有限元法考試題

有限元分析考試試題一、問(wèn)答題1、簡(jiǎn)述平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題的區(qū)別，并寫出平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題的平衡方程、幾何方程及物理方程。答：平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題的區(qū)別：平面應(yīng)力問(wèn)題是指很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面并且不沿厚度變化。而平面應(yīng)變問(wèn)題是指很長(zhǎng)的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長(zhǎng)度變化的面力，同時(shí)體力也平行于橫截面并且不沿長(zhǎng)度變化。平面應(yīng)力問(wèn)題的平衡方程：b=0T=C=0￡。0平面應(yīng)力問(wèn)題的幾何方程：親dv—>竺+空dydx平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程：r\￡x1一1*0一r、bx\￡￡y1xy)卜=一一四01002(1+R)1b\TyIxy)平面應(yīng)變問(wèn)題的平衡方程：T=T=0b。0￡=0平面應(yīng)變問(wèn)題的幾何方程:{￡}={￡}=8X:」」xydx8vdu8v

—+—

dydx平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程:bx E(1bx E(1-^)b>= y (1+日)(1-2日)Txy1日1—日0日1—日10001—2目

2(1—R)8x58C88txy)2、以三節(jié)點(diǎn)三角形單元為例，簡(jiǎn)述用虛功原理求解三角形單元?jiǎng)偠染仃嚨木唧w步驟。答：(1)設(shè)定位移函數(shù)；利用幾何方程由位移函數(shù)求應(yīng)變；利用廣義虎克定律求出單元應(yīng)力方程；⑷由虛功原理求單元?jiǎng)偠染仃?。二、?jì)算題1、正方形板如圖1所示，邊長(zhǎng)為a，厚度為t，彈性模量為E，泊松比為0.15，節(jié)點(diǎn)1作用集中力F，節(jié)點(diǎn)2、3、4固定，若采用圖示坐標(biāo)系統(tǒng)和單元節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)，求各節(jié)點(diǎn)位移和應(yīng)力。圖1解：?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)編號(hào)如下:單元節(jié)點(diǎn)號(hào)ijm11342421單元1的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為：i(0,a);j(0,0);m(a,0)a=0,a=a2,a=0;b=0,b=-a,b=a;c=a,c=-a,c=0i j m i j m i j m由此可計(jì)算出單元!的剛度矩陣火]A衛(wèi)0- - 0 一2、2 2 20 1或 T旦0I-旦 3—旦 1+^ 1 1—旦c H 1[k"W^ 2 2 2 2 -2(1-旦2) 1—旦 1+旦 3—旦 1—旦— -1 -H—2 22 20 * -1 或1 0衛(wèi)0-?- 0 1zh_2 2 2 2 _單元B的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為：i(0,a)；j(0,0)；m(a,0)a=a2,a=-a2,a=a2;b=0,b=a,b=-a;c=-a,c=a,c=0i j m i j m i j m由此可計(jì)算出單元A的剛度矩陣[KI1—|LX01—h— 1—h— 01—H222201-H-1H01-日—H3—H1+H—11-H[k2—2222(1-日2)1-日-11+h3—H—H1-H22220-H-1-H1001—H— 1—H— 0L2222J由A、B單元的剛度矩陣可寫出整體剛度矩陣[K]

3-目0-1日-1日-10日+1222203-目日-1日-1-曰-1日+102222-1日-13-四日+100日-1-曰2222-四日-1日+13-四00日-1-12222日-1-100日+13-四-P日-12222日-1-100日+13-四日-122220日+1日-1日-1-1小3-四02222日+10-P-1日-1日-103-四[K]=點(diǎn)3—日2000000003—日2000000001000000001000000001000000001000000001000000001采用主對(duì)角線元素為〃1〃的方法Et2（1-日2）「"]1「0-VP1000—0000000_0__0_nui=0,V14（1—四2）P

（3-^）Et32四0-1-P日-12日-120日+1203-四2日-12日-12-P-1日+120-1日-123-四2日+1200日-12-PEt-四日-12日+123-四200日-12-12（1-日2）2-100日+123-四2日-12岬-100日+123-四2日-120日+1日-1日-1-1-P3-四0「"]1「0一V100PRR*R=2y0R03*R0Ry04*RL2y」將"，V帶入上式可求的各支座的約束反力IIR_P(p—1)R_P(p—1).R2x3—p，2j 3—p，3x單元內(nèi)應(yīng)力=[S]{5}eJLX—3JLX—3氏]-E2(1—p2)Abipbi1—|LX——c2ipcicinb2ibjpbj1—p cpcjcjnb2jbmpbm1—p~Tpcmcmnb2m代A、B單元的相關(guān)參數(shù)計(jì)算其單元內(nèi)應(yīng)力單元A=單元A=4pP

(3—p)ta4P(3—p)ta0} 單元B=cib卜JIXJJ002P(p—1)

(3—p)ta2、如圖2（a）所示為正方形薄板，其板厚度為t，四邊受到均勻荷載的作用，荷載集度為1N/m2，同時(shí)在J方向相應(yīng)的兩頂點(diǎn)處分別承受大小為2N/m且沿板厚度方向均勻分布的荷載作用。設(shè)薄板材料的彈性模量為E，泊松比v-0。試求（1） 利用對(duì)稱性，取圖（b）所示1/4結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，并將其劃分為4個(gè)面積大小相等、形狀相同的直角三角形單元。給出可供有限元分析的計(jì)算模型（即根據(jù)對(duì)稱性條件，在圖（b）中添加適當(dāng)?shù)募s束和荷載，并進(jìn)行單元編號(hào)和結(jié)點(diǎn)編號(hào)）。（2） 設(shè)單元結(jié)點(diǎn)的局部編號(hào)分別為匚j、m，為使每個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嘖。相同，試在圖（b）中正確標(biāo)出每個(gè)單元的合理局部編號(hào)；并求單元?jiǎng)偠染仃嘖eO（3） 計(jì)算等效結(jié)點(diǎn)荷載。（4） 應(yīng)用適當(dāng)?shù)奈灰萍s束之后，給出可供求解的整體平衡方程（不需要求解）。2、解:⑴2m 2m(a)7XX、1N/m2〔m ''、m海、5m1N/m124WT③