函數(shù)型數(shù)據(jù)在經(jīng)濟管理中的應(yīng)用

函數(shù)型數(shù)據(jù)在經(jīng)濟管理中的應(yīng)用

一、函數(shù)型數(shù)據(jù)處理的應(yīng)用現(xiàn)狀所謂多指標綜合評價，是指對以多屬性結(jié)構(gòu)描述的對象系統(tǒng)進行全面、整體評估的系統(tǒng)。其基本思想是:建立多個評價指標,并確定與該指標體系相對應(yīng)的權(quán)重系數(shù),將多個指標轉(zhuǎn)化為一個能夠反映綜合情況的指標來對有限的被評價對象(或系統(tǒng))的運行狀況進行排序或分類的問題。傳統(tǒng)的評價方法雖然有著自身顯著的優(yōu)點,但所處理的數(shù)據(jù)主要是橫截面數(shù)據(jù)和時間序列數(shù)據(jù)。隨著時間的發(fā)展和數(shù)據(jù)的積累,人們開始擁有橫截面數(shù)據(jù)與時間序列數(shù)據(jù)融合在一起的數(shù)據(jù),它具有函數(shù)的特性,稱為函數(shù)型數(shù)據(jù)。函數(shù)型數(shù)據(jù)最早出現(xiàn)在加拿大統(tǒng)計學家Ramsay(1982)的文章“WhenTheDataAreFunctions”中,而真正對函數(shù)型數(shù)據(jù)分析(FunctionalDataAnalysis,簡稱FDA)的理論研究始于1991年RamsayandDalzell發(fā)表的文章“SomeToolsforFunctionalDataAnalysis”。隨著FDA思想的深入,FDA逐漸成為近20年來的研究熱點,期間涌現(xiàn)出大量的相關(guān)理論和經(jīng)驗分析文章。一些較有影響的專著如《FunctionalDataAnalysis》、《AppliedFunctionalDataAnalysis:MethodsAndCaseStudies》等,應(yīng)用領(lǐng)域也不斷擴大。與國外相比,國內(nèi)學術(shù)界對FDA的研究則剛剛起步,理論上以對已有方法的介紹為主,但應(yīng)用方面已取得不少的研究成果。嚴明義將函數(shù)型數(shù)據(jù)主成分分析用于生活質(zhì)量的動態(tài)評價,同時將函數(shù)型數(shù)據(jù)方差分析用于生活質(zhì)量的差異分析。據(jù)筆者所知,這也是唯一將函數(shù)型數(shù)據(jù)分析用于綜合評價問題研究的文獻,但該文沒有對函數(shù)型數(shù)據(jù)綜合評價問題進行系統(tǒng)的研究。現(xiàn)實生活中,隨著時間的推移和數(shù)據(jù)的積累,被評價對象(或系統(tǒng))的每1個評價指標在1段時間區(qū)間內(nèi)可以獲得函數(shù)型數(shù)據(jù),當我們對多個被評價對象(或系統(tǒng))進行多指標綜合評價時,可形成1個立體的多指標函數(shù)型數(shù)據(jù)表(表1)。本文針對由函數(shù)型數(shù)據(jù)表支持的綜合評價問題的特殊性,提出了1種新的確定權(quán)重系數(shù)的“全局”拉開檔次法,并將該方法與傳統(tǒng)方法進行比較。二、衡量函數(shù)的機械化Ramsay、Dalzell指出函數(shù)型數(shù)據(jù)分析(FDA)是對函數(shù)型數(shù)據(jù)收集的統(tǒng)計技術(shù)。與傳統(tǒng)統(tǒng)計學的數(shù)據(jù)單元為數(shù)或向量相區(qū)別,FDA的數(shù)據(jù)單元為曲線或圖像。本文主要討論基于曲線形式的FDA。FDA的第一步從函數(shù)型數(shù)據(jù)的光滑開始,因為實際中我們遇到的函數(shù)型數(shù)據(jù)是離散化的取樣。統(tǒng)計中很多光滑技術(shù)可以使用,這里我們選用B樣條基函數(shù)作為代表。令{ue788k}為取自Hilbert空間L2的1組基函數(shù),則存在唯一1組系數(shù)向量cT=(c1,c2,…)∈l2,使得:這里L2為二次可積函數(shù)空間,l2為與之對應(yīng)的序列空間。{x(t),t∈T}為定義于T上的隨機過程,于是觀測曲線可以看作隨機過程的1個實現(xiàn)。實際中,x(t)只看作是有限時間區(qū)間上的觀測,所以:這里{φk}kK=1為1組基函數(shù),{ck}kK=1為對應(yīng)的1組系數(shù),本文假定使用的基函數(shù)φk為B樣條基函數(shù),ck為與之對應(yīng)的系數(shù)。常用的基函數(shù)還有多項式基、指數(shù)基、小波基等。不同指標下的函數(shù)型數(shù)據(jù)可以根據(jù)需要采用不同的基函數(shù)和基的個數(shù)K。為了簡化過程,這里我們假定所有指標的樣本都使用相同的基函數(shù)和相同的參數(shù)K。接下來的一步就是通過基函數(shù)展開去估計最近似的系數(shù)。估計時通常采用最小二乘法,即最小化如下的平方和:這里xiT=(xi(t1),…,xi(tJ)),解最小化問題(3)得或采用最小化懲罰殘差平方和:其中,PENim(t)為粗糙懲罰項,用來衡量函數(shù){xi(t),t∈T}的平滑程度;m為導(dǎo)數(shù)的階數(shù),通常取2;λ為平滑參數(shù),權(quán)衡估計的精度與平滑程度,在基函數(shù)的框架下,例如B樣條基,λ為1個參數(shù)向量,其元素分別為:B樣條基的節(jié)點數(shù)與平滑參數(shù)。我們可以通過留一交叉驗證(LeaveOneOutGeneralizedCross-ValidationLOO—GCV)法則選擇:或留一廣義交叉驗證(LeaveOneOutCrossValidationLOO—CV)法則選擇:其中,yi表示第i個評價系統(tǒng)實際的離散觀測值,yi^表示第i個評價系統(tǒng)的真實指標函數(shù)的估計值,Sφ,λ=ΦM(λ)-1ΦΤW,W為加權(quán)矩陣用于處理殘差項協(xié)方差矩陣的各種可能結(jié)構(gòu),為K×K階粗糙懲罰矩陣。本文的指標函數(shù)均采用留一廣義交叉驗證法。三、函數(shù)型數(shù)據(jù)綜合評價設(shè)有n個被評價對象(或系統(tǒng))s1,s2,…,sn,m個評價指標X1~(t),X2~(t),…,Xm~(t~),且在~時間區(qū)間T=[t1,tJ]獲得函數(shù)型數(shù)據(jù)xi1(t),xi2(t),…,x~im(t),i=1,2,…,n,它們均為時間t的函數(shù)。當我們對n個被評價對象(或系統(tǒng))進行評價時,可形成如數(shù)據(jù)表1。定義1:由多指標函數(shù)型數(shù)據(jù)表支持的綜合評價問題,稱為函數(shù)型數(shù)據(jù)綜合評價(1),一般表現(xiàn)形式為:yi(t)為si在時間區(qū)間T內(nèi)的綜合評價函數(shù),當T為離散點的集合時,即為動態(tài)綜合評價,當T退化為1點時,即為靜態(tài)綜合評價。對于函數(shù)型數(shù)據(jù){x~ij(t)}(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;t∈T=[t1,tJ]),由于實際中我們觀察到的數(shù)據(jù)往往是離散的觀測點,因此在進行函數(shù)型數(shù)據(jù)分析之前,需要對其進行預(yù)處理。首先要對觀測數(shù)據(jù)進行平滑,將離散的觀測數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)。通過基函數(shù)的形式來構(gòu)建函數(shù),設(shè)x~ij(t)=cijΤφj(t),這里cijΤ=(c1ij,c2ij,…,cKjij),φj(t)為Kj維基函數(shù)列向量。假定離散的數(shù)據(jù)函數(shù)化之前,經(jīng)過一致無量綱化處理,且評價指標的離散數(shù)據(jù)均是極大型指標。四、sn的sn—函數(shù)型數(shù)據(jù)下指標權(quán)重的求法綜合評價的核心是評價指標在不同時刻權(quán)重系數(shù)的確定問題。如何充分合理地利用表1中的多指標函數(shù)型數(shù)據(jù)表的信息去確定權(quán)數(shù),進而對評價對象(系統(tǒng))s1,s2,…,sn在時間區(qū)間T=[t1,tJ]的發(fā)展情況進行客觀的評價或排序,是我們研究的主要問題。(一)拉開檔次法tn評價中的權(quán)數(shù)確定方法有很多,其中拉開檔次法是1種非常有效的客觀、科學的方法,郭亞軍對該方法做了深入的研究。該方法確定權(quán)數(shù)的原則是盡可能地體現(xiàn)傳統(tǒng)的靜態(tài)綜合評價中多個評價對象(系統(tǒng))在1個點上的差異。該差異大小由來刻畫,yi表示第i(i=1,2,…,n)個評價對象(系統(tǒng))在該時間點的評價值,y-表示n個評價對象(系統(tǒng))的評價值的均值。σ2越大,則n個評價對象(系統(tǒng))之間的差異越大,當σ2取值最大時得到的權(quán)數(shù)值便可以作為n個評價對象(系統(tǒng))在該時間點的權(quán)數(shù),該權(quán)數(shù)確定方法被稱為拉開檔次法。隨著時間的推移和數(shù)據(jù)的積累,人們開始擁有大量的按時間順序排列的平面數(shù)據(jù)表序列,稱為“時序立體數(shù)據(jù)表”。由時序立體數(shù)據(jù)表支持的綜合評價問題,在不同的時點上研究對象(系統(tǒng))具有不同的性質(zhì)(參數(shù)值是動態(tài)的),定義這類評價問題為動態(tài)綜合評價問題。郭亞軍在“拉開檔次法”的基礎(chǔ)上提出了“‘縱橫向’拉開檔次法”確定權(quán)數(shù)。權(quán)數(shù)的確定原則為在時序立體數(shù)據(jù)表上最大可能地體現(xiàn)出各被評價對象之間的差異,該差異大小由s1,s2,…,sn在時序立體數(shù)據(jù)表{xij(tk)}上的整體差異決定,故用yi(tk)的總離差平方和來刻畫,yi(tk)=ω1xi1(tk)+ω2xi2(tk)+…+ωmxim(tk),i=1,2,…,n;k=1,2,…,N表示第i個評價對象(系統(tǒng))在時刻tk的綜合評價函數(shù),該方法直接利用了“時序立體數(shù)據(jù)表”進行了動態(tài)評價。σ2越大,則n個評價對象(系統(tǒng))之間的整體差異越大,當σ2取值最大時得到的權(quán)數(shù)值便可以作為n個評價對象(系統(tǒng))在該時間段t1,t2,…,tN的權(quán)數(shù),該權(quán)數(shù)確定方法被稱為“縱橫向”拉開檔次法。拉開檔次法是針對靜態(tài)綜合評價問題提出的1種確定權(quán)數(shù)方法,“縱橫向”拉開檔次法是針對動態(tài)綜合評價問題提出的1種權(quán)數(shù)確定方法。對于函數(shù)型數(shù)據(jù)綜合評價問題,需要發(fā)展新的方法確定權(quán)數(shù),本文在“縱橫向”拉開檔次法的基礎(chǔ)上提出新的確定權(quán)數(shù)的方法——“全局”拉開檔次法。(二)基于函數(shù)型數(shù)據(jù)表的全局拉開式算法對于本文提出的由多指標函數(shù)型數(shù)據(jù)表支持的函數(shù)型數(shù)據(jù)綜合評價,取綜合評價函數(shù)為:由于函數(shù)型數(shù)據(jù)綜合評價問題的核心仍舊是確定W=(ω1,ω2,…,ωm)Τ的大小,其確定原則類似于“縱橫向”拉開檔次法,此時應(yīng)基于函數(shù)型數(shù)據(jù)表的整體盡可能地體現(xiàn)評價對象(系統(tǒng))之間的差異,該差異大小由s1,s2,…,sn在函數(shù)型數(shù)據(jù)表{x~ij(t)}上的整體差異所決定。針對函數(shù)型數(shù)據(jù)表的特點,該差異大小由各評價函數(shù)yi(t)(i=1,2,…,n)的總離差平方和來刻畫。由于原始數(shù)據(jù)需要進行標準化處理,則有這里H(t)=X(t)ΤX(t),矩陣函數(shù)由于所有指標的所有樣本可以使用不相同的基函數(shù)和不相同的平滑參數(shù)λ(1)。為了使算法過程簡單,本文采取所有指標的所有樣本使用相同的基函數(shù)和不相同的平滑參數(shù)λ的原則。由粗糙懲罰方式構(gòu)建的多指標函數(shù)型數(shù)據(jù)表在基函數(shù)下的具體表示形式為:表示第j個指標函數(shù),φj(t)為第j個指標函數(shù)所基于的Kj維基函數(shù)列向量,j=1,2,…,m。這里CΤ為階復(fù)合系數(shù)矩陣,Kj,j=1,2,…,m為各指標函數(shù)下的基函數(shù)φj(t)包含的基函數(shù)個數(shù),Φ(t)為階復(fù)合矩陣基函數(shù)。從式(11)可得,當所有指標的所有樣本使用相同的基函數(shù)和不相同的平滑參數(shù)λ時,K1=K2=…=Km=K,φ1(t)=φ2(t)=…=φm(t)=φ(t)。故基于函數(shù)型數(shù)據(jù)表下,當函數(shù)型數(shù)據(jù)標準化后,評價對象(系統(tǒng))yi(t)的總離差平方和為:定理:取W為對稱矩陣H的最大特征值所對應(yīng)的特征向量時,σ2取最大值。值得注意的是:如果所求的W中的某個分量是負的(習慣上希望權(quán)數(shù)為正值),那么只能降低評價系統(tǒng)之間的整體差異為代價,將W由下面的線性規(guī)劃問題解出,具體形式如下:本文根據(jù)函數(shù)型數(shù)據(jù)表的特點,利用各評價函數(shù)y的總離差平方和的大小來刻畫n個評價對象(系統(tǒng))之間的整體差異大小。σ2越大,則n個評價對象(系統(tǒng))之間的整體差異越大;當W為對稱矩陣H的最大特征值所對應(yīng)的特征向量時,σ2取最大值。此時的W便是“全局拉開檔次法”中所求權(quán)數(shù),它體現(xiàn)了從函數(shù)型數(shù)據(jù)表的“全局”出發(fā),去確定將被評價對象(系統(tǒng))從1段時間區(qū)間拉開檔次的指標權(quán)數(shù)的思想?！叭帧崩_檔次法的具體步驟為:(1)將指標數(shù)據(jù)進行無量綱化處理,這里采用標準化方法;(2)將標準化后的數(shù)據(jù)進行擬合,利用留一廣義交叉驗證(LOO-GCV)方法將評價對象的幾個指標函數(shù)分別進行基函數(shù)表示;(4)求出H的最大特征值所對應(yīng)的特征向量,即為我們要求的權(quán)數(shù)W;若W有分量為負值,則轉(zhuǎn)為(5);(5)求出基于優(yōu)化問題式(14)下的W,將其歸一化后即是權(quán)數(shù)W,這里范數(shù)‖·‖可以取p階(pue0242)的范數(shù)。五、指標權(quán)重的確定小商品市場景氣指數(shù)是用來綜合反映義烏小商品市場規(guī)模、效益、信心、人氣等繁榮、活躍程度的指數(shù)。它是按多指標綜合評價理論,對市場規(guī)模指數(shù)、市場效益指數(shù)和市場信心指數(shù)加權(quán)合成的綜合評價指數(shù)。景氣指數(shù)的基點為1000,規(guī)模指數(shù)上升,表明市場進一步發(fā)展;效益指數(shù)上升,表明商品經(jīng)濟效益增長;信心指數(shù)上升,表明市場經(jīng)營戶信心增強;景氣指數(shù)上升,則表明市場更加繁榮。1日用品、s2服裝服飾類、s3工藝品類和s4電子電器類)的市場規(guī)模指數(shù)、市場效益指數(shù)和市場信心指數(shù)數(shù)據(jù)。其中4類商品作為我們的評價對象,市場規(guī)模指數(shù)、市場效益指數(shù)和市場信心指數(shù)作為該評價對象共同的指標,它們都是極大型指標。該指標體系中的指標在2006年9月至2012年1月期間,函數(shù)性很明顯,可以將指標作為函數(shù)去處理。為了比較四類商品的景氣指數(shù),需要對該指標體系進行賦權(quán),而景氣指數(shù)的分項指標權(quán)重采用專家賦權(quán)法確定(蔣劍輝、蘇為華,2007),所以該權(quán)重在一段時間相對穩(wěn)定,也符合本文提出的“全局”拉開檔次法中的權(quán)數(shù)特點。按照上述方法所提供的步驟,通過Matlab編程后得到矩陣如下:將H代入式(14),得到:將其歸一化得:即為要求的權(quán)重。將其代入評價模型yi(tk)=ω1xi1(tk)+ω2xi2(tk)+…+ωmxim(tk)得到評價函數(shù):這里xi1(t)、xi2(t)、xi3(t),i=1,2,3,4分別表示第i類商品的規(guī)模指數(shù)函數(shù)、效益指數(shù)函數(shù)和市場信心指數(shù)函數(shù)。i=1時,表示日用品類商品;i=2時,表示服裝服飾類商品;i=3時,表示工藝品類;i=4時,表示電子電器類商品。評價函數(shù)結(jié)果,見圖1。本文研究的函數(shù)型數(shù)據(jù)下的綜合評價,最終評價結(jié)果為1個函數(shù)形式。在T=[t1,tJ]內(nèi),不同的時間段對于總的評價函數(shù)的“重要性”往往是不同的,比如最簡單的分法:過去和現(xiàn)在。實際中我們往往更加重視現(xiàn)在的評價結(jié)果,所以該時間段的權(quán)數(shù)取得相對大些,而過去的權(quán)數(shù)相對小些。一般假設(shè)根據(jù)需要將[t1,tJ]分成不同的時間段,不妨設(shè)為N段,每一段的權(quán)重為的排序也可以由[t1,tJ]內(nèi)的加權(quán)平均數(shù)來確定,具體形式如下:為[t1,tJ]時間段的平均值。從圖1可以看出四個評價函數(shù)是相交形式,為簡單起見,本文取:表示評價對象si(i=1,2,3,4)在T時間段的平均景氣程度,作為評價標準。同樣利用Matlab編程得到如下結(jié)果:所以最終評價結(jié)果為:s2>s3>s4>s1(s1日用品、s2服裝服飾類、s3工藝品類和s4電子電器類),即服裝服飾類的平均景氣程度超過其他3類商品。六、被評價對象系統(tǒng)內(nèi)的多元函數(shù)假定實際中有如下時序立體數(shù)據(jù)表,為了節(jié)約篇幅,這里略去算例的背景。將上述數(shù)據(jù)進行指標類型一致化、無量綱的標準化處理后,代入函數(shù)型綜合評價模型中得到對稱矩陣后,將H代入式(14):得到歸一化的權(quán)重系數(shù)向量為:ω=(0.2527,0.2524,0.2526,0.2423)T,即為要求的權(quán)重。將權(quán)數(shù)代入評價模型yi(t)=ω1xi1(t)+ω2xi2+ω3xi3(t)+ω4xi4(t),i=1,2,3,4得到評價函數(shù)形式如圖2。評價函數(shù)y1(t)在t1,t2,t3,t4四個時刻的評價取值分別為:-0.9108、-1.3195、-0.5728、0.2275;t2(t)在y1,t2,t3,t4四個時刻的評價取值分別為:-0.4676、-0.7704、-0.2821、0.6270;y3(t)在t1,t2,t3,t4四個時刻的評價取值分別為:0.1582、-0.1092、0.4916、0.9266;y4(t)在t1,t2,t3,t4四個時刻的評價取值分別為:0.5025、0.2036、0.8014、1.3994;y5(t)在t1,t2,t3,t4四個時刻的評價取值分別為:0.5739、0.2097、0.7352、1.7713。從最大限度地體現(xiàn)出各被評價對象(系統(tǒng))之間差異的角度來看,“縱橫向”拉開檔次法是基于動態(tài)時序數(shù)據(jù)表,使指標權(quán)數(shù)的確定能盡量將被評價對象在縱向和橫向同時拉開檔次,而本文提出的“全局”拉開檔次法則是基于多元函數(shù)型數(shù)據(jù)表,使指標權(quán)數(shù)的確定能盡量