基于反步式反步自適應魯棒伺服電機的設計

基于反步式反步自適應魯棒伺服電機的設計

服務系統(tǒng)傳輸連接的幾個非線性因素是限制控制系統(tǒng)性能的主要因素。其中,齒隙非線性作為一種動態(tài)非線性特性往往會嚴重影響系統(tǒng)的動態(tài)性能。如果不能抑制由齒隙所產生的影響,不僅會增大系統(tǒng)的輸出誤差,甚至還會產生失穩(wěn)等其它嚴重后果。由于齒隙不可微的特點,使得對齒隙的補償尤為困難,這增加了系統(tǒng)的控制難度。對齒隙非線性的研究具有重要的理論意義和工程價值。近年來,伺服系統(tǒng)齒隙非線性得到了廣泛研究。文獻提出了一種電消齒隙方案和多種偏置電壓的調整方案;文獻提出了一種連續(xù)可微的近似死區(qū)模型,并設計了一種自適應控制方案;文獻設計了二階滑模觀測器補償齒隙對系統(tǒng)的影響;文獻基于齒隙死區(qū)模型設計了反步自適應控制器,并對系統(tǒng)參數(shù)進行了在線估計;文獻針對具有對稱輸入齒隙的一類非線性系統(tǒng),將齒隙非線性等價線性化處理,設計了一種自適應控制器,保證控制系統(tǒng)信號有界且跟蹤誤差可以在任意精度內。由于偏置力矩可以保證同一時間至少一組驅動子系統(tǒng)與從動子系統(tǒng)保持接觸,消除了系統(tǒng)在齒隙階段的不可控性,本文以具有齒隙的雙電機同步聯(lián)動伺服系統(tǒng)作為研究對象,施加偏置力矩,利用反步設計法,逐步建立Lyapunov函數(shù),設計了基于反步法的自適應魯棒控制,在存在參數(shù)不確定性的情況下實現(xiàn)系統(tǒng)信號有界且跟蹤誤差可以保證在期望范圍內。1齒隙非線性的動力學模型雙電機聯(lián)動伺服系統(tǒng)結構如圖1所示。圖1中O0為從動子系統(tǒng),O1和O2為兩個驅動子系統(tǒng)。系統(tǒng)的動力學方程可以表示為式中:i=1,2;θmi、6)θmi、Jmi分別表示第i組驅動子系統(tǒng)的角位移、角速度、轉動慣量;θd表示從動子系統(tǒng)的角位移;T為系統(tǒng)的輸入轉矩;im為主從子系統(tǒng)之間的傳動比;Mi為從動子系統(tǒng)對第i組驅動子系統(tǒng)產生的作用力矩;Tw表示加在系統(tǒng)輸入端的偏置力矩。受齒隙非線性的影響,Mi可以表示為式中:k為主、從動子系統(tǒng)結合處的剛度系數(shù),fi(zi)為第i組驅動子系統(tǒng)齒隙非線性的死區(qū)函數(shù),如圖2所示。由于齒隙的非平滑特性,針對齒隙的死區(qū)模型Mi,如圖3所示。式中:zi=θmi-imθd,為第i組驅動子系統(tǒng)與從動子系統(tǒng)的相對角度差,2αi為第i組驅動子系統(tǒng)與從動子系統(tǒng)的之間的齒隙寬度。式中:Mi0為通過柔性連接的線性傳遞力矩ΔMi為通過干擾和非線性傳遞力矩顯然ΔMi滿足證明略。定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量則可得系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為2多輸入系統(tǒng)設計本自適應魯棒控制器的設計目的是使得整個控制系統(tǒng)的輸出y高精度跟蹤期望輸出yd。不難發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)模型式(8)滿足半嚴格反饋的形式,因此可使用反步設計法設計控制器。為了方便控制器的設計,對式(8)做如下合理假設:假設1系統(tǒng)狀態(tài)變量θmi、6)θmi、θd和6)θd均可測,期望位置輸出yd已知且n階(n至少為4)可導且導數(shù)有界。假設2系統(tǒng)參數(shù)Jmi、Jd、bmi、bd、k、αi、im未知,但界已知。0<Jmimin≤Jmi≤Jmimax,0<Jdmin≤Jd≤Jdmax,0<bmimin≤bmi≤bmimax,0<bdmin≤bd≤bdmax,0<kmin≤k≤kmax,0<imin≤im≤imax,0<αimin≤αi≤αimax。本文采用光滑投影算法對上述系統(tǒng)參數(shù)進行估計。對參數(shù)估計向量v=[^v1…^vp],定義光滑投影映射Proj:Rp→Rp式中:Proji(^vi)滿足2個條件,如圖4所示?；诜床椒ǖ淖赃m應魯棒控制器設計步驟如下:(1)定義從動系統(tǒng)實際輸出與期望輸出誤差為選取Lyapunov函數(shù)對式(11)求導選取x2作為虛擬控制量,定義u2為其期望值,則誤差變量根據(jù)式(12),選擇合適的式中:k1>0。將式(13)、(14)代入式(12),則(2)選取增廣Lyapunov函數(shù)對式(16)求導可得式中:不難看出,此步為多輸入單輸出系統(tǒng)。將x31+x32整體作為此步的虛擬輸入,令虛擬輸入的期望值為u3,定義誤差變量根據(jù)自適應魯棒控制器設計原則,u3設計為式中:u3a為根據(jù)參數(shù)估計^v2設計的模型補償控制量,采用式(22)所示積分自適應律進行參數(shù)估計,同時為了保證參數(shù)估計有界,使用投影函數(shù)Proj(·);u3s表示魯棒控制部分,u3s1為反步設計中對上一步的補償和常規(guī)的線性負反饋(k2>0),u3s2表示用于克服各種不確定項的魯棒反饋控制部分。定義v珓Proj2=v2-Proj(^v2)為v2的實際值與估計值的投影之間的誤差,將式(20)、(21)代入式(17),可得從投影算法及假設1~2可得,存在u3s2滿足結論1為方便反步設計,式(26)滿足式(24)和式(25)條件證明:從式(26)可以看出,式(24)顯然滿足。另外,由不難得到式(25)也同樣滿足條件。(3)選取增廣Lyapunov函數(shù)對式(28)取微分可得選取x41+x42作為虛擬控制量,u4為其期望輸入值,定義誤差量選取式中:k3>0。將式(30)、(31)代入式(29)可得(4)選取增廣Lyapunov函數(shù)對式(33)取微分可得式中:根據(jù)自適應魯棒控制器設計原則,設計控制律式中:Ta為根據(jù)參數(shù)估計^v4設計的常規(guī)模型補償控制量;Ts表示魯棒控制部分,Ts1為反步設計中對上一步的補償和常規(guī)的線性負反饋,k4>0,Ts2表示用于克服各種不確定項的魯棒反饋控制部分。定義v珓Proj4=v4-Proj(^v4)為v4的實際值與估計值的投影之間的誤差,將式(37)代入式(34)可得同樣可以得出,存在Ts2滿足式中:δ4為正數(shù),可按要求取任意小的設計參數(shù)。從式(41)可以看出Ts2主要用于克服系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)不確定性以及非線性項。結論2滿足條件式(40)和式(41)的連續(xù)可微的證明略。定理1由被控系統(tǒng)式(8)、控制律式(37)和自適應律式(38)組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)信號有界,且穩(wěn)態(tài)誤差可以滿足任意期望的精度要求。證明:將u3s2和Ts2代入式(39),可得由V4的定義可以得出,e1有界,通過調整K和δ2、δ4的大小可以使動靜態(tài)跟蹤誤差滿足任意精度。定理1得證。定理2若不存在齒隙非線性影響,即ΔM1=ΔM2=0,由被控系統(tǒng)(8)、控制律(37)和自適應律(38)組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)漸近跟蹤穩(wěn)定。證明:定義式中:ue02fγjk>0,k=1,…,p,j=2,4。由假設2和投影函數(shù)的定義可知,對于ue02fj,k,Projjk(0+vjk)-vjk=0,因此Projji(ηji+vji)是1個經(jīng)過原點的單調非減函數(shù)。因此定義式中:Γj=diag{γji,…,γjp}。選取正定函數(shù)(49)作為系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)由Barbalat’s引理即系統(tǒng)漸近跟蹤穩(wěn)定。定理2表明如果系統(tǒng)僅存在參數(shù)不確定性且運行在齒隙單側,閉環(huán)系統(tǒng)漸近跟蹤穩(wěn)定。3控制器的設計仿真驗證本文中所設計的自適應魯棒控制算法的有效性,下文進行仿真驗證。選擇雙電機伺服系統(tǒng)的主要參數(shù)。系統(tǒng)的實際參數(shù)為:Jm1=0.05kg·m2,bm1=1.5(N·m·s)/rad,Jm2=0.048kg·m2,bm2=1.48(N·m·s)/rad,Jd=0.16kg·m2,bd=1.6(N·m·s)/rad,k=70(N·m)/rad,α1=α2=0.005rad,im=5;各自取的界為:Jmi∈[0.04,0.06],Jd∈[0.14,0.18],bmi∈[1.2,1.8],bd∈[1.5,1.7],k∈[65,75],im∈[4.8,5.2],αi∈[0.045,0.055];期望輸出為:yd(t)=0.5[sin(0.1πt)+sin(0.2πt)];系統(tǒng)的狀態(tài)初始條件為:x1(0)=0,x2(0)=0,x3i(0)=0,x4i(0)=0;系統(tǒng)參數(shù)的初始估計值為:^v2(0)=[9.500000.00430.00044800]T,^v4(0)=[-0.020435034.285735.71430.73470.75510.0245]T;控制器的參數(shù)選擇如下:k1=20,k2=4,k3=6,,k4=1,ε2=0.1,ε4=40,γ=0.01,Γ2=I3,Γ4=I7;另外考慮物理限制,將控制量T控制在|T|≤5范圍內;偏置力矩選擇Tw=0.2。仿真結果如圖5所示。根據(jù)仿真結果可以看出,采用本文反步自適應魯棒控制算法,系統(tǒng)的跟蹤誤差可以保證在要求的范圍之內,且在不存在齒隙時可以實現(xiàn)漸進穩(wěn)定跟蹤。4自適應魯棒控制算法在電機驅動系統(tǒng)中,齒隙一般位于系統(tǒng)內部,難以通過構造逆模型有效消除齒隙非線性所產生的影響。本文通過將齒隙的非線性傳遞環(huán)節(jié)和線性傳遞環(huán)節(jié)分開,將非線性傳遞環(huán)