梁板彎曲理論的單廣義位移法與中厚板理論的比較

梁板彎曲理論的單廣義位移法與中厚板理論的比較

廣義位移深梁理論和中厚板梁和板是工程結(jié)構(gòu)中應(yīng)用最廣泛的因素。經(jīng)典的梁板彎曲理論已有數(shù)百年的歷史，但由于橫向切割變形的影響，僅適用于細梁和板。隨著工程技術(shù)的發(fā)展，短縫和厚板的問題越來越多。尤其是在高振動的情況下，梁和板的有效范圍將顯著降低。表面上看，這是一個細長的梁和板的問題。事實上，它也是一個短縫和厚板的問題。人們發(fā)現(xiàn)，在這方面，水平切割變形起到了不可忽視的作用。因此，1923年，simpshou引入了兩個廣義位移的深梁理論，1944年，reisssey提出了三個廣義位移的中厚板理論。這些理論將角作為獨立的位移變量，考慮到橫向剪切變形的影響。然而，由于轉(zhuǎn)向和衰減之間的內(nèi)在關(guān)系，以及經(jīng)典理論中位移的獨立性和不獨立性之間的矛盾，它們只能適用于短縫和厚板，這給工程實踐中的應(yīng)用帶來了一定的困難。因此，在采用有限元法進行工程計算時，人們不斷研究一種適用于細梁和板的有限單元。在這項工作中，我們提出了一種更廣泛、更僅位移的梁板彎曲理論，并介紹了梁板彎曲理論的基本假設(shè)。1單廣義位移理論1.1梁的中性軸向位移與變形方向的垂直分布取梁的中心線為x軸,梁的撓曲面為xy平面,對梁的變形情況作如下假設(shè):1)梁的中性軸的軸向位移不計,y方向的擠壓變形不計;2)變形前垂直于中心線的平面在變形后仍保持為平面(不一定垂直于撓曲線);3)剪切轉(zhuǎn)角γ隨x的二階變化率不計1.2梁中氣量與撓度的關(guān)系公式平臺第5條第第5條第2條,第32頁著錄《家庭暴力線根據(jù)彈性理論的幾何方程,剪應(yīng)變?yōu)棣??u?y+?w?x,得位移分量為因為w僅為x的函數(shù),且根據(jù)第一條假設(shè)有f(y)=0,所以u=-(dwdx-γ)y=-ψy,其中的ψ即為梁的轉(zhuǎn)角,根據(jù)物理方程和平衡條件,梁中的彎矩和剪力為Μ=-Ddψdx=-D(d2wdx2-dγdx),Q=dΜdx=-D(d3wdx3-d2γdx2),式中的D=EI為梁的彎曲剛度,根據(jù)第三條假設(shè),γ的二階導(dǎo)數(shù)為零,又由第二條假設(shè),γ取橫斷面上的平均值,有γ=QC=-DCd3wdx3,其中,C=GAk′為梁的剪切剛度,k′為剪切系數(shù),對于特定的截面形狀由剪切應(yīng)變能相等的原理得到,對于矩形截面而言,k′=56將上式回代到前面各式,可以得到梁中物理量與撓度的關(guān)系ψ=dwdx+DCd3wdx3?(1)Μ=-D(d2wdx2+DCd4wdx4)?(2)Q=-Dd3wdx3?(3)且平衡方程為1.3幾種簡單梁分析1分布均勻，兩端簡單w=q24Dx4-ql12Dx3-q2Cx2+(ql324D+ql2C)x,中點撓度21均勻、兩端固定w=q24Dx4-ql12Dx3+(ql224D-q2C)x2+ql2Cx,中點撓度31所有的東西都被用作懸臂梁w=q24Dx4-ql6Dx3+(ql24D-q2C)x2+qlCx,自由端撓度4懸崖，自由端部，中間力量w=-Ρ6Dx3+Ρl2Dx2+ΡCx,自由端撓度52簡單的十字路口，中間的中心力中點撓度6x3-31.2c中點撓度w={-Ρ12Dx3+Ρl16Dx2+Ρ2Cx(0≤x≤l/2)?Ρ12Dx3-3Ρl16Dx2+(Ρl28D-Ρ2C)x-Ρl348D+Ρl2C(l/2≤x≤l)?中點撓度1.4單元剛度矩陣顯式下面以中點受集中載的簡支梁為例,驗證本文理論的適用性梁的橫截面是以a為邊長的正方形,分別采用兩種理論用有限元方法進行計算,共劃分20個單元一是采用本文理論,撓度用三次函數(shù)插值,可導(dǎo)出單元剛度矩陣的顯式;另一種方法則采用具有兩個廣義位移的梁理論,撓度和轉(zhuǎn)角均采用線性插值計算結(jié)果見圖1,圖中結(jié)果是以梁中點撓度與經(jīng)典理論值之比給出的,橫坐標為梁的截面尺寸與梁長之比結(jié)果表明,本文理論的結(jié)果在細長梁范圍內(nèi)與經(jīng)典理論吻合,在短粗梁范圍內(nèi)又與具有兩個廣義位移的深梁理論一致,具有更廣的適用范圍2單廣義位移中厚板理論2.1應(yīng)力z與變形取板的中面為xy平面,z軸垂直于xy平面按右手法則確定,對板的變形作如下假設(shè):1)擠壓應(yīng)力σz是最次要的,它所引起的形變可以不計;擠壓應(yīng)變εz極其微小,可以不計;2)應(yīng)力分量τzx,τyz比較小,其形變分量γzx,γyz隨x,y的二階導(dǎo)數(shù)可以不計,并在板厚方向保持不變;3)中面位移不計2.2中面法線轉(zhuǎn)角先考慮位移分量,根據(jù)幾何方程有根據(jù)1),2)兩條基本假設(shè),w,γzx,γyz與z無關(guān),即有由第3)條基本假設(shè),f1=f2=0,所以u=-ψxz,v=-ψyz,(5)其中的ψx,ψy即為中面法線的轉(zhuǎn)角,且再考慮應(yīng)變分量,由幾何方程有εx=?u?x=-?ψx?xz=χxz?εy=?v?y=-?ψy?yz=χyz?γxy=?u?y+?v?x=-(?ψy?x+?ψx?y)z=2χxyz?}(7)其中曲率及扭率的表達式為χx=-?2w?x2+?γzx?x?χy=-?2w?y2+?γyz?y?χxy=-?2w?x?y+12(?γzx?y+?γyz?x)·}(8)下面考慮應(yīng)力分量,因為不計σz引起的變形,物理關(guān)系為εx=1E(σx-μσy)?γyz=2(1+μ)Eτyz?εy=1E(σy-μσx)?γzx=2(1+μ)Eτzx?γxy=2(1+μ)Eτxy·}(9)由前三式并將應(yīng)變分量的表達式代入后即有σx=-Ez1-μ2[?2w?x2-?γzx?x+μ(?2w?y2-?γyz?y)]?σy=-Ez1-μ2[?2w?y2-?γyz?y+μ(?2w?x2-?γzx?x)]?τxy=-Ez1+μ[?2w?x?y-12(?γyz?x+?γzx?y)]·}(10)然后導(dǎo)出橫向剪應(yīng)力的表達式,因為不考慮縱向載荷,根據(jù)平衡方程有將(10)式代入,并按第2)條基本假設(shè)略去γzx,γyz的二階導(dǎo)數(shù),有注意到w不隨z變化,有由板上下表面的邊界條件,z=±t/2時,τzx=τyz=0,可以得到τzx=E2(1-μ2)(z2-t24)??x?2w?τyz=E2(1-μ2)(z2-t24)??y?2w·}(11)最后利用物理關(guān)系(9)的后兩式,得為了與第2)條假設(shè)一致,可以采用γzx,γyz在厚度方向上的能量平均值γˉzx,γˉyz,根據(jù)γzx產(chǎn)生的應(yīng)變能相等,即有方程∫-t/2t/2γˉzx?τzxdz=∫-t/2t/2γzx?τzxdz,可以求得γˉzx=-t25(1-μ)??x?2w=-DC??x?2w?(12a)其中D=Et312(1-μ2)為板的彎曲剛度,C=56Gt為板的剪切剛度,相應(yīng)地將(12)式回代到方程(6),即有這樣我們就導(dǎo)出了中面法線轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系式,將(13)式回代前面各式,可得位移、應(yīng)變、應(yīng)力各分量以撓度w表示的公式,也容易導(dǎo)出板中內(nèi)力表達式為Μx=-D[?2w?x2+DC(?4w?x4+?4w?x2?y2)+μ?2w?y2+μDC(?4w?y4+?4w?x2?y2)]?Μy=-D[?2w?y2+DC(?4w?y4+?4w?x2?y2)+μ?2w?x2+μDC(?4w?x4+?4w?x2?y2)]?Μxy=-D(1-μ)[?2w?x?y+DC(?4w?x3?y+?4w?x?y3)]?Qx=-D??x?2w?Qy=-D??y?2w·}(14)平衡方程為需要說明的是,這時不能采用重三角級數(shù)求解,因不能滿足第2)條假設(shè)的要求,解析解是難以得到的但在有限元計算中,一般采用多項式函數(shù)進行插值,只要插值函數(shù)為不超過四次的多項式,即可滿足第2)條假設(shè)的要求,而且在有限單元內(nèi)將剪切角假定為線性變化是完全合理的2.3厚板及板單元的確定下面以均布載作用下的四邊簡支方板的彎曲問題為例,驗證本文理論的適用性采用本文理論按照經(jīng)典方法構(gòu)造十二自由度的矩形板單元,根據(jù)對稱性只計算四分之一板塊,共采用了4×4和10×10兩種網(wǎng)格劃分,計算結(jié)果見表1表中給出了中心撓度的結(jié)果,并與理論解進行了比較,所謂理論解是指當厚跨比t/l≤0.01時為經(jīng)典理論的解,當t/l≥0.1時為厚板理論的解表中結(jié)果表明,本文理論的結(jié)果在薄板范圍與經(jīng)典理論吻合,在中厚板范圍內(nèi)與厚板理論一致這一算例說明,本文理論從薄板到厚板均