調(diào)整系數(shù)a(X)本文初步給出了一個a(X)的具體形式：a(X)=QVar(X)，這一a(X)的形式雖然解決了“圣彼得堡”等悖論，然而，據(jù)此得出的估值雖然在可以接受的范圍之內(nèi)，但是數(shù)值偏低。因此，a(X)的表達式還有進一步改善的余地，也應該通過適當?shù)慕?jīng)濟實驗加以檢驗。關(guān)于資產(chǎn)定價模型馬科維茨以方差最小為原則得出了資產(chǎn)定價模型，從而奠定了現(xiàn)代金融經(jīng)濟學的基礎(chǔ)。馬科維茨的最小方差原則與本文的根據(jù)標準差進行風險調(diào)整的思路從本質(zhì)上是相通的，因此馬科維茨方程與風險調(diào)整模型在表達式上應該有某種數(shù)學上的關(guān)聯(lián)。但在實際應用中，資產(chǎn)定價模型的效果并不好，甚至有學者認為這只是一個理論模型，是無從檢驗的。資產(chǎn)定價模型之所以無法達到良好的應用效果，是因為它是在概率型不確定條件