代數(shù)余子式階行列式

代數(shù)余子式階行列式行列式如果有兩個(gè)向量<a1,a2>和<b1,b2>，那么這兩個(gè)向量組成的行列式是：看起來只是表示一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算，僅僅計(jì)算了一個(gè)數(shù)值，但是別忘了，行列式是由向量組成的，它一定會(huì)表示向量間的某種關(guān)系。在《線性代數(shù)筆記4——向量3（叉積）》中我們看到，二階行列式表示了二維平面中以兩個(gè)向量為臨邊的平行四邊形的面積；三階行列式表示在三維空間中以三個(gè)向量為臨邊的平行六面體的體積；推廣到n維空間，n階行列式表示在n維空間中圖形的n維體積。實(shí)際上我們無法有效表示出三維以上的空間。對(duì)于物理世界中更多維的空間，絕大多數(shù)人都無法想象，但是數(shù)學(xué)卻可以給出明確的定義。對(duì)于n維空間的行列式，可以表示為：Dn

=|An×n|其中A是一個(gè)n×n的矩陣。行列式是由向量引出的，解釋的也是向量的性質(zhì)，在看到行列式時(shí)一定要在頭腦中映射出向量，實(shí)際上線性代數(shù)的本質(zhì)就是對(duì)向量的研究。行列式的性質(zhì)性質(zhì)0，單位矩陣的行列式為1這個(gè)不解釋。性質(zhì)1，如果Dn=|A|中某行的元素全為0，那么Dn

=0這個(gè)性質(zhì)較為明顯，在多維空間中，行列式表示的是體積，如果其中一個(gè)維度的模為0，那么體積也是0。性質(zhì)2，如果Dn=|A|中某兩行元素對(duì)應(yīng)成比例，那么Dn

=0很多時(shí)候我們都喜歡用實(shí)例推導(dǎo)性質(zhì)，像下邊這樣：或者用代數(shù)形式：但是性質(zhì)應(yīng)當(dāng)由定義推導(dǎo)，然后用計(jì)算去驗(yàn)證，而不是用計(jì)算去推導(dǎo)?，F(xiàn)在我們嘗試用行列式的定義去推導(dǎo)。行列式表示的是向量間的關(guān)系，以二維空間為例，如果某兩行元素對(duì)應(yīng)成比例，那么說明一種一個(gè)向量是另一個(gè)向量的延伸，它們的夾角是0°或180°，即二者平行，兩個(gè)平行的向量圍成的面積是0：性質(zhì)3，如果Dn=|A|中某兩行元素互換，那么互換后的行列式變號(hào)，即|A|=-|A|兩個(gè)向量的模長(zhǎng)是a和b，與x軸的夾角分別是α和β，如下圖所示：平行四邊形的面積：如果兩個(gè)向量互換：在代數(shù)學(xué)中，角度、面積、體積可以是負(fù)的。用計(jì)算去驗(yàn)證：性質(zhì)4，倍乘性質(zhì)實(shí)際上是將外部的k乘到其中的一行，把平行四邊形的一條邊擴(kuò)大k倍，則面積也擴(kuò)大了k倍，如下圖所示：需要注意的是行列式與矩陣的區(qū)別，矩陣擴(kuò)大k倍是將矩陣中的全部元素都乘以k（矩陣中的每個(gè)元素都對(duì)應(yīng)了一個(gè)向量的分量，這在下文關(guān)于矩陣的介紹中會(huì)有所說明），這將有下面的關(guān)系：性質(zhì)5，倍加性質(zhì)對(duì)于更高階的行列式也一樣。下圖平行四邊形的斜邊展示了一個(gè)向量加上另一個(gè)向量的k倍：兩個(gè)平行四邊形的面積是相同的，所以倍加公式成立。性質(zhì)6，單行可拆（加）性其中*號(hào)表元素完全相同，從左到右叫加，從右到左叫拆。以二階行列式為例：為了簡(jiǎn)單，將<b1,b2>和<a1,a2>分別設(shè)置在兩個(gè)坐標(biāo)軸上，如下圖示：<a1,a2><b1,b2>所圍平行四邊形面積是a2

b2，<a1,a2><c1,c2>所圍平行四邊形面積是a2

c2，<a1,a2><b1+c1,b2+c2>所圍平行四邊形面積是a2(b2+c2)，由此可見性質(zhì)6成立。性質(zhì)7，以上所有作用于行的性質(zhì)也可以作用于列上，即|A|=|AT|性質(zhì)8，兩個(gè)矩陣相乘的行列式，等于這個(gè)兩個(gè)矩陣的行列式相乘，|AB|=|A||B|當(dāng)兩個(gè)矩陣相等時(shí)，矩陣平方的行列式等于矩陣行列式的平方：可以借助性質(zhì)8計(jì)算A-1的行列式：如果1/|A|有意義，則|A|≠0，A有逆矩陣；反之，如果|A|=0，A是奇異矩陣。這就是性質(zhì)9。性質(zhì)9，如果|A|=0，A是奇異矩陣。行列式的意義行列式是由向量組成的，當(dāng)Dn

=|A|≠0時(shí)，意味著組成|A|的向量全部獨(dú)立。所謂獨(dú)立，就是向量圍成的n維空間中圖形的n維體積不為0。這似乎沒有太大價(jià)值，但是如果把行列式轉(zhuǎn)換為方程組就意義重大了，以二階行列式為例：可以看到，對(duì)于全部獨(dú)立的向量，方程組有唯一解，否則方程組無解或有無數(shù)解。當(dāng)|A|≠0時(shí)，說明至少有一個(gè)向量是“多余”的，正是這個(gè)多余的向量使得n維體積為0。以階行列式為例，當(dāng)體積為0時(shí)，說明三個(gè)向量在同一平面內(nèi)，這意味著，一定可以通過倍乘和倍加性質(zhì)用另外兩個(gè)向量表示第三個(gè)向量，從而完全消除第三個(gè)向量。N元一次方程組需要N個(gè)完全不同的等式，現(xiàn)在少了一個(gè)等式，所以無法得到唯一解。線性代數(shù)研究的是向量之間的關(guān)系，向量間最重要的關(guān)系就是獨(dú)立或不獨(dú)立，行列式是否等于0正是這種關(guān)系的有效描述。行列式的計(jì)算上三角矩陣的行列式等于主對(duì)角元素的乘積：對(duì)于更多階的行列式，一種有效的計(jì)算方法是先將其消元，轉(zhuǎn)換為上三角行列式，然后在計(jì)算這個(gè)上三角行列式的值。以二階行列式為例，我們已經(jīng)知道它的結(jié)果：利用消元法將A轉(zhuǎn)換為上三角矩陣：現(xiàn)在可以直接利用主對(duì)角線的元素相乘：行列式的公式行列式的性質(zhì)也可以用于計(jì)算行列式的值，以二階行列式為例：在反復(fù)利用行列式的單行可拆性后，A分解成4項(xiàng)，每一行只有一個(gè)非零元素。二階行列式計(jì)計(jì)算的是圖形的面積，對(duì)于α來說，由于構(gòu)成行列式的兩個(gè)向量<a,0>和<c,0>是在同一個(gè)維度上的直線，所以二者圍成的面積是0；同理，δ也一樣。Β是上三角矩陣，它的值是主對(duì)角線的乘積ad。γ可以使用行列式的行互換性質(zhì)形成一個(gè)新的上三角矩陣：最終可以得到|A|的值：這種方法對(duì)于更高階的行列式也同樣適用，三階行列式按照每一行只有一個(gè)非零元素的原則全部展開后將長(zhǎng)達(dá)33項(xiàng)，這將占用長(zhǎng)長(zhǎng)的篇幅，可以考慮一個(gè)能夠縮減展開式的辦法。根據(jù)行列式的幾何意義，行列式計(jì)算的是n維圖形在n維空間中的n維體積，3階行列式計(jì)算的自然是三維空間的體積，如此一來，只有三個(gè)向量分別指向三個(gè)不同維度時(shí)，才能保證體積不等于0，因此三階行列式可以展開成：現(xiàn)在只剩下3!=6項(xiàng)，每一項(xiàng)都可以通過行列式的行交換性質(zhì)變成上三角行列式（或者本身就是上三角行列式），這樣就可以得到行列式的最終值：現(xiàn)在可以歸納出n階行列式的公式：下標(biāo)的數(shù)字項(xiàng)表示行號(hào)，希臘字母表示列號(hào)（實(shí)際數(shù)量可能遠(yuǎn)超過希臘字母的數(shù)量，暫且用希臘字母代替）。這相當(dāng)于是列號(hào)的排列，在每一項(xiàng)中，n個(gè)列標(biāo)都各用一次。負(fù)號(hào)的目的是為了應(yīng)對(duì)行交換的情況。根據(jù)公式，對(duì)于n階單位矩陣來說，只有主對(duì)角線的一項(xiàng)不是0，所以單位矩陣的行列式的值是1。示例

計(jì)算A的行列式：通過消元法計(jì)算是正確的選擇，通常也應(yīng)該這么做，實(shí)際上不難看出這個(gè)A是一個(gè)奇異矩陣，所以它的行列式等于0，現(xiàn)在用行列式的公式來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。根據(jù)公式，|A|的大多數(shù)展開項(xiàng)都等0，沒有被淘汰的只有兩項(xiàng)，二者相加等于0：第一個(gè)行列式是負(fù)值，因?yàn)樗枰?、3行進(jìn)行一次行交換來變成上三角矩陣：代數(shù)余子式代數(shù)余子式是從行列式的公式中提取出來的，它的作用是把n階行列式化簡(jiǎn)為n–1階行列式。我們以三階行列式為例，看看代數(shù)余子式是什么。根據(jù)行列式的公式，3階行列式展開，將得到：這實(shí)際上式選定第一行的一列，然后考慮各種可能的排列，為了突出重點(diǎn)，寫成下面這樣：括號(hào)中由剩余因子組成的表達(dá)式就是代數(shù)余子式（第二項(xiàng)把符號(hào)移到了括號(hào)中，下節(jié)會(huì)說明原因），比如a22a23

–a23a32是a11的代數(shù)余子式。可以用更直觀的方式表達(dá)a11(a22a23

–a23a32)：代數(shù)余子式的符號(hào)-a12(a22a23

–a23a32)可以表示成：注意到上式有一個(gè)負(fù)號(hào)，我們一般不需要-a12的代數(shù)余子式，所以a12的代數(shù)余子式需要把符號(hào)移到括號(hào)中：代數(shù)余子式本身就是行列式，只是它的正負(fù)號(hào)需要單獨(dú)判斷，判斷方法是根據(jù)選定元素行號(hào)和列號(hào)之和的奇偶性。用Cij表示aij的代數(shù)余子式，當(dāng)i+j是偶數(shù)時(shí)，行列式取正號(hào)，是奇數(shù)則取符號(hào)。比如三階行列式中，C12的行列號(hào)之和是3，它對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式取符號(hào)。如果有一個(gè)五階行列式，它的每一項(xiàng)的代數(shù)余子式的符號(hào)是這樣分布的：行列式的代數(shù)余子式展開把某個(gè)行列式的用代數(shù)余子式展開實(shí)際上也是求行列式的另一種方法，可以表示成：代數(shù)余子式本身是n