線段垂直平分線

第13章全等三角形線段垂直平分線線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等.幾何語言：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上∴PA=PBNABPM到一條線段的兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.逆命題你能根據(jù)圖形寫出已知、求證，并進(jìn)行證明嗎？逆定理可以用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn)).定理可以用來證明兩條線段相等（或三角形是等腰三角形）.通過學(xué)習(xí)，你對這兩個定理有什么認(rèn)識?PAB命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等.線段的垂直平分線ABPMNCPA=PB

直線MN⊥AB,垂足為C,

且AC=CB.

已知：如圖，點(diǎn)P在MN上.求證：證明：∵M(jìn)N⊥AB∴∠PCA=∠PCB=90度在ΔPAC和ΔPBC中，

AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC∴PA=PB性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。線段的垂直平分線ABPMNCPA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等幾何語言敘述:∵PC⊥AB

AC=BC∴PA=PB

線段的垂直平分線ABPC性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上?到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.逆命題:幾何語言敘述:∵PA=PB∴PC⊥AB

AC=BC例：已知：如圖，P為線段AB外的一點(diǎn)，且PA=PB。求證，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.FABPEO∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.證明：過點(diǎn)P作直線EF⊥AB，垂足為O，則∠POA＝∠POB＝90°(垂直的定義)。在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA＝PB(已知

)，PO＝PO(公共邊)，∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL).∴AO＝BO(全等三角形的對應(yīng)邊相等).∴EF是線段AB的垂直平分線(線段垂直平分線的定義

).利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線做完之后，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)．這一點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等．

做一做實(shí)際操作，你又能發(fā)現(xiàn)什么？

怎樣證明這個結(jié)論呢?點(diǎn)撥：要證明三條直線相交于一點(diǎn)，只要證明其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上即可ABCP命題:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn).已知：如圖,在△ABC中,AB,BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P,求證：點(diǎn)P也在AC的垂直平分線上證明：連接AP,BP,CP.∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,∴PA=PB同理,PB=PC.∴PA=PC.∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,∴AB,BC,AC的垂直平分線相交于一點(diǎn).定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等。如圖,在△ABC中,∵c,a,b分別是AB,BC,AC的垂直平分線(已知),∴c,a,b相交于一點(diǎn)P,且PA=PB=PC(三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等).ABCPabc數(shù)字符號語言這是一個證明三條直線交于一點(diǎn)的證明根據(jù)。二、逆定理：到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.

線段的垂直平分線一、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上到線段兩個端點(diǎn)距離