2024屆山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期9月月考（總第三次）數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat23頁(yè)2024屆山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期9月月考（總第三次）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足：，其中是虛數(shù)單位，則“”是“在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】將根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,化簡(jiǎn)得.由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)表示,即可判斷.【詳解】因?yàn)橛蓮?fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí),復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,所以是充分條件當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限時(shí),,所以不是必要條件綜上可知,“”是“在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”的充分不必要條件故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),充分必要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.2．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0或1或2 B．1或2 C．0 D．0或1【答案】A【解析】先化簡(jiǎn)集合A，再根據(jù)，得到BA，分和兩種情況討論求解.【詳解】已知，，因?yàn)?，所以BA，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，或，解得或，綜上：實(shí)數(shù)的值為0或1或2故選：A3．10名同學(xué)合影，站成前排4人后排6人，現(xiàn)攝影師要從后排6人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分兩步：1.首先先從后排6人中選2人出來(lái)；2.將這2人與前排4人排列，且前排4人的相對(duì)順序不變，可以看成有6個(gè)位置，先選2個(gè)位置排這2人，其他4人按原順序排列，再由乘法原理計(jì)算即可.【詳解】首先先從后排6人中選2人出來(lái)，共種不同選法，將這2人與前排4人排列，且前排4人的相對(duì)順序不變，可以看成有6個(gè)位置，先選2個(gè)位置排這2人有種不同排法，其余位置按4人原順序排好只有1種排法，由乘法原理，得不同調(diào)整方法的總數(shù)是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查排列與組合的應(yīng)用，涉及到定序排列問(wèn)題，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道中檔題.4．設(shè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，則的值是A． B．C． D．【答案】C【分析】先計(jì)算出的值，由奇函數(shù)的性質(zhì)得到，再由可計(jì)算出的值.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，，，，因此，，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求值，解題時(shí)要充分利用函數(shù)的奇偶性，先從已知的函數(shù)解析式出發(fā)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．在等比數(shù)列中，若，，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】把代入中，用上即可【詳解】解：是等比數(shù)列故選：C【點(diǎn)睛】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求值，基礎(chǔ)題.6．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦的二倍角公式、兩角差的余弦公式與同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】.故選：C7．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足為P，且與雙曲線C的左支交于點(diǎn)Q，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因?yàn)椋琌是的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)．又，到漸近線的距離為，且，得出的余弦值，在中，利用雙曲線的定義和余弦定理列方程求解即可.【詳解】因?yàn)椋琌是的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)．因?yàn)?，所以點(diǎn)到漸近線的距離，又，所以．連接，易知，則由雙曲線的定義可知．在中，由余弦定理，得，整理，得，所以雙曲線的離心率為，故選：B．8．已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)數(shù).函數(shù)滿足，且對(duì)任意的都有，，則下列一定判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)得到函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，得出，，以及，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，∵對(duì)任意的都有，∴，則在上單調(diào)遞增，，，∵，∴，∴，∴，∴關(guān)于對(duì)稱，則，∵在上單調(diào)遞增，∴，即，∴；即成立，故D錯(cuò)誤；∵，，∴，，即，，故A，C均錯(cuò)誤；∵，∴，故B正確；故選：B.【點(diǎn)睛】破解抽象函數(shù)不等問(wèn)題需要構(gòu)建新函數(shù)，常見(jiàn)構(gòu)造形式如下：1.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)；2.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)；3.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)；4.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)；5.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)；二、多選題9．連續(xù)拋擲兩次骰子，“第一次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)小于3”記為事件，“第二次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”記為事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”記為事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”記為事件，則下列敘述中正確的是（）A．與互斥 B．C．與相互獨(dú)立 D．與不相互獨(dú)立【答案】ABC【分析】由已知，根據(jù)題意，分別寫(xiě)出事件A、B、C、D包含的基本事件，并計(jì)算出概率，然后根據(jù)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可做出判斷.【詳解】因?yàn)閽仈S一次骰子，包含個(gè)基本事件，事件表示結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)為、，所以；事件表示第二次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)為、，所以；事件表示結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18種情況，而拋擲兩次骰子共出現(xiàn)種情況，所以；事件表示結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18種情況，而拋擲兩次骰子共出現(xiàn)種情況，所以；對(duì)于A：由上述事件與事件表示的結(jié)果可知，，所以事件與事件互斥且對(duì)立，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，表示兩次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)且第一次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)小于的概率，其中有，，，，，共6種情況，所以，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，，表示兩次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)且第一次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)小于3的概率，其中有，，，，，，共6種情況，所以，所以與相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，而表示兩次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)且第二次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的概率，其中有，，，，，，共6種情況，所以，所以與相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤；故選：ABC10．已知函數(shù)，，使方程有4個(gè)不同的解：分別記為，其中，則下列說(shuō)法正確的是（

）.A． B．C． D．的最小值為14【答案】AC【分析】畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】如圖，時(shí)，方程存在4個(gè)不同根，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，得即，由正弦函數(shù)對(duì)稱性知，，在上單調(diào)遞增，所以；，在上單調(diào)遞減，所以，無(wú)最小值，故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.11．已知：的焦點(diǎn)為，斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則（

）A． B．為線段的中點(diǎn)C． D．【答案】AB【分析】由題意可得直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程得到，．求出的值，過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，得到為線段的中點(diǎn)即得解.【詳解】解：易知，由題意可得直線的方程為．由，消去并整理，得，解得，．由，得，∴．過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，易知，∴，∴．.∵，∴為線段的中點(diǎn)．故選：AB．12．如圖所示，有一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正四面體容器，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．直線與所成的角為B．的周長(zhǎng)最小值為C．如果在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為D．如果在這個(gè)容器中放入4個(gè)完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，由三線合一得到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，求出答案；B選項(xiàng)，把沿著展開(kāi)與平面同一平面內(nèi)，由余弦定理求出的最小值，得到周長(zhǎng)的最小值；C選項(xiàng)，求出正四面體的內(nèi)切球即為小球半徑的最大值；D選項(xiàng)，當(dāng)四個(gè)小球相切且與大正四面體相切時(shí)，小球半徑最大，連接四個(gè)小球的球心，構(gòu)成正四面體，設(shè)出半徑，結(jié)合C選項(xiàng)中結(jié)論得到方程，求出小球半徑的最大值.【詳解】A選項(xiàng)，連接，由于為的中點(diǎn)，

所以⊥，⊥，又，平面，所以直線⊥平面，又平面，所以⊥，故A正確；B選項(xiàng)，把沿著展開(kāi)與平面同一個(gè)平面內(nèi)，連接交于點(diǎn)，則的最小值即為的長(zhǎng)，由于，，

，，所以，故，的周長(zhǎng)最小值為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，要使小球半徑最大，則小球與四個(gè)面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)球心為，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)，則為的中心，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，同理，則，故，設(shè)，故，因?yàn)椤祝?，即，解得，C正確；

D選項(xiàng)，4個(gè)小球分兩層（1個(gè)，3個(gè)）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則4個(gè)小球外切，且小球與三個(gè)平面相切，設(shè)小球半徑為，四個(gè)小球球心連線是棱長(zhǎng)為的正四面體，由C選項(xiàng)可知，其高為，由C選項(xiàng)可知，是正四面體的高，過(guò)點(diǎn)且與平面交于，與平面交于，則，，由C選項(xiàng)可知，正四面體內(nèi)切球的半徑是高的得，如圖正四面體中，，，正四面體高為，解得，D正確.

故選：ACD【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑三、填空題13．已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，，若，則_____．【答案】2；【詳解】試題分析：由可得，即，故填2.【解析】1.向量的運(yùn)算.2.向量的數(shù)量積.14．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，現(xiàn)用一平行于正四棱錐底面的平面去截這個(gè)棱錐，截得棱臺(tái)的上、下底面的面積之比為1：4，若截去的小棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，則此棱臺(tái)的表面積為.【答案】【解析】根據(jù)棱臺(tái)的上、下底面的面積之比為1：4，利用相似比得到棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)之比為1：2，再根據(jù)截去的小棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2和正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，得到棱臺(tái)的底面邊長(zhǎng)和斜高，代入公式求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)槔馀_(tái)的上、下底面的面積之比為1：4，所以棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)之比為1：2，因?yàn)榻厝サ男±忮F的側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為4，又因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為2，即，所以，作，則，，所以此棱臺(tái)的表面積為，故答案為：15．設(shè)，直線與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)兩直線過(guò)定點(diǎn)且互相垂直可確定點(diǎn)軌跡為圓，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相離的圓上的動(dòng)點(diǎn)距離的最小值，可知所求最小值為兩圓圓心距減去兩圓半徑之和，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，恒過(guò)定點(diǎn)，恒過(guò)定點(diǎn)，又，點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，即為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)軌跡為，圓與圓的圓心距，兩圓相離，的最小值是兩圓圓心距減去兩圓半徑之和，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是能夠利用直線過(guò)定點(diǎn)和兩直線互相垂直的位置關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓上的動(dòng)點(diǎn)之間距離最小值的求解問(wèn)題.16．意大利著名畫(huà)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家達(dá)·芬奇在他創(chuàng)作《抱銀貂的女子》時(shí)思考過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的懸鏈線問(wèn)題，連接重慶和湖南的世界第一懸索橋——矮寨大橋就采用了這種方式設(shè)計(jì)．經(jīng)過(guò)計(jì)算，懸鏈線的函數(shù)方程為，并稱其為雙曲余弦函數(shù)．若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．

【答案】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合換元法、正弦型函數(shù)的性質(zhì)、同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，設(shè)是上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，即，因?yàn)?，所以，因此，即，所以函?shù)是偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，若在上恒成立，，又因?yàn)?，，所以在恒成立，令，而由，，故時(shí)，由，，故時(shí)，，所以的取值范圍為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，運(yùn)用換元法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.四、解答題17．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，成等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首項(xiàng)；最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求出可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由，，成等差數(shù)列可得，故，解得，由可得，解得，故，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，故.當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，故.18．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，．(1)求角A的大小；(2)若是銳角三角形，，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和差化積公式轉(zhuǎn)化條件得，進(jìn)而求得解；（2）由題意，由正弦定理結(jié)合得，根據(jù)為銳角三角形求得，即可求得，即可得解.【詳解】（1）由正弦定理得即又所以即又，，即，即又，，即（2）由題意得：，由正弦定理得：，又為銳角三角形，∴，故，∴，∴，從而.所以面積的取值范圍是19．如圖，在直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．(1)若，證明：平面平面；(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）先證明得到面，進(jìn)而證明平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系運(yùn)用解析法計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋云矫妫制矫?，所以．因?yàn)?，且這兩個(gè)角都是銳角，所以，所以，所以．又，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）取的中點(diǎn)O，連接，因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向量的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得令，得．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得令，得．設(shè)二面角的平面角為，則，所以，所以二面角的正弦值為．20．近期世界地震、洪水、森林大火等自然災(zāi)害頻繁出現(xiàn)，緊急避險(xiǎn)知識(shí)越來(lái)越引起人們的重視．某校為考察學(xué)生對(duì)緊急避險(xiǎn)知識(shí)的掌握情況，從全校學(xué)生中選取200名學(xué)生進(jìn)行緊急避險(xiǎn)知識(shí)測(cè)試，其中男生110名，女生90名．所有學(xué)生的測(cè)試成績(jī)都在區(qū)間范圍內(nèi)，由測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)若從頻率分布直方圖中估計(jì)出樣本的平均數(shù)與中位數(shù)相等，求圖中m的值；(2)規(guī)定測(cè)試成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀，已知共有45名男生成績(jī)優(yōu)秀，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷男生和女生的測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀率有差異？性別測(cè)試成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀男生45女生合計(jì)參考公式與數(shù)據(jù)：0.10.050.012.7063.8416.635【答案】(1)；(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析，男生和女生的測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀率沒(méi)有差異.【分析】（1）根據(jù)給定的頻率分布直方圖，估計(jì)平均數(shù)及中位數(shù)即可列式作答.（2）完善列聯(lián)表，求出的觀測(cè)值，并與臨界值表比對(duì)作答.【詳解】（1）依題意，頻率分布直方圖中左起第一個(gè)小矩形的高為：，樣本平均數(shù)的估計(jì)值為：，顯然數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為，落在的頻率為，因此樣本中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，其估計(jì)值為；，則，解得，所以.（2）總的成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)為：，得到列聯(lián)表為：性別測(cè)試成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀男生4565110女生256590合計(jì)70130200于是的觀測(cè)值為，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為男生和女生的測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀率沒(méi)有差異.21．已知橢圓的離心為，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，A為橢圓T的右頂點(diǎn)，直線l的方程為，M，N為直線l上任意兩點(diǎn)，分別為點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，且滿足，連接分別交橢圓T于C，D兩點(diǎn).（1）求橢圓T的方程；（2）求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由橢圓離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，列方程組求解即可.（2）設(shè)，寫(xiě)出直線AM，AN的方程，聯(lián)立直線AM與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，又，進(jìn)而可得，即可得C點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得D點(diǎn)坐標(biāo)，又，可推出，從而可得直線CD恒過(guò)定點(diǎn).【詳解】解：（1）由題意知，，解得，∴橢圓的方程為，（2）證明：設(shè)，則，，由，得，∴，又∵，∴，∴，同理，∵，∴，∴C，D的兩