平行四邊形的性質(zhì)

第18章

平行四邊形1.平行四邊形的性質(zhì)(1)(1)平行四邊形的定義及功能(2)平行四邊形的邊和角有什么性質(zhì)？一.平行四邊形的定義.由_____條線段首尾順次連接組成的多邊形叫四邊形；四邊形有____條邊，___個角,四邊形的內(nèi)角和等于___度；1.平行四邊形的定義及功能.定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。①②定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。ABCD記作：□ABCD讀作：平行四邊形ABCD注意順序性AB∥CDAD∥BD四邊形ABCD是平行四邊形1.平行四邊形的定義及功能.1知識點平行四邊形的定義反饋練習(xí)：1.如圖，在□ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，EF與HN相交于點O，則圖中共有平行四邊形(

)A．12個B．9個C．7個D．5個B1.平行四邊形的定義及功能數(shù)學(xué)表達(dá)式：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD，AD∥BD在□ABCD中AB∥CD，AD∥BD定義→性質(zhì)：平行四邊形的兩組對比平行定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。ABCDAB∥CDAD∥BD四邊形ABCD是平行四邊形反饋練習(xí)：2.(中考·泰安)如圖，在□ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分線交AD于E，交BA的延長線于F，則AE＋AF的值等于(

)A．2B．3C．4D．6C2.平行四邊形有怎樣的性質(zhì)？定義→性質(zhì)：平行四邊形的兩組對比平行定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。ABCDAB∥CDAD∥BD四邊形ABCD是平行四邊形平行四邊形相鄰的兩個內(nèi)角互補及時總結(jié)：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形1.即對于任何一個幾何定義，都具有兩種功能→

順用是它的判定，逆用是它的性質(zhì)．

2.對于幾何計數(shù)問題，要按照一定的順序(如從小到

大等)分類計數(shù)，做到不重復(fù)不遺漏．3.

平行線+角平分線→有等腰三角形平行四邊形的定義既是性質(zhì)→平行四邊形的

兩組對邊分別平行；又是判定→兩組對邊分別平行

的四邊形是平行四邊形．二、探索：平行四邊形還有哪些的性質(zhì)？1.平行四邊形是中心對稱圖形ABCD(A)(C)(D)(B)O1.平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點就是對稱中心。由此，我們可以猜想：平行四邊形的對邊和對角有什么數(shù)量關(guān)系？證明猜想：已知：如圖，□ABCD.求證：AB=CD,AD=CB,∠A=∠C，∠B=∠DABCD平行四邊形的性質(zhì)：定理1平行四邊形的對邊相等定理2平行四邊形的對角相等2.平行四邊形對邊平行；平行四邊形對邊相等．邊的性質(zhì)：平行四邊形對邊平行；平行四邊形對邊相等．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.ABCD

平行四邊形的性質(zhì)——對邊相等知識點22.平行四邊形對邊平行；平行四邊形對邊相等．例1如圖,在□ABCD中，AB=8,周長等于24.

求其余三條邊的長.DABC3.用一根長度為36cm的鐵絲圍成一個平行四邊形，各邊的長度恰好都是3的整數(shù)倍，試找出所有滿足條件的平行四邊形,并分別求出各邊的長.3.平行四邊形對角相等；平行四邊形鄰角互補．3.角的性質(zhì)：平行四邊形對角相等；平行四邊形鄰角互補．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.

平行四邊形的性質(zhì)——對角相等知識點34.在□ABCD中，∠A＝120°，求其余各個內(nèi)角的度數(shù)。5.在□ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是()A.1︰2︰3︰4B.3︰4︰4︰3C.3︰3︰4︰4D.3︰4︰3︰4例2.在□ABCD中，∠A＝40°，求其余各個內(nèi)角的度數(shù)。DABC3.用一根長度為36cm的鐵絲圍成一個平行四邊形，各邊的長度恰好都是3的整數(shù)倍，試找出所有滿足條件的平行四邊形,并分別求出各邊的長.

4.在□ABCD中，∠A＝120°，求其余各個內(nèi)角的度數(shù)。5.在□ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是()A.1︰2︰3︰4B.3︰4︰4︰3C.3︰3︰4︰4D.3︰4︰3︰4鞏固提高：1.如果□ABCD的中∠A：∠B=1∶5，那么∠

A=____，∠B=____，∠C=____，∠D=____．2.如果□ABCD的周長為28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB=

cm，BC=

cm，CD=

cm，CD=

cm．3．(2016·河北)如圖，將□ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在B′處，若∠1＝∠2＝44°，則∠B的度數(shù)為________.你收獲了什么？平行四邊形的定義性質(zhì)：平行四邊形的兩組對邊分別平行；判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．平行四邊形的性質(zhì)(中心對稱)：定理1平行四邊形的對邊相等定理2平行四邊形的對角相等

平行線+角平分線→有等腰三角形思考題：在?ABCD中，AD＝BD，BE是AD邊上的高，∠EBD＝20°，則∠A的度數(shù)為____________________．作業(yè)：課本80頁：18.1第1、3題課本94頁：18.1第3-5題第18章

平行四邊形2.平行四邊形的性質(zhì)的簡單應(yīng)用(1)平行線間的距離(2)平行四邊形的性質(zhì)的簡單應(yīng)用3.用一根長度為36cm的鐵絲圍成一個平行四邊形，各邊的長度恰好都是3的整數(shù)倍，試找出所有滿足條件的平行四邊形,并分別求出各邊的長.

4.在□ABCD中，∠A＝120°，求其余各個內(nèi)角的度數(shù)。5.在□ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是()A.1︰2︰3︰4B.3︰4︰4︰3C.3︰3︰4︰4D.3︰4︰3︰4鞏固提高：1.如果□ABCD的中∠A：∠B=1∶5，那么∠

A=____，∠B=____，∠C=____，∠D=____．2.如果□ABCD的周長為28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB=

cm，BC=

cm，CD=

cm，CD=

cm．3．(2016·河北)如圖，將□ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在B′處，若∠1＝∠2＝44°，則∠B的度數(shù)為________.4知識點平行線之間的距離

●

●●●→平行線的又一個性質(zhì)：

平行線之間的距離處處相等.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，A，C是l1上任意兩點，∵l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2，∴AB＝CD.拓展：(1)夾在兩條平行線間的任何平行線段都相等；(2)等底等高的三角形的面積相等．ABCDE例3.比較△ABC和△DEC的面積大小6.如圖，如果直線l1//l2,那么△ABC的面積和△DBC的面積是相等的.你能說出理由嗎？你還能在這兩條平行線之間畫出其他與△ABC面積相等的三角形嗎？ABCDl1l2等底等高的三角形面積相等1.定義：

兩條平行線中，一條直線上任一點到另一條直線的距離，

叫做這兩條平行線之間的距離；理解：(1)點到直線的距離是指這點到這條直線的垂線段的長度；(2)三種距離之間的區(qū)別與聯(lián)系類別兩點間的距離點到直線的距離兩條平行線間的距離區(qū)別連接兩點的線段的長度點到直線的垂線段的長度兩條平行線中，一條直線上任一點到另一條直線的垂線段的長度聯(lián)系最后都?xì)w結(jié)為兩點間的一條線段的長度

2.性質(zhì)：如果兩條直線平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等，即：平行線間的距離處處相等．要點精析：(1)“平行線間的距離處處相等”，在作平行四邊形的高時，可根據(jù)需要靈活選擇位置；(注：平行線的這一性質(zhì)常用來解決三角形同底等高問題)(2)平行線的位置確定后，它們間的距離是定值(是正值)，不隨垂線段位置的改變而改變．二、平行四邊形的性質(zhì)的簡單應(yīng)用利用相等關(guān)系：1、建立方程2、等量轉(zhuǎn)移例3已知平行四邊形的周長是24,相鄰兩邊的長度相差4，求該平行四邊形相鄰兩邊的長.ABCD利用相等關(guān)系：建立方程例4已知：如圖,在□ABCD

中，∠ADC的平分線與AB相交于點E.求證：BE+BC=CD.DABCE

利用相等關(guān)系：等量轉(zhuǎn)移平行線+角平分線→有等腰三角形1．如圖，若M是□ABCD的邊AB上任意一點，設(shè)△AMD的面積為S1，△BMC的面積為S2，△CDM的面積為S，則(

)A．S＝S1＋S2B．S＞S1＋S2C．S＜S1＋S2D．不能確定2．如圖，在□

ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，∠EDF＝135°，求□

ABCD各內(nèi)角的度數(shù)．解：∠B＝∠ADC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝135°

3．如圖，在□

ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分線交AD于點E，則△CDE的周長是(

)A．7

B．10

C．11

D．124.在平面直角坐標(biāo)系中，已知□

ABCD的三個頂點坐標(biāo)分別是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，則點D的坐標(biāo)是(

)

A．(－2，1)B．(－2，－1)C．(－1，－2)D．(－1，2)20．如圖，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，已知AE＝4，AF＝6，□ABCD的周長為40，求□ABCD的面積．解：設(shè)BC＝x，CD＝y(tǒng)，依題意，得x＋y＝20，4x＝6y，解得x＝12，y＝8，∴S?ABCD＝4×12＝48知識點1：平行四邊形的定義1．在四邊形ABCD中，若AD∥BC，AB∥DC，則四邊形ABCD是_____________形．平行四邊2．如圖，剪兩張對邊平行的紙條隨意交叉疊放在一起，轉(zhuǎn)動其中一張，重合部分構(gòu)成一個四邊形，則這個四邊形是______________形．平行四邊知識點2：平行四邊形的對邊相等3．如圖，在?ABCD中，點M為CD的中點，且DC＝2AD，下列判斷錯誤的是(

)A．DM＝ADB．AD＝BCC．DM＝BMD．DM＝BCC4．(2015·衢州)如圖，在?ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC于點E，則CE的長等于(

)A．8cmB．6cmC．4cmD．2cmC5．?ABCD中，已知點A(－1，0)，B(2，0)，D(0，1)，則點C的坐標(biāo)為__________．6．如圖，已知?ABCD中，F(xiàn)是BC邊的中點，連結(jié)DF并延長，交AB的延長線于點E.求證：AB＝BE.(3，1)解：易證△BEF≌△CDF，得BE＝CD.又∵AB＝CD，∴AB＝BE知識點3：平行四邊形的對角相等7．已知?ABCD中，∠A＋∠C＝200°，則∠B的度數(shù)是(

)A．100°B．160°C．80°D．60°8．已知平行四邊形ABCD中，∠B＝4∠A，則∠C等于(

)A．18°B．36°C．72°D．144°9．在?ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(

)A．1∶2∶3∶4B．1∶2∶1∶2C．1∶1∶2∶2D．1∶2∶2∶1CBB知識點4：平行線之間的距離處處相等11．如圖，若M是?ABCD的邊AB上任意一點，設(shè)△AMD的面積為S1，△BMC的面積為S2，△CDM的面積為S，則(

)A．S＝S1＋S2B．S＞S1＋S2C．S＜S1＋S2D．不能確定A12．如圖，直線AE∥BD，點C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面積為16，則△ACE的面積為____．1013．如圖，點E是?ABCD的邊CD的中點，AD，BE的延長線相交于點F，DF＝3，DE＝2，則?ABCD的周長為(

)A．5B．7C．10D．14DB

19．如圖，在?ABCD中，點E是AB邊的中點，DE與CB的延長線交于點F.(1)求證：△ADE≌△BFE；(2)若DF平分∠ADC，連結(jié)CE，試判斷CE和DF的位置關(guān)系，并說明理由．解：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE.又∵∠AED＝∠BEF，AE＝BE，∴△ADE≌△BFE

(2)CE⊥DF.易證∠F＝∠ADF＝∠CDF，∴CD＝CF.由△ADE≌△BFE，得DE＝EF，∴CE⊥DF(等腰三角形的三線合一)7．如圖，在?ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，則∠DAE等于(

)．A．10°B．20°C．40°D．50°B8．在?ABCD中，∠DAB的平分線分對邊BC為6cm和5cm兩部分，則?ABCD的周長為_________________________．9．如圖，在?ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠BAD，∠ADC的平分線分別交BC于點E，F(xiàn)，則EF的長為____．32cm或34cm210．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，BE＝DF.求證：AE＝CF.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF.∵BE＝DF，且BE＝BF＋EF，DF＝DE＋EF，∴DE＝BF.在△ADE與△CBF中，AD＝CB，∠ADE＝∠CBF，DE＝BF，∴△ADE≌△CBF，∴AE＝CF11．如圖，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分線交AD于點E，則△CDE的周長是(

)A．7

B．10

C．11

D．12B12．(2016·河北)如圖，將?ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在B′處，若∠1＝∠2＝44°，則∠B的度數(shù)為________.114°15．在?ABCD中，AD＝BD，BE是AD邊上的高，∠EBD＝20°，則∠A的度數(shù)為____________________．16．(2016·永州)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E.(1)求證：BE＝CD；(2)連結(jié)BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四邊形ABCD的面積．55°或35°方法技能：1．平行四邊形的定義兩用，既可當(dāng)性質(zhì)用，又可當(dāng)判定用．2．平行四邊形的邊角性質(zhì)為證明線段的平行和相等，角的互補與相等提供了很重要的依據(jù)．注意常和全等三角形一起綜合運用．3．平行線間的距離是指垂線段的長度，平行線的位置確定了它們之間的距離就是定值，不隨著垂線段的位置的改變而改變．易錯提示：對幾何圖形判斷錯誤，導(dǎo)致錯解或漏解．20．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，已知AE＝4，AF＝6，平行四邊形ABCD的周長為40，求平行四邊形ABCD的面積．解：設(shè)BC＝x，CD＝y(tǒng)，依題意，得x＋y＝20，4x＝6y，解得x＝12，y＝8，∴S?ABCD＝4×12＝4811．在△ABC中，AB＝AC，點D在邊BC所在的直線上，過點D作DE∥AC交直線AB于點E，DF∥AB交直線AC于點F.(1)如圖①，當(dāng)點D在邊BC上時，求證：DE＋DF＝AC；(2)如圖②，當(dāng)點D在邊BC的延長線上時，DE，DF，AC之間的數(shù)量關(guān)系為____；(3)如圖③，當(dāng)點D在邊BC的反向延長線上時，若AC＝6，DE＝2，求DF的長．解：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE＝AF，∵AB∥DF，∴∠FDC＝∠B.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠FDC＝∠C，∴DF＝FC，∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC

(2)DE－DF＝AC

(3)8知2－練(2015·寧波)如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點，如果添加一個條件，使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能為(

)A．BE＝DF

B．BF＝DEC．AE＝CF

D．∠1＝∠22（來自《典中點》）邊的性質(zhì)：平行四邊形對邊平行；平行四邊形對邊相等．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.知2－講（來自《點撥》）知3－講要點精析：由于組成平行四邊形的元素有邊、角，因此討論其性質(zhì)也應(yīng)從邊、角這兩個方面去看．(1)從邊看：平行四邊形的對邊平行且相等；(2)從角看：平行四邊形的對角相等、鄰角互補．3.易錯警示：已知平行四邊形得出什么性質(zhì)，要根據(jù)

推理證明的需要，合理選用需要的性質(zhì)．（來自《點撥》）如圖，在ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°，求平行四邊形各角的度數(shù)．例6知3－講（來自《點撥》）由平行四邊形的對角相等，得∠A＝∠C，結(jié)合已知條件∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A和∠C的度數(shù)；再根據(jù)平行線的性質(zhì)，進(jìn)而求出∠B，∠D的度數(shù)．導(dǎo)引：在ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°.∴∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.∴∠B＝∠D＝120°.解：知3－講平行四邊形中求有關(guān)角度的基本方法是利用平行四邊形對角相等，鄰角互補的性質(zhì)，并且已知一個角或已知兩鄰角的關(guān)系可求出所有內(nèi)角的度數(shù)．總

結(jié)（來自《點撥》）知3－練

(中考·衢州)如圖，在ABCD中，M是BC延長線上的一點，若∠A＝135°，則∠MCD的度數(shù)是(

)A．45°B．55°C．65°D．75°1知3－練如圖，在ABCD中，CE⊥AB，E為垂足，如果∠A＝120°，那么∠BCE的度數(shù)是(

)A．80°B．50°C．40°D．30°2知3－練(中考·黔西南州)在ABCD中，∠A＋∠C＝200°，則∠B的度數(shù)是(

)A．100°B．160°C．80°D．60°3知4－講解：△ABC和△DEF的面積相等．理由如下：如圖，作AH1⊥直線b，垂足為點H1，作DH2⊥直線a，垂足為點H2.設(shè)△ABC和△DEF的面積分別為S1和S2，∴S1＝BC·AH1，S2＝

EF·DH2.∵直線a∥b，AH1⊥直線b，DH2⊥直線a，∴AH1＝DH2.又∵BC＝EF，∴S1＝S2，即△ABC與△DEF的面積相等．（來自《點撥》）知4－練如圖，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，F(xiàn)G⊥b，E，G為垂足，則下列說法不正確的是(

)A．AB＝CDB．EC＝FGC．A，B兩點間的距離就是線段AB的長度D．a(chǎn)與b的距離就是線段CD的長度2（來自《典中點》）1.平行四邊形的定義既可當(dāng)性質(zhì)用，又可當(dāng)判定用．2.平行四邊形的邊、角的性質(zhì)為證明線段的平行和相等、角的互補和相等提供了很重要的依據(jù)．注意常和全等三角形一起綜合運用．3.平行線間的距離是指垂線段的長度，平行線的位置

確定了，它們之間的距離就是定值，不隨著垂線段

的位置的改變而改變．必做:完成教材P76練習(xí)T2-3補充:請完成《典中點》剩余部分習(xí)題隨堂演練練習(xí)一填空題1.在□ABCD中,∠A=65°,則∠B=

°,∠C=

°,∠D=

°.2.在□ABCD中,AB+CD=28cm.□ABCD的周長等于96cm,則AB=

,BC=

,CD=

,AD=

.ADBC1156511514cm34cm14cm34cm練習(xí)二判斷題⒈平行四邊形的兩組對邊分別平行。（）⒉平行四邊形的四個內(nèi)角都相等。（）⒊平行四邊形的相鄰兩個內(nèi)角的和等于180°（）⒋□ABCD中,如果∠A=30°，那么∠B=60°

（）√×√×練習(xí)三

已知平行四邊形ABCD中,∠1=15°,∠2=25°,且AB=5cm，AO=2cm，求∠DAB和∠ABC的度數(shù)，并找出長度分別為5cm和2cm的線段.ADBCO))12解:∵在□ABCD中，AB∥DC∴∠ABD＝∠1=15°∴∠ABC＝15°+25°=40°