第四章-圖形變換的矩陣方法(已排)

第4章圖形變換的矩陣方法要求：1.掌握各種圖形變換的變換矩陣。2.掌握圖形變換矩陣的一般形式。3.掌握齊次坐標(biāo)表示法。計算機產(chǎn)生圖形的過程大致可分為三步：圖形輸入圖形處理圖形輸出計算機對圖形數(shù)據(jù)進行處理，就是圖形處理。圖形變換

---就是要變換圖形的幾何關(guān)系(即改變頂點坐標(biāo)),同時保持圖形的原拓?fù)潢P(guān)系不變.

一般來說，圖形從輸入到輸出貫串著各種變換。被描述的對象所處的環(huán)境和顯示屏幕的環(huán)境是很不同的，不僅位置不同，大多數(shù)情況下，尺寸也很不相同。這就要求協(xié)調(diào)二者的關(guān)系。此外，三維的圖形要在二維的圖紙或屏幕上表示出來要通過投影變換。為了從不同的方向去觀察對象，要求能對對象作旋轉(zhuǎn)變換，放大縮小和平移變換更是經(jīng)常要用的。繪圖過程中還要用窗口來規(guī)定要顯示的內(nèi)容，用視區(qū)來規(guī)定在屏幕上或圖紙上顯示的位置。本章學(xué)習(xí)實現(xiàn)上述功能的算法。1圖形變換幾何變換投影變換又稱坐標(biāo)變換:它是將點集的坐標(biāo)變換達到改變位置、形狀幾何變換基本變換組合變換：上述變換的連續(xù)實施投影變換正投影變換斜投影變換中心變換：三面正投影圖、軸測圖：斜軸測圖變位變換變形變換：旋轉(zhuǎn)、鏡像、：比例、錯切周分布、陣列、線框圖的變換——通常以點變換為基礎(chǔ)，把圖形的頂點作一系列的幾何變換后，連接新的頂點系列即可產(chǎn)生新的圖形。用參數(shù)方程描述的圖形的變換——通過參數(shù)方程作幾何變換實現(xiàn)。我們在這只討論圖形拓?fù)潢P(guān)系不變的幾何變換。重點討論線框圖的變換。：透視圖

由于顯示器和繪圖機只能用二維空間來表示圖形，要顯示三維圖形就要用投影方式來降低其維數(shù)。21.二維平面上點的表示法

改變頂點坐標(biāo),也就是對向量的變換,向量運算必須用矩陣運算來實現(xiàn)。2.圖形變換的矩陣表示

一對坐標(biāo)(x,y)一個向量[xy]設(shè):點P(x,y)點P’(x’,y’)其數(shù)學(xué)表達方法矩陣表達方法變換后的位置矢量矩陣變換矩陣位置矢量矩陣4.1二維圖形變換3就是將圖形放大或縮小的變換方法。變換式為：x’=Sx*xy’=Sy*y討論：1.Sx＝Sy＝1，點的位置、圖形形狀不變，又稱恒等變換2.Sx＝Sy>1，點的位置變了、圖形放大了Sy倍。3.Sx＝Sy<1，點的位置變了、圖形縮小了Sy倍。圖形變化：原有圖形放大或縮小的變換參數(shù)值：主對角線上元素至少有一個不為1，次對角線上元素全為0。xOy(x,y)(x',y')Sx＝1,Sy>14.Sx

Sy，圖形產(chǎn)生了畸形圖形沿兩個坐標(biāo)軸方向作非均勻比例變換。4.1.1比例變換4xOy(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,-y)xOyy=x(x',y')(x,y)xOy=-x(x,y)(x',y')y4.1.2對稱變換52.關(guān)于y軸的對稱變換3.關(guān)于45度平分線的對稱變換4.關(guān)于-45度平分線的對稱變換5.關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱變換1.關(guān)于x軸的對稱變換6沿x軸方向的錯切變換沿y軸方向的錯切變換1.沿X軸方向的錯切變換4.1.3錯切變換(1)變換過程中,點的y坐標(biāo)保持不變,而x坐標(biāo)值發(fā)生線性變化;(2)平行于X軸的線段變換后仍平行于X軸;(3)平行于Y軸的線段變換后錯切成與Y軸成角的直線段(4)X軸上的點在變換過程中保持不變,其余點在變換后都平移了一段距離。（2）沿Y軸方向錯切（1）沿X軸方向錯切(x,y)(x',y')(x,y)(x',y')7(1)變換過程中,點的x坐標(biāo)保持不變,而y坐標(biāo)值發(fā)生線性變化;(2)平行于Y軸的線段變換后仍平行于Y軸;(3)平行于X軸的線段變換后錯切成與X軸成角的直線段(4)Y軸上的點在變換過程中保持不變,其余點在變換后都平移了一段距離。2.沿Y軸方向的錯切變換8其矩陣表示法：4.1.4繞坐標(biāo)原點的旋轉(zhuǎn)變換9變換過程為：x’=x＋ly’=y+m變換矩陣為如變換矩陣改為：則點的坐標(biāo)（x,y)（x,y,1)P’=P*T==xO(x,y)(x',y')y4.1.5平移變換10它是用一個n+1維向量表示一個n維向量的方法如：二維點[xy]用[XYH]表示如：空間點[xyz]用[XYZH]表示正常化齊次坐標(biāo)怎樣由齊次坐標(biāo)求正?；R次坐標(biāo)?H可以任意選取,齊次坐標(biāo)與普通坐標(biāo)之間是一一對應(yīng)關(guān)系。如二維平面上的一點[3,4],用齊次坐標(biāo)表示為[3,4,1][6,8,2][1.5,2,0.5]通常將H=1的齊次坐標(biāo)稱為x=X/Hy=Y/Hz=Z/H齊次坐標(biāo)表示點，可以防止溢出能將上述的所有變換統(tǒng)一用一個矩陣描述4.1.6齊次坐標(biāo)與變換通式11比例、反射、旋轉(zhuǎn)、錯切投影變換平移總體比例變換4.1.7二維圖形變換矩陣的一般形式二維圖形變換矩陣的通式T:12(1)復(fù)合平移(2)復(fù)合比例組合變換:由多個基本變換的連續(xù)實施而成的復(fù)雜變換,又稱基本變換的級連.4.1.8二維組合變換13(3)復(fù)合旋轉(zhuǎn)14

先平移,再旋轉(zhuǎn)

先旋轉(zhuǎn),再平移級聯(lián)的順序不同,最終的圖形不同由于矩陣乘法不滿足交換率,(4)級聯(lián)順序?qū)M合變換的影響153.將圖形從原點平移到p(m,n)1.將圖形從點p(m,n)平移到原點O2.繞原點旋轉(zhuǎn)P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0（1）（2）（3）(5)繞平面上任意點P(m,n)的二維旋轉(zhuǎn)變換16T1*T2*T3T＝==繞平面上任意點p(m,n)的二維旋轉(zhuǎn)變換的總變換矩陣17設(shè)直線方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0-C/B-C/AEFF‘E’G’G則：x軸上的截距為-C/Ay軸上的截距為-C/B斜率為-A/B2.讓直線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)

角，使之與X軸重合1.將直線沿X軸平移C/A，使之過原點對任意直線的對稱變換可分解為以下五步:(6)對任意直線的對稱變換183.圖形對直線的對稱變換變成對x軸的對稱變換4.讓直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)

角，恢復(fù)到原來的傾斜位置5.將直線平移回原來的位置組合變換矩陣19三維圖形變換矩陣通式為4x4方陣比例、反射、旋轉(zhuǎn)、錯切平移投影變換總體比例變換空間點[xyz]的四維齊次坐標(biāo)[XYZH]表示三維空間點的變換為[xyz1]T=[x’y’z’1]變換前點的坐標(biāo)變換后點的坐標(biāo)三維圖形的變換矩陣[lmn]1x3

[pqr]T[s]1x14.2三維圖形變換20三維圖的基本變換4.2.2軸向比例變換變換矩陣主對角線上的元素a、e、j、s的作用是是圖形產(chǎn)生比例變換。0<S<1，為圖形整體放大S>1，為圖形整體縮小S<0，為對稱變換＋比例變換S＝1，為恒等變換[xyz1]T=[xyzs]=[x/sy/sz/s1][xyz1]T=[axeyjz1]=[x’y’z’1]若a=e=j,，則圖形三方向的縮放比例相同若a

e

j,，則圖形將產(chǎn)生類似變形zxy4.2.1全比例變換211.對OXY平面的反射特點：xy值不變，z坐標(biāo)符號改變[xyz1]T=[xy－z1]2.對YOZ平面的反射特點：zy值不變，x坐標(biāo)符號改變[xyz1]T=[-xyz1]3.對X