2022-2023學(xué)年陜西省西安市周至縣高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年陜西省西安市周至縣高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．方法二：將集合中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．【詳解】方法一：因?yàn)?，而，所以．故選：C．方法二：因?yàn)?，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2．已知是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算可知，即可得其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.【詳解】由可知，，因此其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D3．已知函數(shù)，則（

）A． B．1 C．-1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值即可.【詳解】由條件可得，則.故選：C.4．著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為℃，空氣溫度為℃，則分鐘后物體的溫度（單位：℃，滿足：)若常數(shù)，空氣溫度為℃，某物體的溫度從℃下降到℃，大約需要的時(shí)間為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．39分鐘 B．41分鐘 C．43分鐘 D．45分鐘【答案】B【分析】將已知數(shù)據(jù)代入模型，解之可得答案.【詳解】由題知，，，，，，，.故選：B.5．函數(shù)，此函數(shù)的奇偶性及最大值為（

）A．奇函數(shù)，最大值是 B．偶函數(shù)，最大值是C．奇函數(shù)，最大值是 D．偶函數(shù)，最大值是【答案】D【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的判定和二倍角的余弦公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值即可得到答案.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以該函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取最大值.故選：D.6．函數(shù)在上的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性排除B、D，再取特值排除C.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故B、D錯(cuò)誤；又因?yàn)?，則，故C錯(cuò)誤；故選：A.7．已知是各項(xiàng)不相等的等差數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（

）A．5 B．45 C．55 D．110【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d（），由等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公差，再由等差數(shù)列的求和公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d（），由題意知，，，所以，解得或（舍去），所以，所以.故選：C.8．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，則四棱錐的體積是（

）

A．6 B．9 C．18【答案】A【分析】根據(jù)題意證得平面，得到四棱錐的高為，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】在長(zhǎng)方體中，，連接交于點(diǎn)，可得，又由平面，且面，所以，因?yàn)?，且平面，可得平面，所以四棱錐的高為，所以的體積.故選：A.

9．已知平面向量，滿足，且，則（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求出，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，即，即，所以，.所以，.故選：C.10．圓及圍成的平面陰影部分區(qū)域如圖所示，向正方形中隨機(jī)投入一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用幾何概型的概率公式即可求解.【詳解】圓及分別以和為圓心，半徑都是1.連接，可知陰影部分由分別以為圓心，1為半徑的兩個(gè)四分之一弓形組成，陰影部分的面積為，正方形的面積為，所以質(zhì)點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域的概率為，故選：B.11．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意首先確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，據(jù)此得到關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，求解不等式組即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意可得：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，據(jù)此可得函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，結(jié)合題意可得：，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍的方法等知識(shí)，屬于中等題．12．已知雙曲線C的離心率為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)A在C上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線離心率可得，根據(jù)雙曲線定義推出，利用余弦定理即可求得答案.【詳解】由題意雙曲線C的離心率為，焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)A在C上，故不妨設(shè)為左、右焦點(diǎn)，由可知A在雙曲線右支上，則，故，由于雙曲線C的離心率為，則，即，在中，，故選：B二、填空題13．若x，y滿足約束條件，則的最大值為.【答案】2【分析】先作出可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義分析運(yùn)算.【詳解】作約束條件的可行域，如圖所示.由，解得，令.將目標(biāo)函數(shù)變形為，表示斜率為2，縱截距為的直線，根據(jù)其幾何意義可得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，其縱截距最小，即當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z取到最大值，則的最大值為2.故答案為：2.

14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合與的關(guān)系求解作答.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，即，當(dāng)時(shí)，，即有，當(dāng)時(shí)，，即，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：15．函數(shù)（且，）的部分圖象如圖所示，函數(shù)解析式為.【答案】【分析】由圖象可直接判斷出，計(jì)算周期，從而可得值，代入最小值結(jié)合的范圍計(jì)算值，從而可得函數(shù)解析式.【詳解】由圖象可知，，，得，所以，當(dāng)時(shí)，，得，所以，因?yàn)?，所以，所以函?shù)解析式為.故答案為：16．若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【分析】先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，即，此時(shí)，，所以，即函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意，所以，所以，所以，即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.三、解答題17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間(2)若在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，求面積的最大值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由，求出角，余弦定理求的最大值，面積公式可求面積的最大值．【詳解】（1）因?yàn)?，即，令，，解得，，所以函?shù)的單調(diào)減區(qū)間為，．（2）由得，由，∴，∴．又，由余弦定理得，所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以面積的最大值為．18．習(xí)近平總書記在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上強(qiáng)調(diào)：“回望過往的奮斗路，眺望前方的奮進(jìn)路，必須把黨的歷史學(xué)習(xí)好、總結(jié)好，把黨的成功經(jīng)驗(yàn)傳承好、發(fā)揚(yáng)好.”為慶祝建黨100周年，某市積極開展“青春心向黨，建功新時(shí)代”系列主題活動(dòng).該市某中學(xué)為了解學(xué)生對(duì)黨史的認(rèn)知情況，舉行了一次黨史知識(shí)競(jìng)賽，全校高一和高二共選拔100名學(xué)生參加，其中高一年級(jí)50人，高二年級(jí)50人.并規(guī)定將分?jǐn)?shù)不低于135分的得分者稱為“黨史學(xué)習(xí)之星”，這100名學(xué)生的成績(jī)（滿分為150分）情況如下表所示.獲得“黨史學(xué)習(xí)之星”未獲得“黨史學(xué)習(xí)之星”總計(jì)高一年級(jí)401050高二年級(jí)203050總計(jì)6040100(1)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生獲得“黨史學(xué)習(xí)之星”與年級(jí)有關(guān)？(2)獲得“黨史學(xué)習(xí)之星”的這60名學(xué)生中，按高一和高二年級(jí)采用分層抽樣﹐隨機(jī)抽取了6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人代表學(xué)校參加區(qū)里的黨史知識(shí)競(jìng)賽，求這2人中至少有一人是高二年級(jí)的概率.參考公式：，其中.0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)有的把握認(rèn)為學(xué)生得“黨史學(xué)習(xí)之星”與年級(jí)有關(guān)(2)【分析】（1）計(jì)算，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)；（2）由分層抽樣結(jié)合概率公式求解即可.【詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表代入計(jì)算可得：，所以有的把握認(rèn)為學(xué)生得“黨史學(xué)習(xí)之星”與年級(jí)有關(guān).（2）由題意可知，所抽取的6名學(xué)生高一年級(jí)有4人，記為，，，高二年級(jí)有2人，設(shè)為甲、乙.從這6人中隨機(jī)抽取2人的所有基本事件有，，，{，甲}，{，乙}，，，{，甲}，{，乙}，，{，甲}，{，乙}，{，甲}，{，乙}，{甲，乙}，共15個(gè)，其中至少有一人是高二年級(jí)基本事件有{，甲}，{，甲}，{，甲}，{，甲}，{甲，乙}，{，乙}，{，乙}，{，乙}，{，乙}，共9個(gè).故至少有一人是高二年級(jí)的概率.19．如圖1所示，在長(zhǎng)方形中，，是的中點(diǎn)，將沿折起，使得，如圖2所示，在圖2中．

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在圖1中，連接，根據(jù)勾股定理結(jié)合條件得到，再由線面垂直的判定定理即可證明出平面；（2）在圖2中，作的中點(diǎn)，連接，根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合面面垂直的判定和性質(zhì)得到線段是三棱錐的高，從而求出三棱錐的體積，再由等體積法，即可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）在圖1中，連接，如圖所示：

因?yàn)樵陂L(zhǎng)方形中，，是的中點(diǎn)，所以，則，，又，即，所以，在圖2中，又，，平面，平面，所以平面.（2）在圖2中，作的中點(diǎn)，連接，如圖所示：

因?yàn)?，所以，且，又由?）得：平面，平面，所以平面平面，又平面平面，，平面，所以平面，即線段是三棱錐的高，所以三棱錐的體積，又平面，平面，所以，則的面積，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積，即，解得：，故點(diǎn)到平面的距離為.20．已知點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的焦點(diǎn)，且，求(1)(2)的面積【答案】(1)48(2)24【分析】（1）根據(jù)橢圓定義結(jié)合勾股定理運(yùn)算求解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)果運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓方程為，則，即，可得，因?yàn)?，則即，所以.（2）由（1）得，因?yàn)?，所?

21．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最值.【答案】(1)增區(qū)間、；減區(qū)間(2)，【分析】（1）直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）利用（1）中結(jié)果，確定在區(qū)間上的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由得到或，由得到，所以單調(diào)增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，故又，故.