2024屆山東省齊魯名校高三上學(xué)期第一次（9月）學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat19頁2024屆山東省齊魯名校高三上學(xué)期第一次（9月）學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：D2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可由復(fù)數(shù)幾何意義求解.【詳解】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是，位于第一象限．故選：A3．某商店共有，，三個(gè)品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個(gè)水杯，且甲買的不是品牌，乙買的不是品牌，則這三人買水杯的情況共有（

）A．3種 B．7種 C．12種 D．24種【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得這三人買水杯的情況共有（種）．故選：C4．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若則（

）A．5 B．7 C．9 D．12【答案】A【分析】由代入求解即可.【詳解】由得，，所以．故選：A.5．已知向量，，函數(shù)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為圖象對稱中心的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合輔助角公式化簡，即可由整體法求解對稱中心.【詳解】由題意．令，，所以，，所以圖象的對稱中心為，故函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心可以是．故選：B6．某公司年會的抽獎環(huán)節(jié)準(zhǔn)備了甲、乙、丙、丁四個(gè)封閉的盒子，盒子內(nèi)裝有現(xiàn)金．為活躍氣氛，主持人通過大屏幕給出四個(gè)提示，且只有一個(gè)提示是真的．提示1：四個(gè)盒子中裝的現(xiàn)金不都是3000元；提示2：乙盒子中裝的現(xiàn)金是3000元；提示3：四個(gè)盒子中裝的現(xiàn)金都是3000元；提示4：丁盒子中裝的現(xiàn)金不是5000元，由此可以推斷（

）A．甲盒子中裝的現(xiàn)金是3000元 B．乙盒子中裝的現(xiàn)金是3000元C．丙盒子中裝的現(xiàn)金是3000元 D．丁盒子中裝的現(xiàn)金是5000元【答案】D【分析】根據(jù)提示1和提示3矛盾可判斷提示2和4是假的．進(jìn)而可判斷.【詳解】因?yàn)樘崾?和提示3矛盾，所以提示1和提示3一真一假，因此提示2和4是假的．提示2為假能夠推斷乙盒子中裝的現(xiàn)金不是3000元，故B錯誤；由提示4為假可知，丁盒子中裝的現(xiàn)金是5000元，故D正確；由提示2和提示4為假能判斷提示1正確，提示3錯誤，但無法判斷甲、丙兩個(gè)盒子中裝的現(xiàn)金是多少，故A，C錯誤．故選：D7．已知函數(shù)的極小值為，極小值點(diǎn)為，零點(diǎn)為．若底面半徑為1的圓錐的高，則該圓錐的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出a，b，再求出函數(shù)的零點(diǎn)c，然后利用圓錐表面積公式求解作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此函數(shù)的極小值，極小值點(diǎn)，令，解得，即，于是，圓錐的母線長為，所以該圓錐的表面積為．故選：B8．已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則的離心率為（

）A． B．2C． D．【答案】D【分析】首先寫出直線點(diǎn)斜式方程并求出點(diǎn)，由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可以求出，將其代入雙曲線方程即可求解.【詳解】由題意知直線的方程為，令，得，所以．又因?yàn)椋环猎O(shè)，所以有，解得，所以，將其代入雙曲線方程，化簡得，解得或（舍去），所以的離心率．故選：D.二、多選題9．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊位于第三象限，且與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】先利用三角函數(shù)的定義求出，，，再根據(jù)二倍角公式以及兩角和的正弦公式，求解可判斷.【詳解】由三角函數(shù)定義，得，得．又是第三象限角，，所以，所以，，，故A正確，B錯誤；，故C正確；，則，故D正確．故選：ACD.10．在我們發(fā)布的各類統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，同比和環(huán)比都是反映增長速度的核心數(shù)據(jù)指標(biāo)．如圖是某專業(yè)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的2022年1-12月中國校車銷量走勢圖，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．8月校車銷量的同比增長率與環(huán)比增長率都是全年最高B．1-12月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)小于環(huán)比增長率的平均數(shù)C．1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差D．1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差【答案】BCD【分析】由統(tǒng)計(jì)圖數(shù)據(jù)對選項(xiàng)逐一判斷可得答案.【詳解】2022年8月校車銷量的同比增長率比9月的低，故A錯誤；由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)為負(fù)數(shù)，環(huán)比增長率的平均數(shù)是正數(shù)，故B正確；1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的極差為，同比增長率的極差為，所以環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差，故C正確；由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的波動大于同比增長率的，所以環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差，故D正確．故選：BCD.11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若滿足，的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（

）A． B．為奇函數(shù)C． D．【答案】ACD【分析】對于A由，得，等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，即可得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；對于B由函數(shù)的性質(zhì)可知應(yīng)滿足（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，不是奇函數(shù)；對于C可知，，所以；對于D由對稱性及周期性可知，即可判斷.【詳解】由，得，等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，故的圖象關(guān)于直線對稱，即為偶函數(shù)，則，所以應(yīng)滿足（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，不是奇函數(shù)，故B錯誤；因?yàn)椋?，所以，故C正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，關(guān)于軸對稱，且，所以，，，在一個(gè)周期內(nèi)，，所以，故D正確．故選：ACD12．已知正六棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則（

）A．直線與直線異面B．若是側(cè)棱上的動點(diǎn)，則的最小值為C．直線與平面所成角的正弦值為D．球的表面積為【答案】BD【分析】由直線的位置關(guān)系判斷A，由展開圖求最短距離判斷B，建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量坐標(biāo)運(yùn)算判斷C，根據(jù)對稱性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的連線的中點(diǎn)處,由球的表面積公式判斷D．【詳解】對于A，如圖①，連接，，則，，所以，所以直線與直線共面，故A錯誤；對于B，將平面沿著翻折到與平面共面的位置，得到矩形，如圖②所示．因?yàn)榈酌孢呴L為2，，所以，則的最小值為，故B正確；對于C，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成角為，則，故C錯誤；對于D，如圖③，設(shè)球的半徑為，根據(jù)對稱性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的連線的中點(diǎn)處.,則，所以球的表面積，故D正確．

故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查空間異面直線的判斷，展開求最值問題，線面角的求法以及幾何體的外接問題.對于選項(xiàng)B的關(guān)鍵是將包含線段的兩個(gè)平面展開在同一平面然后由共線時(shí)線段和最小，得出答案；對于外接球問題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特征先確定出球心的位置，從而得出球體的半徑，屬于難題.三、填空題13．已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位數(shù)是，第75百分位數(shù)為，則．【答案】【分析】由中位數(shù)、百分位數(shù)的概念結(jié)合對數(shù)運(yùn)算、冪運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意得，，所以．故答案為：.14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上任意一點(diǎn)，的面積的最大值為，的焦距為2，則雙曲線的實(shí)軸長為．【答案】4【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)即可列方程求解，進(jìn)而可求解.【詳解】由于的面積為，由題意知所以故雙曲線的方程為，則的實(shí)軸長為4．故答案為：4

15．已知的展開式中第4項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，寫出展開式中的一個(gè)有理項(xiàng)．【答案】，，（寫出其中一個(gè)即可）【分析】由題意知，求出，求出展開式的通項(xiàng)，令，求出，代入通項(xiàng)即可得出答案.【詳解】由題意知，所以，整理得，解得或（舍去），所以的展開式的通項(xiàng)為：，，．若為有理項(xiàng)，則，所以，4，8，故展開式中所有的有理項(xiàng)為：，，．故答案為：，，16．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，P為內(nèi)一點(diǎn)．若點(diǎn)P滿足，且，則的最大值為．【答案】【分析】由三角形內(nèi)心的性質(zhì)與半角公式求解【詳解】由，得，即，整理可得，故點(diǎn)P在的平分線上，同理可得點(diǎn)P在的平分線上，所以點(diǎn)P為的內(nèi)心．如圖，延長，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作，，垂足分別為E，F(xiàn)，

設(shè)，，由，得，由D，A，C三點(diǎn)共線得，所以．因?yàn)?，所以，代入得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的最大值為．四、解答題17．已知函數(shù)（，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．

(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，若，，，求．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）由函數(shù)的圖象，求得，再由三角函數(shù)的圖象變換，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）因?yàn)?，求得或，結(jié)合余弦定理和勾股定理，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)的圖象，可得，即，所以，又由最高點(diǎn)是，所以，即，因?yàn)?，所以，可得，所以，將的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．令，所以，故的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）解：因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以，所以或，所以或，?dāng)時(shí)，由余弦定理得，所以；當(dāng)時(shí)，由勾股定理，得，所以．故邊的長為或．18．記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，（2）由錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)的公比為，由，，，成等差數(shù)列，得，．當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以；當(dāng)時(shí)，所以，，則．綜上，或．（2）當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以，所以．綜上，或19．如圖，在三棱錐中，平面，，，是的中點(diǎn)，為上的動點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；(2)平面時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）根據(jù)空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，，利用法向量的夾角求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面．又，平面平面，平面，所以平?又平面，所以．又，是的中點(diǎn)，所以．又，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以．又是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，則，，，，，，所以，，，則平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的法向量為，則即令，得，，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，所以，故平面與平面夾角的余弦值為．

20．研學(xué)旅行作為一種新興的教學(xué)方式，越來越受中學(xué)生的青睞，國家也頒布了一系列政策推進(jìn)研學(xué)旅行發(fā)展．為了解學(xué)生對“暑期研學(xué)旅行”的滿意度，某教育部門對180名初一至高三的中學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查．參與問卷調(diào)查的男女比例為5：4，女生初、高中比例為3：1．(1)完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別是否有關(guān)聯(lián)；性別滿意度合計(jì)滿意不滿意男生80女生50合計(jì)(2)該教育部門采用分層隨機(jī)抽樣的方法從參與問卷調(diào)查的女生中抽取了8名學(xué)生．現(xiàn)從這8名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行座談，設(shè)抽取的女生是初中生的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，認(rèn)為“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別有關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析，3【分析】（1）先求出男，女生抽取的人數(shù)，列出列聯(lián)表，求出，然后對照參照表，從而得出答案.（2）先求出取的初中女生，高中女生的人數(shù)，得出的可能取值，并求出對應(yīng)的概率，得出分布列，然后求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，則列聯(lián)表如下表所示：性別滿意度合計(jì)滿意不滿意男生8020100女生503080合計(jì)13050180零假設(shè)為：“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．（2）抽取的初中女生有（人），高中女生有（人），則的可能取值為2，3，4，，，，所以的分布列為234故21．已知拋物線，為的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且在，兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)與軸垂直時(shí)，．(1)求的方程；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用拋物線過的點(diǎn)求拋物線方程；（2）方法一：利用導(dǎo)函數(shù)求出拋物線的切線方程，再根據(jù)韋達(dá)定理以及三角形的全等關(guān)系證明，方法二：利用導(dǎo)函數(shù)求出拋物線的切線方程，再根據(jù)韋達(dá)定理以及兩點(diǎn)間的距離該公司證明.【詳