浙江省嘉興市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題-附答案

嘉興市2022~2023學(xué)年第二學(xué)期期末檢測高一數(shù)學(xué)試題卷本試題卷共6頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.答題前，請務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2.答題時(shí)，請按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位)，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將復(fù)數(shù)化簡為，再求模長即可.【詳解】，則，.故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)運(yùn)算，同時(shí)考查了復(fù)數(shù)的模長公式，屬于簡單題.2.已知向量，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解?故選：C3.如圖，某四邊形的直觀圖是正方形，且，則原四邊形的面積等于（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】求出正方形的面積，根據(jù)直觀圖和原圖形面積之間的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】由題意可知，即，故，所以，則原四邊形的面積為，故選：D4.如圖，在中，，分別在上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列各值中最小的為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為基底，分別表示各個(gè)向量，利用數(shù)量積的運(yùn)算化簡，結(jié)合，比較出最小的值，得出選項(xiàng).【詳解】點(diǎn)為的中點(diǎn)，,分別在上，且，,,選項(xiàng)A，，選項(xiàng)B，，，，選項(xiàng)C，，，，選項(xiàng)D，，，，綜上可知，最小，故選：D5.下列說法中正確的是A.平行于同一直線的兩個(gè)平面平行 B.垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行C.平行于同一平面的兩條直線平行 D.垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行【答案】B【解析】【詳解】平行于同一直線的兩個(gè)平面可以平行、相交，故不正確，垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行正確，平行于同一平面的兩條直線平行錯(cuò)誤，因?yàn)橐部梢韵嘟灰部梢允钱惷嬷本€，垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行錯(cuò)誤，因?yàn)橐部梢韵嘟?，故選B.6.有6本不同的書，其中工具類?人物傳記類和現(xiàn)代文學(xué)類各2本，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2本，則恰好抽到2本不同種類書的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)組合公式運(yùn)算，然后思考抽取對立事件求解，相對來說容易求解；【詳解】從6本不同的書中隨機(jī)抽取2本，抽法有：種，恰好抽到2本恰好為相同種類書有：種，故恰好抽到2本不同種類書的概率為：；故選：B；7.已知在中，，點(diǎn)滿足，且，則面積的最大值為（）A B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，易得，再兩邊平方結(jié)合基本不等式得到，然后利用三角形的面積公式求解.【詳解】解：設(shè)，如圖所示：因?yàn)樵谥?，，點(diǎn)滿足，且，所以，則，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故選：B8.如圖，棱長為3的正方體中，點(diǎn)在線段上且，點(diǎn)分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則空間四邊形周長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把平面與平面展開在同一平面上上，然后利用對稱將空間四邊形各邊長轉(zhuǎn)化到同一直線上，找到最小值即可求解；【詳解】把平面與平面展開在同一平面上上，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，因?yàn)?，且正方體邊長為3，易得為正三角形，由對稱性可得：，所以周長作，可得易得，,故選：C.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.給出下列命題，其中正確的是（）A.若一組數(shù)據(jù)的方差為2，則的方差為3B.給定五個(gè)數(shù)據(jù)，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是4C.若事件與事件是相互獨(dú)立事件，則有D.若事件與事件是對立事件，則有【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)方差公式可求解選項(xiàng)A，利用百分位數(shù)的定義可求解選項(xiàng)B，根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式求解選項(xiàng)C，根據(jù)事件的對立關(guān)系可求解選項(xiàng)D.【詳解】對A，若一組數(shù)據(jù)的方差為2，則的方差為，A錯(cuò)誤；對B，給定五個(gè)數(shù)據(jù)，由小到大排列為，，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第4個(gè)數(shù)為4，B正確；對C，若事件與事件是相互獨(dú)立事件，則有，C正確；對D，若事件與事件是對立事件，則,則有,D正確，故選:BCD.10.在中，，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若的面積，則該三角形為直角三角形D.若為銳角三角形，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解角判斷A；根據(jù)余弦定理求解邊長判斷B；根據(jù)面積公式及余弦定理求出邊長，即可判斷三角形形狀，即可判斷C；根據(jù)正弦定理表示邊長，結(jié)合角范圍，利用正弦函數(shù)求解范圍，即可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)，在中，由正弦定理得，所以，所以或，因?yàn)?，所以，即或符合題意，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由余弦定理得，所以，正確；C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，所以，則，所以，所以該三角形為鈍角三角形，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由正弦定理得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，正確.故選：BD11.如圖，棱長為的正方體中中，下列結(jié)論正確的是（）A.異面直線與所成的角為B.直線與平面所成的角為C.二面角平面角的正切值為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【解析】【分析】由可知異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），由長度關(guān)系可知A正確；由線面角定義可知所求角為，由長度關(guān)系知B錯(cuò)誤；由二面角平面角定義可知所求角為，通過可知C正確；利用割補(bǔ)法可求得，由棱錐體積公式可構(gòu)造方程求得點(diǎn)面距離，知D正確.【詳解】對于A，連接，，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角即為直線與所成角，即（或其補(bǔ)角），，為等邊三角形，，即異面直線與所成角為，A正確；對于B，連接，平面，即為直線與平面所成角，，，，，，即直線與平面所成角不是，B錯(cuò)誤；對于C，連接，交于點(diǎn)，連接，四邊形為正方形，，為中點(diǎn)，，，二面角的平面角為，平面，平面，，又，，，，即二面角的正切值為，C正確；對于D，連接，，，，又，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得：，即點(diǎn)到平面距離為，D正確.故選：ACD.12.在中，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則邊上的中線長B.若，則C.若，則面積的最大值為2D.若，則面積的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算律即可得到邊角關(guān)系，可判斷A、B，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系及余弦定理，結(jié)合基本不等式求解面積最值判斷C，利用余弦定理及面積公式建立面積函數(shù)，利用二次函數(shù)求解最值判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A，設(shè)為中點(diǎn)，則，，所以，解得，正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，所以，即，正確；對于選項(xiàng)C，由于，所以，由余弦定理可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，此時(shí)面積的最大值為3，所以錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，設(shè)，則，由余弦定理，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，正確.故選：ABD三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)實(shí)部為且虛部不為得到方程（不等式）組，解得即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故答案為：14.甲乙兩人下棋，每局甲獲勝的概率均為0.6，且沒有和棋，在三局兩勝制的規(guī)則下（即先勝兩局者獲得最終勝利），則甲獲勝的概率為__________.【答案】##【解析】【分析】分別計(jì)算出甲前兩局贏的概率和前兩局贏一局，第三局贏的概率，然后利用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件求和公式即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，甲獲勝一種是前兩局贏，另一種是前兩局贏一局，第三局贏這兩種情況，故分別計(jì)算這兩種情況的概率，前兩局贏的概率為，前兩局贏一局，第三局贏的概率為，則甲獲勝的概率為，故答案為：0.64815.海倫不僅是古希臘的數(shù)學(xué)家，還是一位優(yōu)秀的測繪工程師，在他的著作《測地術(shù)》中最早出現(xiàn)了已知三邊求三角形面積的公式，即著名的海倫公式（其中），分別為的三個(gè)內(nèi)角所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點(diǎn)，形式很美.已知在中，，則該三角形內(nèi)切圓的半徑為__________.【答案】##【解析】【分析】由及可求出的面積，結(jié)合即可求出.【詳解】，且，，，故答案為：16.如圖，在直角梯形中，，將沿翻折成，使二面角為，則三棱錐外接球的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】外接球的球心為，半徑為為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，由二面角的定義可得為二面角的平面角，所以有，作于，由題意可求得，進(jìn)而可得，即可得答案.【詳解】解：如圖，設(shè)外接球的球心為，半徑為為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，∥，又因?yàn)?，，所以，所?,所以，，所以為二面角的平面角，所以，作于，因?yàn)?，，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋?則平面，所以∥，則有，即，由題意可求得：，設(shè)，由題上式可得：，求得：，從而求得：，故三棱錐外接球表面積為.故答案為：四?解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知平面向量，且.（1）求與的夾角的值；（2）當(dāng)取得最小值時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及向量的夾角公式求解即可；（2）根據(jù)向量模長的公式及數(shù)量積的運(yùn)算律得，然后利用一元二次函數(shù)求解最值.【小問1詳解】由，，可得，又，所以，又，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，，所以，所以的最小值為，此時(shí).18.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，請?jiān)冖伲虎冢贿@兩個(gè)條件中任選一個(gè)，完成下列問題：（1）求角；（2）若，點(diǎn)在的延長線上，且，求的長.注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分.【答案】（1）條件選擇見解析，（2）【解析】【分析】（1）若選①，利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求解即可；若選②，利用正弦定理化邊為角，再利用三角形性質(zhì)和兩角和正弦公式化簡得，從而求解即可；（2）利用余弦定理直接計(jì)算即可.【小問1詳解】若選①，由，可得，由正弦定理可得：，又由余弦定理可得：，又，故；若選②，，即，由正弦定理可得：，可得，即，又，所以，又，故；【小問2詳解】由（1）知及，，所以為正三角形，由，所以，由余弦定理得，所以.19.已知在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若，且平面，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作于，因?yàn)槠矫妫Y(jié)合線面垂直的性質(zhì)可證平面，進(jìn)而可證平面，即即為點(diǎn)到平面的距離，在直角中即可求出結(jié)果；（2）由線面平行的性質(zhì)，可證，由三角形相似可求出比例關(guān)系.小問1詳解】作于，因?yàn)槠矫妫珺C在面ABCD內(nèi)，所以，又因?yàn)?，而，PA、AB在面PAB內(nèi)，所以平面，AH在面PAB內(nèi)，所以，而，BC、PB在面PBC內(nèi)，所以平面，即即為點(diǎn)到平面的距離，在直角中，，所以，故，即點(diǎn)到平面的距離為；【小問2詳解】由題意，平面平面平面平面，所以底面為直角梯形，由，可知，所以.20.1981年，在大連召開的第一屆全國數(shù)學(xué)普及工作會(huì)議上，確定將數(shù)學(xué)競賽作為中國數(shù)學(xué)會(huì)及各省?市?自治區(qū)數(shù)學(xué)會(huì)的一項(xiàng)經(jīng)常性工作，每年10月中旬的第一個(gè)星期日舉行“全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽”，競賽分為一試（滿分120分）和二試（滿分180分），在這項(xiàng)競賽中取得優(yōu)異成績的學(xué)生有資格參加由中國數(shù)學(xué)會(huì)奧林匹克委員會(huì)主辦的“中國數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）暨全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營”（每年11月），已知某地區(qū)有50人參加全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，其取得的一試成績繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)學(xué)生成績的平均數(shù)a和中位數(shù)b的值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）若成績在100分及以上的試卷需要主委會(huì)抽樣進(jìn)行二次審閱，評審員甲根據(jù)上表在此地區(qū)100分以上的試卷中根據(jù)分層抽樣的原則抽取3份進(jìn)行審閱，已知A同學(xué)的成績是105分，E同學(xué)的成績是111分，求這兩位同學(xué)的試卷同時(shí)被抽到的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖所有小長方形的面積和為1求出，可得平均數(shù)、中位數(shù)；（2）由圖求出成績在、的人數(shù)，設(shè)A，B，C，D四位同學(xué)的成績在兩位同學(xué)的成績在，由列舉法可得古典概型概率.【小問1詳解】由上表可知，，解得，平均數(shù)中位數(shù)，由題意可知，，解得，即平均數(shù)，中位數(shù)；【小問2詳解】由圖可知，成績在有人，成績在有人，根據(jù)分層抽樣的原則，成績在抽2份，成績在抽1份，設(shè)A，B，C，D四位同學(xué)的成績在兩位同學(xué)的成績在，根據(jù)分層抽樣的原則有共12個(gè)樣本，符合條件的3個(gè)樣本，所以符合條件的概率為，即兩位同學(xué)的試卷都被抽到的概率為.21.如圖，已知等腰梯形與矩形所在平面互相垂直，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)二面角的大小為與平面所成的角為，若與滿足，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】(1)首先證得平面，然后根據(jù)面面垂直證明定理證明平面平面；(2)分別作出二面角，，以及表示出與平面所成的角，然后結(jié)合條件，求解的長；【小問1詳解】由題意在等腰梯形中，所以，故為等腰三角形，且，所以，所以，同時(shí)求得，又由題意為矩形，所以，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】設(shè)，