解決定值定點問題的若干策略-以2022年高考全國Ⅰ卷（理科）第20題為例 論文

--PAGE10-解決圓錐曲線定值定點問題的若干策略——以202220題為例摘要：以2022年高考全國Ⅰ卷（理科）第20題為例，通過對條件和問題的整合，進行多角度、多方向的探究，從而解決一類問題。揭示思維的本質(zhì)規(guī)律，培養(yǎng)學生的數(shù)學學科素養(yǎng)。關鍵詞：定值定點；先猜再證；坐標變換；極點極線；調(diào)和點列《中國高考評價體系》提出“高考必須堅持引導教學，作為大規(guī)評價體系將引導教學納入核心功能，有利于理順教考關系，增強以考年高考數(shù)學試題突出數(shù)學學科特點，加強基礎性與關鍵能力的考查，充分發(fā)揮數(shù)學學科的選拔與引導功能。本文以2022年高考全國Ⅰ卷（理科）第20題為例，使用了先猜再證、坐標變換、極點與極線的調(diào)和性等方法，對此題展開多角度探究。以期為一線教師在解析幾何定值定點問題的教學中提供范式。1、試題呈現(xiàn)（2022年高考全國Ⅰ卷第20題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，過B(3兩點。22 2（1）求E的方程；（答案：xy1）3 4的直線交E于M,NM且平行于x軸的直線與線段AB交于點T,點H滿足MTTHHN過定點.（直線HN過定點(0,2)2、先猜再證的直線MN的位置沒有確定，故可以從斜率不存在這種特殊情況入手，先猜出答案，再推廣到一般情況。MN①若直線MN與x軸垂直，則lMN

:x1，與橢圓方程聯(lián)立可得M26),3N26),將y26帶入l

:y2x2得T(3

6,26)，3 3 AB 3 3由MTTH得T(52

6,26)3則此時直線HN：y626x2，即得直線HN經(jīng)過定點(0,2)。3②若直線MN與不x軸垂直，設l

:y2k(xM(x,y),N(x,y)yk(x2

MN2 2 2

1 1 2 22聯(lián)立 24x

3y2

12

得(43k)x

(6k

12k)x3k

12k0則1x 則1x 2

6k(k2)3k24 2

，聯(lián)立y

y2

可得T(3yy)21 1xx

3k

12k

x2 312

3k241 1 1由MTTH得H(3y6x,y)，此時HN：yy21 1 1

3y1y26

x2

(xx2)。2由①猜測此時直線HN也過定點(0,2)，只需證:2y2

(y2)x2 ,2即證：2y2

k(x1x2)x2

k(x

22

3y1

6

x23k(x1

x21 2 2 1 2 122即證：3k(x1)(x(x1)(xx)xxx1 2 2 1 2 122

2x1x2(x1x2)，2 2 2代入韋達定理得，左邊=3k(3k12k6k12k3k4)12k 3k24

3k24

3k24

3k242 2右邊=6k24k6k12k12k，故左邊=右邊，得證。3k24

3k24

3k24從知識層面看，本題主要考察以橢圓為載體的圖形的不變量、不變性。從能力層面看，主要考察學生運用解析幾何的基本思想分析和解決問題的能力，對數(shù)學運算能力有較高要求。筆者運用了從特殊到一般、先猜再證的方法降低了此題的難度。對于此類圓錐曲線定值定點問題，還可以通過對稱性、特殊值、特殊位置猜想結論并證明。例Q為圓x2y21上一動點，Q在x軸，y軸上的射影分別為A、B，動點P滿足BAAP，記動點P的軌跡曲線為C（1（1）求曲線C的方程；（答案：xy21）4（2）過點(0,3)的直線與曲線C交于M、N兩點，判斷以MN為直徑的圓5過定點(0,1)）對于（2）可假設定點存在。由于直線過點(0,3)，那么由橢圓的5對稱性知，該點在y軸上。(0,3)的直線的直線有兩種特殊位置。一種是與橫5軸平行，一種是與橫軸垂直。本題可從兩種特殊情況入手，先具體的求出定點的坐標，其它一般狀態(tài)下的直線在用分析法去證明。解：（2）假設存在，由題可知，該點在y軸上，設該點為H(0,m)。①當過點(0,3)的直線MN與xl5 MN

:x0MNMN為直徑的圓為x2y21，此時過定點(0,1)。②當過點(0,3)的直線MN斜率為0l

:y3M(8,3),N(8,3)，5 MN 5

5 5 55以MN為直徑的圓為x2(y3)264，故過定點(0,1)。5 25③當直線直線MN斜率存在時，設直線l

:ykx3，M(x,y),N(x,y

)，聯(lián)MN 5 3

1 1 2 2立ykx5得

2 2 24

64 ，由根與系數(shù)得關系可知2xy212

(14k)x

kx 05 251

4x2

24k 5(4k2，由①②可猜測 即為xx

64

H 12

25(4k2即證HM0,又HM(x,yHN(x,y，則1 1 2 28 8 2 8 64HMx2(y2x2(kx15)(kx25)(kx2 k(x1x2)5 2564(k28k

24k

64=0，得證，故H25(4k2

5 5(4k225對于上題，常規(guī)方法應該是使用HM(x,y

m),HN(x,y

m)，1 1 2 22 2 2HMx2

y2

m(

y2

)m2100(m25m30m550，對于任意k25(14k2)

100(m20m1。相對而言，學生在處理對于任30m550意k恒成立這一步困難較大，先猜再證得方法能大大降低運算量。2、坐標變換我們?nèi)匀灰?022年高考全國Ⅰ卷（理科）第20題為例。將x軸向下平移2個單位，則

A(0,0),B(3

B(3，1 2 122 2 2 2設過 的直2)設過 的直

Pl

y2xxy

x(y2) 1 P 11 1

3 4 3 4 1線為xmy1，M(x,y),N(x,y)。1 1 2 2聯(lián)立

xmy1y2)2

12

得(4m2

y2

(8m12)y40，由根與系數(shù)關系可得 y

128m

yy

2 4m23，聯(lián)立 1可得 3

。由 得 。 4

y2x

T( ,)2

MTTH

H(3y1,)y2

4m2332此時HN：yy2y2

(xx)，即yy2

xy

(y2)x23y1

x2

3y1

x2

3y1

x222(2x22

2x)x3即y3y2

x2x31 2 2y2

xHN過定點(0,0)，23y1x2 32

2x1x2

3y1x2故在原系下，直線HN過定點(0,2)。本題出現(xiàn)的條件是過的動直線MNMN的方程是y2k(x，顯然這個式子與橢圓聯(lián)立之后的運算比較復雜，學生望而生畏。當把點放到坐標軸上，即，2)變換后直線MN的方程是xmy1開朗。2 2例年高考全國理科Ⅰ卷20)橢圓C:xy1(ab0)a2 b2P，PP3)P3)中恰有三點在橢圓C上。1 2 3

2 4 2（1（1）求C的方程；（答案：xy21）4（2）設直線l不經(jīng)過P點且與C相交于B兩點。若直線PA與直線PB2 2 2的斜率的和為1，證明:l過定點．證明（2）：將x軸往上平移一個單位，y軸不變，得到新的平面直角 2

2 PP

(0,0)C:x

y21x

(y1)21,在此2 2 4 4系下，設直線l：mxny1，聯(lián)立x2

mxny12

得：x24y28y(mxny)0，4

(y12整理可得：4(2n1)(y)28m(y)10，設直線P2

B的斜率分別為kB的斜率分別為k、k，x由根與系數(shù)關系可得k

xk2m1，則得到2m2n1，故在新系下l1 2 2n12過定點(2,2)，則在原系下直線l恒過定點(2,1)。本題的特征很明顯：出現(xiàn)了斜率的和、兩直線都過同一點P，因22此可以考慮把坐標原點平移到P點，這樣大大簡化了兩直線的斜率表2達式，計算量大大降低。3、極點極線的調(diào)和性用代數(shù)的方法來解決幾何問題是解析幾何的主要任務，本質(zhì)上解析幾何還是幾何問題。許多要進行大量運算得出結論的圓錐曲線定值定點問題，用平面幾何極點極線的調(diào)和性以及仿射變換的知識點去解決，只需要簡單的幾步。因此，我們必須具備一定的知識儲備。本文先簡要介紹42022年高考全國Ⅰ卷（理科）第20題。極點極線代數(shù)定義：圓錐曲線Ax2By2CxDyE0(A2B20)，點P(x,y)，直線l:0 0Axx

Byy

Cxx0Dyy0E0，則點P(x,y)與直線l是此曲線的一對極0 0 2 2 0 0點極線。特別的：2 2①點P(x,y)關于橢圓xy1對應的極線方程為xx0yy01。0 0 a2 b2

a2 b22 2②點P(x,y)關于雙曲線xy1對應的極線方程為xx0yy01。0 0 a2 b2

a2 b2③點P(x,y)關于拋物線y22px對應的極線方程為yy

p(xx)。0 0 0 0極點極線幾何定義：P不在橢圓P引兩條割線依次交橢圓于點E,K,G,H，連接EH,GK交于點N延長EG,KH交于點MMN為點P對應的極線，點P為直線MNMP為點N對應的極線。點列交比、線束交比：如圖，B,C,D四點共線,E,F,G,H四點共線，a,b,c,d四線交于點P，則有如下結論：sin(a,c)d)AC=EGsin(b,c)d)

BC

FG調(diào)和點列：點C和點D分別是線段AB的內(nèi)分點和外分點，若滿足ACBC,則稱B,C,D是一組調(diào)和點列。定理1：如圖，過點P的直線l交橢圓于B，與點P的極線交于點Q，則B,P,Q是調(diào)和點列。定理2：一條線段被它的中點和這直線上的無窮遠點調(diào)和分割。對于以上定義和定理，有興趣的讀者可以自行嘗試證明。我們?nèi)匀灰?022年高考全國Ⅰ卷（理科）第20題為例。AB如圖，l 為AB

xy3 2

1,則點與直線AB是橢圓xy223 422

1的一組極點極線。設點Q是直線AB與直線MN的交點。由定理1可知，P,Q,M,N為一組調(diào)和點列，即得到PMQM。連AN交MT于點I，由點列交比和線束交比得知識可知得：sin(AN,AQ)AM,AP)NQ且

I,T,M以及sin(AQ,AM)AN,AP)

QM這條直線上的無窮遠為一組調(diào)和點列，由定理2知T為HM的中點，那么就有點I與點H重合。故，直線HN比過點。有了這幾個高等幾何的知識點作為鋪墊，很多要求學生有較多的知識儲備。作為學生，可以從極點極線的定入手，理解某些特殊位置和特殊情況的極點極線。極點極線的知識，不僅可以拓寬學生的知識維度，還可以拓展學生的思維，培養(yǎng)學生分析數(shù)學的內(nèi)在關系。例年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科第20B分別為橢圓圓E:x 2y1(a1)的左右頂點，G為EAG8。P為直a2線x6上的一個動點，PA與E的另一個交點為C，PB與E的另一個交點為D。2（1）求Exy21）29（2）證明：直線CD過定點。MM(xM

,0)是AB,CD的交點，Q是AD,BCPQ。M和直線PQPQ：Mx96，故得xM

3。所以直線CD過定點(3,0)。xM 2 2從近幾年的高考題可以看出，許多高考圓錐曲線試題的命制，都但作為一線教師要盡可能多的了解其相關知識。抓住極點極線的時代潮流，了解定值定點問題的底層邏輯，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。4、方法小結定值定點問題是近幾年高考的熱點和難點問題之一，對學生邏輯思維能力和計算能力要求較高。本文以2022年高考全國Ⅰ卷（理科）第20題為載體，總結了定值定點問題的三種常見的處理方法：其一、先猜再證。從特殊入手，得出定值或定點，再用分析法證其二、先坐標變換再運算。在運算過程中常常會運用到齊次化策大大降低運算量。其三、利用極點極線的知識點去解決定值定點問題。正所謂“站往往會一眼看透問題的本質(zhì)。羅增儒教授說過：“數(shù)學學習中真正發(fā)生數(shù)學的地方