現(xiàn)代光學的基礎

1.費馬原理表述及數(shù)學表達式費馬原理是一個描述光線傳播行為的原理：光線沿光程為平穩(wěn)值的路徑傳播。即:JPn(r)ds-平均值e士、'? fp- fp …數(shù)學表達式：L(QP)=Jn(r)ds=L(l) Jm(r)ds=0或6L(l)=0 Q Q2.利用物像等光程性原理求由聚光纖維薄片制成的微透鏡焦距公式2.利用物像等光程性原理求由聚光纖維薄片制成的微透鏡焦距公式利用物像等光程性有L(QMQ')=L(QOQiL(QMQ')=nQM+nMQ'=n、(s+A)2+h2+nW(x-A)2+h2L(QOQ')=ns+nx由于是薄片微透鏡，所以A<<s,r,x于是TOC\o"1-5"\h\zh2罰2rA,v(s+A)2+h2罰s(1+ A),v'(x-A)2+h2罰x(1+ A)s2 x2r+s r一x代入光程方程 ns(1+ A)+nx(1+ A)=ns+nxs2 x2r+s rxn——A=-n A(A恰巧被消除)sxr+sr一xn=-n'sxnn'n'一n—+一= sxr令sT8像方焦距或稱后焦距n，f=令sT8像方焦距或稱后焦距n，f=二r令s'T8物方焦距或稱前焦距nf=rn'一n3.躍遷型光纖數(shù)值孔徑公式的推導及應用N.A=nsin0=*'n2—n20 0 1 2(00為外界入射光束與軸線之間的最大孔徑角)Maxwell電磁理論微分方程組ahXE=一呻 0at-H=0平面波、球面波的波函數(shù)復數(shù)表示及復振幅表達式平面波=Aeik-r?e-ik?t(設9 =0)復振幅~復振幅U(r,t)=Aeik?r=Ae(kxx+kyy+kzz)=Aeik(cosax+cospy+cosyz)二，、aU(r,t)=-1eik?r?e-iw(設9=0)復振幅U(P)=%eik?r=,七，eik'x2+y2+z2(發(fā)散球面波)- aU(P)=~re-ik?r，r=yx2+y2+z2 (匯聚球面波)rU(P)=*1e士ik?r，r=%'(x一x)2+(y一y)2+(z一z)2(軸外源點)r ooo平面波，球面波的波前函數(shù)的描述及識別平面波波前函數(shù)（（z=0）平面上）U（x,y）=Aeik曲9x~ a ■ ，“…，一,、一、，、球面波波刖函數(shù)①U（x,y）=—reik?『，r=\x2+y2+r2（發(fā)散球面波）r~ a ?' ，、—m?、十、土、②U（x,y）=—^e-ik?r,r=\x2+y2+r2（匯聚球面波）r例題：已知一列波長為人的光波在（x,y）接受面上的波前函數(shù)為?U（x，y）=Ae一i2嚇其中常量f的單位為mm-1,試分析與波前函數(shù)相聯(lián)系的波的類型與特征。解：由上式可見該波前因子是一個線性相因子，故可斷定它代表了一列平面波，為了進一步確定該平面波的傳播方向，現(xiàn)將波前函數(shù)改寫為含波數(shù)k的形式

~ .2’兀入U（尤，y）=Ae'兀fx=Ae一沃（fxx）可見這是一列傳播方向平行（x,z）面，即k=0的平面波與z軸夾角0滿足sin0=-f入或k=-2兀f它表示向下傾斜，傾角為0的平行光束，由于光的波長已被確定為入故波矢的z分量kz為方程k2+k2=k2=（2，■人）2確定為k=k2—k2=2兀<1人2—f2傍軸條件，遠場條件傍軸條件Z2>>P2遠場條件z人〉〉P2例題1對于光波，設波長入~500nm，橫向范圍p~1mm，約定>>取為50倍，試分別求出傍軸條件下縱向距離I,和遠場條件的Zf解：根據(jù)上面兩式分別求得zz750pr x1mmr1cmz爭r50PZ=50(%)p=50x(2x103)x1mm=100m顯然此時zf>>z,這源于光波極短，以致/帶來了高倍率。例題2對于聲波，設波長）?1m，橫向范圍p?10cm，則縱向距離z和z^分別為多少zr?50pr70cmzr50z牝50Py^r50（-）x10cm=50cm可見此時z>zf傍軸條件包含了遠場條件，這源于聲波長軸長以致"小于1例題3一臺天文望遠鏡，其物鏡口徑為2160cm，用以觀察遠方星體，問多遠的星體星光射到該望遠鏡，可以被看成是一束平行光？解：這是一個求遠場距離的問題，設光波長為550nm，即550x10-6mm于是遠場距離應該是zfr應該是zfr502160550x10-6x2.16mr4.24x105km這個距離與月球距離3.8x105km相近例題4已知一光波的波長為k,觀測平面(xy)上的波前函數(shù)為U(x,y)xe頃(4丁)試分析與此波前函數(shù)相系的波長的類型與特征解：由前函數(shù)可見波前僅含二次項因子故可以斷定它代表了一列傍軸波，中心在x軸上，由相同因子的負號斷定它是匯聚球面波，為確定匯聚中心位置，將波前函數(shù)改為標2z-eikz)頃(M)準形式類似U(x,y2z-eikz)于是斷定該傍軸匯聚球面波的中心位置坐標為(0,0,楊氏雙孔干涉條紋間距公式及應用楊氏雙孔干涉條紋間距公式s=也d例題在雙孔干涉實驗中，采用氦氖激光束，其波長為633nm，雙孔間隔d~1mm，縱向距離D?2m，求條紋間距解 帶入間距公式Ax=~~= 人=2x103x(633x10-6)mm澆1.3mmd1衍射巴比涅原理及應用如果已知某一孔型屏的衍射場，則應用巴比涅原理，就能直接求其互補屏的衍射場半波帶半徑公式及應用:Rbk RbX「上=\kWb p1=\TTb例題1設光波長X~600nm，R=1m，b=3m得p]=0.67mmp3=43x0.67-1.16nmp=J100x0.67-6.7mm由此可見相鄰兩個半波帶半徑之差Apk=pk+1-pk隨k數(shù)增加而減少，亦即半波帶越來越密例題2設X~600nm，p=2.00mmR~1m試問該圓孔包含的半波帶數(shù)目至少是幾個解：利用公式k=(R+；)?p2X令bT3得最少半波帶數(shù)為七=%=(1103)(2(600106)牝6-7這個數(shù)接近一奇數(shù)7,該圓孔嚴格的包含7個時的縱向距離為b103個時的縱向距離為b103-4mm7x600x10-6x103—4細致矢量圖解法及應用I波帶片的類透鏡公式及應用菲涅爾波帶片有若干實焦點與虛焦點，表明它既有類似會聚透鏡的功能，又有類發(fā)散透鏡的功能，所以，當物點發(fā)射球面波照明波帶片時，就能產(chǎn)生若干像點.所以由公式當氣滿足k=1時，則氣便是第一相距，即:1 1人Rbp2右端Np2=bf故上R+b1="1該式與透鏡物像距公式完全類似，同樣的我們可以獲得第二個相距b2與物距R的關系式如下1+1=1f22例題:對一張經(jīng)典菲涅爾波帶片的制作提出兩點設計要求：對波長為633nm的氦氖激光，其第一焦距為400mm,主焦點的光強為自由光強的104倍問：待制作的波帶片，其第一個半波帶的半徑為多少？這張波帶片至少應該有多大的有效半徑？解(1)根據(jù)第一焦距公式f1=p2 ,得第一個半波帶半徑為p=y!fX=4400x633x10-6mm?0.50mm⑶設焦點光強為I為自由光強I。的N倍，即I=NI0，相應的振幅倍率為A=JNa=7104A=102A=50A,由于有半數(shù)的半波帶被遮蔽，故應露出的幫波帶序號為1,3,5???,99,亦即最外圍的半波帶序號為99或100它決定了這條半波帶的有效尺寸1 I p100=』kp1=J100x0.50mmq5.0mm單縫夫瑯禾費衍射強度函數(shù)及圖樣特征衍射強度函數(shù)I(0)=10(sm以)2以度量非等光程方向的衍射振幅10=A；氣在公式中作為一個參考值，用⑴最大值.當x=0也蘭=1,為最大值.這在單縫衍射中表現(xiàn)為0=0時,衍射強度XI(0)=10為最大值，稱其為零級衍射峰，其位置正是幾何光學像點位置一等光程方位⑵零點位置.sinX：X函數(shù)存在一系列零點，當X=k兀,±1,土2,...,sinx/X=0,這在單縫衍射中表現(xiàn)為，當asin0=k兀,k=±1,±2…,衍射強度1(0)=0,出現(xiàn)暗點,上式成為單縫衍射零點條件次極大，sinXX函數(shù)在相鄰兩個零點之間存在一個極大值，其位置和數(shù)值可由微分方程d(sinx/x)/dx導出半波帶寬度A00,零級衍射斑的角范圍,其零級衍射峰與鄰近暗點之間的角方位只差值給以度量，稱其為零級衍射的半角寬度,即展°=0廣0。，在平行光正入射條件下,0°=0,01^sin01=^;a故得單縫夫瑯禾費衍射的零級衍射半角度寬度為△0=人/a或a-A0a人⑸單縫寬度的的影響，表現(xiàn)為兩個方面，一是影響半角寬度A00,比如縫寬1擴大為2。則A00壓縮為A00/2,二是影響零級衍射峰值10，這是因為峰值即光強參考值10，正比于面積(axb)的平方，比如縫寬a擴大為2i，則10增強為410(6)波長的影響,一是影響半波帶寬度A00,二是影響零級衍射峰值10.例題1.在單縫夫瑯禾費試驗中，光波長人~600nm透鏡焦距f~200mm單縫寬度。~15R,求零級斑的半角寬度和屏幕上顯示的零級斑的幾何線寬解：根據(jù)半角寬度公式得A9°=人/a=600；。-6=0.04rad用半角寬度估算屏幕上零級斑的幾何線寬Al Al?fA0=200x0.04mm=8mm例題2在單縫夫瑯禾費衍射實驗中,入射的平行光中含有兩種波長成分，紅光人1~600nm,藍光人2~400nm，且設兩者光強相等,即7J13=A；/A；=1試分析這二色光衍射圖樣的主要區(qū)別解：只要區(qū)別有兩點 一是紅光與藍光各自展開的半角寬度不等當=J上=紋=1.5倍A0人/a人400即紅光圖樣更為擴展，二是紅光與藍光衍射斑中心的強度不等I A2/入2入2 400245%I A2入2入2(600)20 2 2 1圓孔夫瑯禾費衍射艾里斑半角寬度公式及應用X半角寬度公式A0~1.22—或DA0*1.22X0D 0人眼分辨本領與瞳孔直徑?jīng)Q定人眼分辨本領的是瞳孔的直徑D。,它是可調的，其 :一一一__捫__) 正常范圍的2—8mm據(jù)此，可印一以估算出人眼最小可分辨角60設X=550nmx .1 D0*2mm,物防為空氣，?Jmm則60 =*3.3mm10m1.22 *1.22 *3.3x10-4rad*1'*0.08*3.3mm10mD4 2mm0馬呂斯定律及應用I（以）=Icos2以

部分偏振光通過偏振片后光強特點及數(shù)學描述當一偏振片面對一束部分偏振光而旋轉時，透射光強必將變化，因為部分偏振光的偏振光不具有軸對稱性，其他方向透射光強Ip（a），等于I、I按馬呂斯定律在a方向貢獻之和（完全非相干疊加）即I（以）=Icos2以+Icos2以現(xiàn)將該式作如下改寫I(以)I(以)=I(cos2以+sin2以)+(I一I)sin2以即I(P)=I+(I-I)cos2p其中，第一項是常數(shù)I，在P旋轉過程中保持不變，如同入射光為自然光那樣，第二項是余弦平方項，具有入射光為線偏振光那樣的馬呂斯定律形式。部分偏振光是一自然光與一線偏振光的混合偏振度概念及應用設一偏振片面對一束光而旋轉一周，獲得投射光強為最大值為Im，光強極小值為I,則入射光的偏振度被定義為p='■一『 由此我們可以作出判斷Mmp=1-入射光為線偏振光0<p<1T入射光為部分偏振光或橢圓偏振光p=0T入射光為自然光或圓偏振光例題1一對偏振片q,P2其透振方向彼此正交，另有一偏振片P插入其間，透振方向為。=心''4。若一束光強為10的自然光射入這個偏振片系統(tǒng)，問最終透射光強為多少?解：若無中間那個偏振片，則透射光強為零，任何一偏振片經(jīng)一正交偏振片，最終透射光強總是為零（消光），現(xiàn)在有一偏振片P置于其間，情況就不同了，見圖先是自然光通過P1,透射光強為11=I°/2，按馬呂斯定律通過P的光強為I=Icos20=LIcos20P1 20再按馬呂斯定律，最終通過P2的透射光強為I=Icos20=上Icos20sin20=~I(sin20)22P 20 80當0=兀..?'4時I=-1=12.5%

例題2一束光含有兩個同頻線偏振成分，其振動方向夾角為七，彼此間的相位差是隨機變化的，當一偏振片面對這束光旋轉時，試分析透射光強的變化---出現(xiàn)光強極大或極小的透振方向角a值，以及相應的光強值解：如圖，分別將振幅矢量氣氣向P投影，然后非相干疊加，得透射光強函數(shù)為I(a)=A2cos2a+A2cos2(2a—2a)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1=I[-(1+cos2a)]+I[-(1+cos(2a—2a))]=L(I+I)+L(Icos2a+Icos(2a—2a))2 1 2 2 2 1 0Icos2a+Icos2acos2a+Isin2asin2a2 1 0 1 0其中第二項括號式展開為=(I+Icos2a)cos2a+Isin2asin2a12 0 1 0=Icos(2a—0)這里I=這里I=<(I+Icos2a)2+(Isin2a)=(I2+211cos2a+1210=arctan( '1"氣)，0 I+Icos2a最后結果表示為TOC\o"1-5"\h\zI(a)=一(I+I