北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 （平行線的性質(zhì)）平行線的證明教學(xué)課件

第七章

平行線的證明平行線的性質(zhì)

1課堂講解平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)與判定的關(guān)系2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1、什么叫做平行線？2、平行線的判定方法有哪些？復(fù)習(xí)回顧1知識(shí)點(diǎn)平行線的性質(zhì)1.定理：兩直線平行，同位角相等.（1）已知：如圖1，直線AB//CD，∠1和∠2是直線AB，CD被直線

EF截出的同位角.求證：∠1=∠2.知1－講如果∠1≠∠2，AB與CD的位置關(guān)系會(huì)怎樣呢？圖1知1－講（來自教材）證明：假設(shè)∠1≠∠2，那么我們可以過點(diǎn)M作直線GH，使∠EMH=

∠2，如圖2所示.根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可知GH//CD.又因?yàn)锳B//CD，這樣經(jīng)過點(diǎn)M

存在兩條直線AB和GH都與直線CD平行.這與基本事實(shí)“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”相矛盾.這說明∠1≠∠2的假設(shè)不成立，所以∠1=∠2.圖2知1－講（來自《點(diǎn)撥》）（2）性質(zhì)1：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等．簡稱：兩直線平行，同位角相等．表達(dá)方式：如圖，因?yàn)閍∥b，(已知)所以∠1＝∠2.(兩直線平行，同位角相等)

例1如圖，若AB∥CD，且∠1＝∠2，試判斷AM與CN的位置關(guān)系，并說明理由．導(dǎo)引：AM與CN的位置關(guān)系很顯然是平行的，要說明AM∥CN，可考慮說明∠EAM＝∠ECN.因?yàn)椤?＝∠2，所以只需說明∠EAB

＝∠ACD即可，由于“兩直線平行，同位角相等”，所以根

據(jù)AB∥CD即可得出∠EAB＝∠ACD.

解：AM∥CN.理由：∵AB∥CD(已知)，∴∠EAB＝∠ACD(兩直線平行，同位角相等)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠MAE＝∠NCA(等式性質(zhì))．∴AM∥CN(同位角相等，兩直線平行)．

知1－講（來自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)知1－講（來自《點(diǎn)撥》）當(dāng)題目已知條件中出現(xiàn)兩直線平行時(shí)，要考慮是否出現(xiàn)了相等的角．平行線和角的大小關(guān)系是緊密聯(lián)系在一起的，由平行線可以得到相等的角，反過來又可以由相等的角得到新的一組平行線，這種由角的大小關(guān)系與直線的位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在解題中會(huì)經(jīng)常涉及．

1(中考·瀘州)如圖，AB∥CD，BC平分∠ABD.若∠C＝40°，則∠D的度數(shù)為(

)A．90°B．100°C．110°D．120°知1－練（來自《典中點(diǎn)》）B(中考·棗莊)如圖，把一塊含有45°角的直角三角

板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上．如果∠1＝20°，

那么∠2的度數(shù)是(

)A．15°B．20°C．25°D．30°知1－練（來自《典中點(diǎn)》）C知1－講（來自教材）2.定理：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.（1）已知：如圖，直線l1//l2，∠1和∠2是直線l1，l2被直線l截出的內(nèi)錯(cuò)角.求證：∠1=∠2.

證明：∵l1//l2（已知），∴∠1=∠3（兩直線平行，同位角相等）.又∵∠2=∠3（對(duì)頂角相等），∴∠l=∠2(等量代換）.知1－講（來自《點(diǎn)撥》）（2）性質(zhì)2：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡稱：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．表達(dá)方式：如圖，因?yàn)閍∥b

(已知)，所以∠1＝∠2(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).

要點(diǎn)精析：兩直線平行是前提，只有在這個(gè)前提下才有內(nèi)錯(cuò)角相等．

例2如圖，已知∠B＝∠C，AE∥BC，試說明AE平分∠CAD.導(dǎo)引：要說明AE平分∠CAD，即說明∠DAE＝∠CAE.由于AE∥BC，根據(jù)兩直線平行，同位角相等和內(nèi)錯(cuò)角相等可知∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C，這就將說明∠DAE＝∠CAE轉(zhuǎn)化為說明∠B＝∠C了．

解：∵AE∥BC(已知)，∴∠DAE＝∠B(兩直線平行，同位角相等)，∠EAC＝∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∵∠B＝∠C(已知)，∴∠DAE＝∠EAC(等量代換)．∴AE平分∠CAD(角平分線的定義)．知1－講（來自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)知1－講（來自《點(diǎn)撥》）本題同時(shí)運(yùn)用了“兩直線平行，同位角相等”和“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，提供了一種說明兩個(gè)角相等的新思路．(中考·東莞)如圖，直線a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，則∠3的度數(shù)是(

)A．75°B．55°C．40°D．35°知1－練（來自《典中點(diǎn)》）C(中考·宜昌)如圖，AB∥CD，F(xiàn)E⊥DB，垂足為E，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是(

)A．60°B．50°C．40°D．30°知1－練（來自《典中點(diǎn)》）C知1－講（來自《點(diǎn)撥》）3.定理：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

性質(zhì)3：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡稱：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．表達(dá)方式：如圖，因?yàn)閍∥b

(已知)，所以∠1+∠2=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))

.例3如圖，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°，那么你能說出∠2，∠3，∠4的度數(shù)嗎？為什么？導(dǎo)引：由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1＋∠2＝180°；由DF∥AB，可得∠3＝∠2，從而得出∠2，∠3，∠4的度數(shù)．

解：∵DE∥BC(已知)，∴∠4＝∠1＝65°(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠2＋∠1＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))．即∠2＝180°－∠1＝180°－65°＝115°.又∵DF∥AB(已知)，∴∠3＝∠2(兩直線平行，同位角相等)．∴∠3＝115°(等量代換)．知1－講（來自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)知1－講（來自《點(diǎn)撥》）1．求角的度數(shù)的基本思路：根據(jù)平行線的判定由角的數(shù)量關(guān)系得到直線的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)由直線的位置關(guān)系得到角的數(shù)量關(guān)系，通過上述相互轉(zhuǎn)化，從而找到所求角與已知角之間的關(guān)系．2．兩直線平行時(shí)，應(yīng)聯(lián)想到平行線的三個(gè)性質(zhì)，由兩條直線平行的位置關(guān)系得到兩個(gè)相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，由角的關(guān)系求相應(yīng)角的度數(shù)．知1－講（來自教材）4.定理：平行于同一條直線的兩條直線平行.（1）已知：如圖，b//a，c//a，∠1，∠2，∠3是直線a，b，

c被直線d截出的同位角.求證：b//c.

證明：∵b//a(已知），∴∠2=∠1(兩直線平行，同位角相等）.∵c//a（已知）,∴∠3=∠1（兩直線平行，同位角相等）.∴∠2=∠3（等量代換）.∴b//c（同位角相等，兩直線平行）.知1－講一般地，我們有如下的定理：

定理平行于同一條直線的兩條直線平行.歸

納1(中考·恩施州)如圖，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，則∠BCD為(

)A．20°B．30°C．40°D．70°2(中考·河北)如圖，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，則∠ACD＝(

)A．120°B．130°C．140°D．150°知1－練（來自《典中點(diǎn)》）BC2知識(shí)點(diǎn)平行線的性質(zhì)與判定的關(guān)系知2－講平行線的判定與平行線的性質(zhì)的區(qū)別：①平行線的判定是根據(jù)兩角的數(shù)量關(guān)系得到兩條直線的位置關(guān)系，而平行線的性質(zhì)是根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系得到兩角的數(shù)量關(guān)系；②平行線的判定的條件是平行線的性質(zhì)的結(jié)論，而平行線的判定的結(jié)論是平行線的性質(zhì)的條件．知2－講例4如圖，已知∠ABC與∠ECB互補(bǔ)，∠1＝∠2，則∠P與∠Q一定相等嗎？說說你的理由．導(dǎo)引：如果∠P和∠Q相等，那么PB∥CQ，所以要判斷∠P與∠Q是否相等，只需判斷PB和CQ是否平行．要說明

PB∥CQ，可以通過說明∠PBC＝∠BCQ來實(shí)現(xiàn)，由于∠1＝∠2，只需說明∠ABC＝∠BCD即可．解：∠P＝∠Q.理由：∵∠ABC與∠ECB互補(bǔ)(已知)，∴AB∥ED(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．知2－講∴∠ABC＝∠BCD(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性質(zhì))，即∠PBC＝∠BCQ.∴PB∥CQ(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．∴∠P＝∠Q(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．（來自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)知2－講（來自《點(diǎn)撥》）一個(gè)數(shù)學(xué)問題的構(gòu)成含有四個(gè)要素：題目的條件、解題的依據(jù)、解題的方法、題目的結(jié)論，如果題目所含的四個(gè)要素解題者已經(jīng)知道或者結(jié)論雖未指明，但它是完全確定的，這樣的問題就是封閉性的數(shù)學(xué)問題．1(中考·河南)如圖，直線a，b被直線c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，則∠4的度數(shù)為(

)A．55°B．60°C．70°D．75°2如圖，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，則∠3等于(

)A．60°B．50°C．45°D．30°知2－練（來自《典中點(diǎn)》）AA從圖形中得出結(jié)論是圖形的性質(zhì)；而從具備什么條件推理出圖形是圖形的判定；特別說明，圖形的定義既是圖形的判定，也是圖形的性質(zhì)；即：條件定義、判定定義、性質(zhì)圖形結(jié)論．平均數(shù)第六章

數(shù)據(jù)的分析

知識(shí)點(diǎn)1

算術(shù)平均數(shù)1.一列數(shù)4,5,6,4,4,7,x的平均數(shù)是5,則x的值為(B)A.4 B.5C.6 D.72.(原創(chuàng))已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3的平均數(shù)為7,則x1+3,x2+2,x3+4的平均數(shù)為(D)A.7 B.8C.9 D.103.已知一組數(shù)據(jù)a1,a2,a3,a4,a5的平均數(shù)為8,則另一組數(shù)據(jù)a1+10,a2-10,a3+10,a4-10,a5+10的平均數(shù)為(C)A.6 B.8 C.10 D.124.某班45名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均分為80分,其中女生有20名,她們的數(shù)學(xué)平均分為82分,那么這個(gè)班男同學(xué)的數(shù)學(xué)平均分為

78.4

分.

知識(shí)點(diǎn)2

加權(quán)平均數(shù)5.(教材母題變式)數(shù)學(xué)老師計(jì)算同學(xué)們一學(xué)期的平均成績時(shí),將平時(shí)、期中和期末的成績按3∶3∶4計(jì)算.若小紅平時(shí)、期中和期末的成績分別是90分、80分和100分,則小紅一學(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績(B)A.90分 B.91分C.92分 D.93分6.(改編)某市“引進(jìn)人才”招聘考試分筆試和面試.其中筆試按60%、面試按40%計(jì)算加權(quán)平均數(shù)作為總成績.吳老師筆試成績?yōu)?0分,面試成績?yōu)?5分,那么吳老師的總成績?yōu)?D)A.85分 B.86分C.87分 D.88分7.如圖,交警統(tǒng)計(jì)了某個(gè)時(shí)段在一個(gè)路口來往車輛的車速(單位:千米/時(shí))情況,則該時(shí)段內(nèi)來往車輛的平均速度是

60

千米/時(shí).

8.一組數(shù)據(jù)3,5,7,m,n的平均數(shù)是9,則m,n的平均數(shù)是(D)A.6 B.9 C.10 D.159.某同學(xué)使用計(jì)算器求30個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí),錯(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)75輸入為15,那么所求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差是(D)A.2.5 B.2C.1 D.-211.面試時(shí),某人的基本知識(shí)、表達(dá)能力、工作態(tài)度的得分分別是90分、80分、85分,若依次按30%,30%,40%的比例確定成績,則這個(gè)人的面試成績是(D)A.75分 B.80分

C.82分 D.85分12.某中學(xué)隨機(jī)地調(diào)查了50名學(xué)生,了解他們一周在校的體育鍛煉時(shí)間,結(jié)果如下表所示:則這50名學(xué)生這一周在校的平均體育鍛煉時(shí)間是(B)A.6.2小時(shí) B.6.4小時(shí)C.6.5小時(shí) D.7小時(shí)【變式拓展】某燈泡廠為測量一批燈泡的使用壽命,從中抽查了100只燈泡,它們的使用壽命如表所示:這批燈泡的平均使用壽命是(B)A.112h B.124hC.136h D.148h13.小明同學(xué)上學(xué)期的5科期末成績中,語文、數(shù)學(xué)、英語三科成績的平均分為90分,科學(xué)、社會(huì)兩科成績的平均分為80分,則他這5科成績的平均分為(C)A.84分 B.85分

C.86分 D.87分14.某省現(xiàn)在正處于50年不遇的干旱時(shí)期.某中學(xué)七年級(jí)(2)班共50名同學(xué),開展了“獻(xiàn)愛心”捐款活動(dòng),活動(dòng)結(jié)束后,班長將捐款