基于“函數(shù)主題”教學(xué)的《冪函數(shù)》教學(xué)思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》（以下簡稱“課程標準”）實施建議中明確指出教師“不僅關(guān)注每一節(jié)的教學(xué)目標，更要關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標，明晰這些目標對實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻”。課程標準還提出“整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)和階段性發(fā)展”。貫徹落實新課改的主陣地——課堂教學(xué)是發(fā)展高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在。本文通過對《冪函數(shù)》教學(xué)的思考，與老師們探討如何進行主題教學(xué)，從而啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，凸顯知識間的聯(lián)系。一、問題的提出高中數(shù)學(xué)從知識上看盡管內(nèi)容豐富，但本質(zhì)上是一個互相聯(lián)系的整體，不同知識、不同單元之間都有著實質(zhì)性的聯(lián)系。在高中必修第一冊中，函數(shù)主題是最重要的主題。本文選自人教社2019版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊人教版》第三章第三節(jié)，是函數(shù)的概念性質(zhì)后的第一個基本初等函數(shù)的學(xué)習，既是之前函數(shù)知識的延續(xù)也是后續(xù)學(xué)習的基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用?！吧稀迸c整個學(xué)期教學(xué)目標相連，“下”與課時教學(xué)任務(wù)相接。作為“函數(shù)主題”教學(xué)里的第一個基本初等函數(shù)教學(xué)，對于學(xué)生基本初等函數(shù)知識的整體建構(gòu)起了非常重要的作用。一方面要深度分析函數(shù)性質(zhì)內(nèi)涵，通過具體冪函數(shù)把函數(shù)的性質(zhì)外顯，另一方面要探索基于核心素養(yǎng)的“主題教學(xué)”落實策略，從而探究出如何在課堂上讓核心素養(yǎng)落地、生長和發(fā)展的規(guī)律。二、圍繞“函數(shù)主題”探索教學(xué)策略必修第一冊中“函數(shù)主題”教學(xué)是整冊書的重要主線，應(yīng)積極探索以函數(shù)概念、知識為主題的教學(xué)內(nèi)容、建立函數(shù)思想方法為主題的教學(xué)目標。在這個指導(dǎo)思想下，本文嘗試教學(xué)緊扣知識本質(zhì)、細化教學(xué)目標、恰當探究活動設(shè)置，讓知識在活動探究中生成，讓方法在交流中形成，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)習中滲透并養(yǎng)成。本文嘗試通過課堂教學(xué)實踐逐步形成函數(shù)主題教學(xué)的一般模式：“看—想—說—寫”?！翱础奔磳W(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，“想”即學(xué)用數(shù)學(xué)的思維分析世界，“說、寫”即用數(shù)學(xué)的語言描述世界。通過開展主題教學(xué)，關(guān)注知識背后的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法之間的融會貫通，從而啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進行深度學(xué)習，把握知識之間的邏輯線索，進一步加強學(xué)生在數(shù)學(xué)實踐活動中運用數(shù)學(xué)知識的能力。三、課堂展示1.情境創(chuàng)設(shè)探尋規(guī)律?？陀^世界中有著各種各樣的運動變化現(xiàn)象，例如天宮二號在發(fā)射過程中，離發(fā)射點的距離隨時間的變化而變化；我國高鐵營運歷程逐年增加，已突破2萬公里……。所有這類問題都表現(xiàn)為變量間的對應(yīng)關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，這類關(guān)系常常用函數(shù)模型來描述，并且通過研究函數(shù)模型來把握相關(guān)的運動變化規(guī)律。函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線，是解決數(shù)學(xué)問題的基本工具。本章課本從三個具體實例引發(fā)大家的思考。這三個問題貫穿整個單元的教學(xué)，突出函數(shù)主題核心知識，揭示函數(shù)本質(zhì)規(guī)律，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察。創(chuàng)設(shè)情境引入新課：國慶剛過，我們來一起欣賞一下各地的國慶煙花秀吧！（課件展示）設(shè)計意圖：新課標要求課程內(nèi)容要結(jié)合學(xué)生的年齡特征和學(xué)科特點有機融入社會主義核心價值觀，培養(yǎng)學(xué)生的社會責任感和實踐能力。這就要求數(shù)學(xué)課堂需要挖掘其育人價值，實現(xiàn)課堂“教”“育”。本節(jié)課通過國慶煙花秀的播放，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來觀察世界，觀察分析煙花綻放形成的軌跡，引出函數(shù)圖像性質(zhì)的學(xué)習，同時借此機會培養(yǎng)學(xué)生的愛國熱情，鼓勵學(xué)生將來通過所學(xué)積極投入到祖國需要的各行各業(yè)，為祖國的建設(shè)獻出自己的力量。問題情境探尋規(guī)律：閱讀課本（《2019人教版普通高中教科書》P89）五個問題。思考1：以上問題中函數(shù)的解析式有什么共同特征？能否找到一般形式？設(shè)計意圖：充分利用教材，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)閱讀，并能夠用數(shù)學(xué)的眼光來看問題。同時解決數(shù)學(xué)問題需要通過聯(lián)想，把問題與它相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識進行化簡化歸。由于學(xué)生自主進行類比、聯(lián)想、化歸的能力較弱，因此教師的適當啟發(fā)引導(dǎo)就非常重要。指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本，教師引導(dǎo)幫助學(xué)生更深地認識和把握數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，并學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。通過情境引入，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習積極性，引發(fā)學(xué)生思考，為本節(jié)內(nèi)容做好鋪墊。2.探索新知揭示本質(zhì)。冪函數(shù)定義：閱讀課本P89，并在課本標注出冪函數(shù)概念。形如：y=x（aa∈R），其中x是自變量，a是常數(shù)。設(shè)計意圖：對于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習，學(xué)生常常不重視，沒有深入理解概念本質(zhì)與內(nèi)涵，教師要指導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮課本的價值，課本是標準，同時規(guī)范自己的語言表達和習慣。探究活動一：冪函數(shù)的圖像讓學(xué)生利用所學(xué)過的方法通過小組合作探究的形式，探索冪函數(shù)圖像，最后讓學(xué)生匯報探究成果并展示。思考2：結(jié)合以往學(xué)習經(jīng)驗，如何研究冪函數(shù)？從哪些角度入手？思考3：如何畫出一個函數(shù)的圖像？（分組討論，合作交流）教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)畫圖像，如：定義域、奇偶性；學(xué)生利用所學(xué)知識和方法嘗試作出五個具體冪函數(shù)的圖像，觀察圖像，體會冪函數(shù)圖像的變化規(guī)律。設(shè)計意圖：冪函數(shù)的定義來自于實踐，它是一種基本初等函數(shù)，與接下來要學(xué)習的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣是一種“形式定義”，引導(dǎo)學(xué)生注意概念辨析，并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維來分析。前面已經(jīng)學(xué)習過一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像畫法和性質(zhì)學(xué)習，因此在冪函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習時指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比、聯(lián)想的方法，對后續(xù)學(xué)習其他基本初等函數(shù)的有關(guān)知識有著非常重要的意義。3.小組合作探索本質(zhì)。探究活動二：冪函數(shù)的性質(zhì)思考4：觀察函數(shù)圖象并結(jié)合函數(shù)的解析式，y=x-1，分組討論探究歸納冪函數(shù)的性質(zhì)以及在第一象限的圖象變化規(guī)律，將你們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論討論交流，寫在表格內(nèi)：解析式y(tǒng)=x…y=x-1定義域值域奇偶性單調(diào)性過定點設(shè)計意圖：教師在教學(xué)時，課堂教學(xué)目標中以數(shù)學(xué)知識為載體堅持素養(yǎng)導(dǎo)向，依據(jù)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的要求教師選擇和組織學(xué)習素材，通過創(chuàng)設(shè)情境和任務(wù)驅(qū)動等方式，將學(xué)生分組。分組探究冪函數(shù)的性質(zhì)可以讓學(xué)生在學(xué)習和交流中形成理性思維，在數(shù)學(xué)觀察中學(xué)習，在數(shù)學(xué)交流中成長，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。小組成員各抒己見，通過互相討論相互學(xué)習進而歸納出冪函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維分析問題，從而用數(shù)學(xué)的語言表達問題。4.范例分析應(yīng)用新知。類型一、冪函數(shù)的概念典例1（1）已知冪函數(shù)f（x）=xa的圖像過點（），則式子4a的值為（）（2）已知函數(shù)f（x）=（3-m）x2m-5是冪函數(shù)，則思考5：求解析式的方法有哪些？怎么選擇恰當?shù)姆椒?？設(shè)計意圖：學(xué)生在概念學(xué)習之后，需要時間將概念內(nèi)化，所以在概念教學(xué)中就要求“慢工出細活”，通過概念應(yīng)用，給學(xué)生緩沖的時間，采用啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，用自己的語言進行辨析，幫助學(xué)生內(nèi)化概念，引導(dǎo)學(xué)生鞏固冪函數(shù)的概念，同時幫助學(xué)生建構(gòu)求函數(shù)解析式的一般方法。類型二、冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用典例2（1）如圖的曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限內(nèi)的圖象，已知n分別取四個值，相應(yīng)的曲線C1，C2，C3，C4對應(yīng)n依次為（）思考6：冪函數(shù)圖象在第一象限規(guī)律如何？（在第一象限作直線，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點從下到上順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列）類型三、利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小典例3已知則（）A.b<a<cb.a<b<c<p="">C.b<c<ad.c<a<b<p="">思考7：兩個數(shù)比大小的方法有哪些？設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，形成數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識。學(xué)生在積極探索思考冪函數(shù)圖象性質(zhì)規(guī)律的過程中，培養(yǎng)和滲透數(shù)形結(jié)合思想，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習慣。類型四、函數(shù)圖象的應(yīng)用典例4畫出函數(shù)的圖象，并判斷函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)單調(diào)性。典例5利用圖象判斷方程解的個數(shù)思考8：對未知函數(shù)該如何畫出大致圖象？（描點法？平移法？變換法？……如何選擇適當?shù)姆椒ǎ┰O(shè)計意圖：讓學(xué)生學(xué)會思考，學(xué)會知識的遷移與應(yīng)用。教師指導(dǎo)學(xué)生在函數(shù)單元的學(xué)習中，養(yǎng)成畫圖用圖的良好習慣，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成積極思考的思維習慣，形成數(shù)學(xué)思想方法，不斷總結(jié)提升，并學(xué)會用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達，進而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。通過題型的歸類，為后續(xù)整個函數(shù)單元學(xué)習進行學(xué)法指導(dǎo)。5.歸納小結(jié)、鞏固新知。學(xué)生總結(jié)：從知識上本節(jié)課學(xué)習了冪函數(shù)的概念及五個常見冪函數(shù)；同時學(xué)習了冪函數(shù)圖象及其性質(zhì)，以及簡單應(yīng)用；從數(shù)學(xué)思想方法上本節(jié)課主要有數(shù)形結(jié)合、歸納、類比等。教師補充：本節(jié)課同學(xué)們通過自主學(xué)習、合作交流，探究冪函數(shù)圖象與性質(zhì)應(yīng)用的規(guī)律和方法；通過學(xué)習，提高了探索實踐與合作交流的能力，歸納冪函數(shù)的圖象性質(zhì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)；同學(xué)們積極參與、大膽探索、敢于質(zhì)疑的科學(xué)精神，在今后的學(xué)習生活中都是寶貴的財富。6.課后作業(yè)、學(xué)以致用。必做題：課本習題3.4綜合運用1、3探究題：用你喜歡的形式寫成數(shù)學(xué)小論文，班級交流討論。設(shè)計意圖：通過課本作業(yè)鞏固所學(xué)新知識；通過對新函數(shù)的圖象性質(zhì)的探究與發(fā)現(xiàn)，鞏固學(xué)習方法，培養(yǎng)科學(xué)探索精神。四、課后反思與評價1.關(guān)注學(xué)情，合理設(shè)置學(xué)生活動。我們的課堂希望大部分學(xué)生都能有所收獲，而不是讓課堂成為優(yōu)等生的舞臺。因此適當?shù)靥剿鲗W(xué)生的發(fā)展是有幫助的，讓同學(xué)匯報探究結(jié)果能很好地激發(fā)學(xué)習熱情，但對于學(xué)習能力較弱的同學(xué)可能沒辦法完成，這堂課處理成探究課對學(xué)生的觀察力、總結(jié)能力都有著較高的要求，對一些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來說就顯得有些力不從心，本節(jié)課的探究活動相對比較簡單，學(xué)生通過小組討論積極思考合作探究，讓學(xué)習能力相對弱一些的同學(xué)也能找到成功的體驗，進而提高學(xué)習積極性與學(xué)習效率。2.關(guān)注課堂動態(tài)，及時調(diào)整課堂節(jié)奏。數(shù)學(xué)課堂是個動態(tài)的課堂，我們面對的是不同的學(xué)生，學(xué)生的思想不是一成不變的，因此就要求教師有著良好的應(yīng)變能力，當學(xué)生產(chǎn)生我們意料之外的行為時，要及時處理，同時調(diào)整接下來的步驟，而不能不管不顧仍按部就班。在引入課題前，適當介紹函數(shù)的發(fā)展，這樣設(shè)計可以吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但不能過多渲染，否則會把數(shù)學(xué)課堂變成文學(xué)課堂。小組交流與合作探究是本節(jié)課知識發(fā)現(xiàn)與形成的重要部分，教師用了大量的時間和精力引導(dǎo)學(xué)生進行探究與歸納，冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)是本節(jié)課的重點，也是難點。學(xué)生對冪函數(shù)在第一象限的圖像規(guī)律的得出存在困難，教師通過引導(dǎo)思考，創(chuàng)設(shè)合理探究活動，符合學(xué)生的思維發(fā)展特點，降低了難度。在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)學(xué)生不僅從數(shù)學(xué)知識，還從數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想方面談到了自己的收獲，教師適時點評，可以引出下節(jié)課應(yīng)用知識，同時可以引導(dǎo)學(xué)生思考該如何應(yīng)用所學(xué)知識與方法探索發(fā)現(xiàn)新函數(shù)的圖像性質(zhì)，寫成小論文的形式，是數(shù)學(xué)寫作的嘗試與探索，對培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探索精神有著積極的意義。3.關(guān)注學(xué)生，實現(xiàn)高效課堂。本節(jié)課采用小組合作的教學(xué)模式，探究韻味濃厚。從問題的提出到問題的解決學(xué)生積極參與深度學(xué)習與交流，探究結(jié)果讓學(xué)生上臺暢所欲言，把探究的方法與同學(xué)共享，教師適時的進行分析與總結(jié)。同時注意到課堂不應(yīng)該只是枯燥的學(xué)習和計算，讓學(xué)生進行發(fā)言，一方面，可以提高學(xué)生的語言組織能力，提升學(xué)習數(shù)學(xué)的信心；另一方面，學(xué)生通過發(fā)言和總結(jié)可以進行數(shù)學(xué)方法和解題經(jīng)驗的交流，讓學(xué)生不僅學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看世界，同時學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維來分析時間，更要學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言來表