典型圖像變換

典型圖像變換近年使用較多的幾種圖像變換

Gabor變換

哈爾變換

小波變換

霍特林變換16.1.1短時傅里葉變換6.1.2連續(xù)Gabor變換6.1.3離散Gabor表達Gabor變換2FT在信號處理中的局限性：

Fourier變換研究時域信號頻譜特性，必須要獲得時域中的全部信息

Fourier變換沒有反映出隨著時間的變化信號頻率成分的變化情況6.1.1

短時傅立葉變換3提出與基本思想

鑒于傅立葉變換的缺陷提出窗函數(shù)的思想，提出一個靈活可變的時間—頻率窗，使得在這個窗內(nèi)能夠體現(xiàn)頻率的信息，這種信號分析方法稱為時間—頻率分析。而窗固定的時間—頻率分析方法即為短時傅立葉變換。短時傅立葉變換（STFT）主要思想是將信號加窗，將加窗后的信號再進行傅立葉變換，加窗后使得變換為時間t附近的很小時間上的局部譜，窗函數(shù)可以根據(jù)t的位置變化在整個時間軸上平移，利用窗函數(shù)可以得到任意位置附近的時間段頻譜實現(xiàn)時間局域化。4STFT定義

1946年，Gabor提出了STFT，給定一信號，其STFT定義為：短時譜的特點：

1)時變性：既是角頻率的函數(shù)又是時間t的函數(shù)。

2)周期性：是關(guān)于的周期函數(shù)，周期為2.窗函數(shù)5公式涵義：

在時域用窗函數(shù)去截信號，對截下來的局部信號做FT，即在t時刻得該段信號的傅立葉變換，不斷移動t，也即不斷地移動窗函數(shù)的中心位置，即可得到不同時刻的傅立葉變換，這些傅立葉變換的集合，即是

STFT可以看成是用基函數(shù)來代替FT中的基函數(shù)。67對兩邊做傅立葉變換，有

信號譜窗譜對在時域加窗，引導(dǎo)在頻域?qū)哟?刻畫窗函數(shù)的兩個重要參數(shù)時域窗

(1)中心：(2)半徑：9 頻率窗函數(shù)F(w) 中心為

*，半徑為DF

10對函數(shù)

其中心為t*半徑為

，對

的傅立葉變換設(shè)其中心為

*，半徑為DF矩形[t*-

,t*-

]×[

*-DF

,

*-DF

]稱為

函數(shù)的時頻窗。該窗的面積為(2

)(2DF)根據(jù)不確定性原理等號僅在

(t)和

(

)為高斯函數(shù)時成立。11

不可能在時間和頻率兩個空間同時以任意精度逼近被測信號，必須在信號的分析上對時間或者頻率的精度做取舍。

當利用STFT時，若我們希望能得到好的時—頻分辨率，或好的時—頻定位，應(yīng)選取時寬、帶寬都比較窄的窗函數(shù)，遺憾的是，無法同時為最小。

對快變信號，希望有好的時間分辨率，時寬要小，但對該信號的頻域分辨率必定下降。

慢變信號對應(yīng)低頻信號，希望在低頻處有較好的頻率分辨率，但不可避免的要降低時域的分辨率。12窗函數(shù)的特點：

隨著的變化，窗口在空間不斷平移；

短時Fourier變換就是通過這些移動的窗口來提取被變換函數(shù)的信息；

函數(shù)族確定的時頻窗口只是隨發(fā)生平移，窗口的大小和形狀固定不變。1314 用高斯函數(shù)作為窗函數(shù) t*=

*=0，Dga=

a和DGa=1/2

a?？芍狣gaDGa=1/2，即達到了不確定性原理所給出的下限

f(t)在時間窗中的信息6.1.2

Gabor變換15

Gabor變換 其中–∞≤b,

≤∞離散形式

大尺度分辨率高，小尺度分辨率低6.1.3

離散Gabor表達16√哈爾函數(shù)是一種正交歸一化函數(shù)，在圖像信息壓縮和特征編碼等方面應(yīng)用，特點是收斂均勻而迅速。√哈爾函數(shù)是由Haar提出的一種正交完備函數(shù)系；是一種既反映整體又反映局部的函數(shù)；它是小波變換中的典型小波。√哈爾變換具有尺度和位移兩個特性；變換范圍窄；

其變換特性與圖像中的邊界或線條的特性十分接近，因此圖像中的邊緣和線條經(jīng)哈爾變換后，會產(chǎn)生較大的變換系數(shù)，而其它區(qū)劃的變換系數(shù)小。6.2哈爾變換17哈爾函數(shù)

hk(z)

k=0,1,2,

…,N–1，N=2n

整數(shù)k可被唯一地分解成： 其中

0≤

p

≤

n–1

當p=0時，q=0或q=1

當p

0時，1≤

q

≤2

p 例：對N=4，當k=0時有p=0和q=0

當k=1時有p=0和q=1

6.2哈爾變換18哈爾函數(shù)

hk(z)

k=0,1,2,

…,N–1，N=2n

6.2哈爾變換19哈爾矩陣 對1個N

N矩陣，其第i行由z=0/N，1/N， …，(N–1)/N的hi(z)的元素構(gòu)成

例：N=2

N=4

6.2哈爾變換20HaarTransform有以下幾點特性：1.不需要乘法（只有相加或加減）2.輸入與輸出個數(shù)相同3.頻率只分為低頻（直流值）與高頻（1和-1）部分4.可以分析一個信號的Localizedfeature5.運算速度極快，但不適合用于信號分析6.大部分運算為0，不用計算7.維度小，使用的memory少8.因為大部分為高頻，轉(zhuǎn)換較籠統(tǒng)對一矩陣做哈爾小波轉(zhuǎn)換的公式為，其中A為一N×N的區(qū)塊且H為N點的哈爾小波轉(zhuǎn)換。而反哈爾小波轉(zhuǎn)換為。21傅里葉變換與小波變換頻域分析具有很好的全局性，但沒有局部化功能。傅里葉變換反映的是圖像的整體特征。一個樂譜，不光闡明了要演奏的音符（或頻率），而且闡明了何時要演奏。而傅里葉變換，只提供了音符或頻率信息，局部信息在變換過程中丟失了。與Fourier變換相比，小波變換是空間(時間)和頻率的局部變換，它通過伸縮平移運算對信號逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節(jié)。22236.3

小波變換小波變換使得圖像壓縮、傳輸和分析變得更快捷！1小波介紹2背景3多分辨率展開4一維小波變換5快速小波變換6二維小波變換241小波介紹

1.1什么是小波

1.2小波簡史2背景3多分辨率展開4一維小波變換5快速小波變換6二維小波變換本章內(nèi)容25什么是小波變換6.3.1小波介紹262728293031321小波介紹2背景

圖像金字塔

子帶編碼

哈爾變換3多分辨率展開4一維小波變換5快速小波變換6二維小波變換7小波包本章內(nèi)容336.3.2背景為什么需要多分辨率分析？如果物體的尺寸很小或?qū)Ρ榷炔桓?/p>

高分辨率如果物體尺寸很大獲對比度很強

低分辨率通常物體尺寸有大有小，或?qū)Ρ扔袕娪腥跬瑫r存在34

圖像金字塔

一幅圖像的金字塔是一系列以金字塔形狀排列的分辨率逐步降低的圖像集合

一個金字塔圖像結(jié)構(gòu)

金字塔的底部是待處理圖像的高分辨率表示，而頂部是低分辨率近似。當向金字塔的上層移動時，尺寸和分辨率就降低。35高斯和拉普拉斯金字塔編碼

首先對圖像用5*5的高斯模板作低通濾波，濾波后的結(jié)果從原圖像中減去，圖像中的高頻細節(jié)則保留在差值圖像里；然后，對低通濾波后的圖像進行間隔采樣，細節(jié)并不會因此而丟失

36高斯和拉普拉斯金字塔編碼

拉普拉斯金字塔編碼策略

373839子帶編碼也是多分辨率相關(guān)的重要圖像技術(shù)

在子帶編碼中，一幅圖像被分解為一系列限帶分量，稱為子帶子帶可以重組在一起無失真地重建原始信號子帶帶寬<原始圖像帶寬，可以進行無信息損失的抽樣原始圖像的重建可以通過內(nèi)插、濾波和疊加單個子帶完成。子帶編碼40對每個子帶分別編碼的好處是：

（1）可以利用人耳（或人眼）對不同頻率信號的感知靈敏度不同的特性，在人的聽覺（或視覺）不敏感的頻段采用較粗糙的量化，從而達到數(shù)據(jù)壓縮的目的。例如，在聲音低頻子帶中，為了保護音調(diào)和共振峰的結(jié)構(gòu)，就要求用較小的量化階、較多的量化級數(shù)，即分配較多的比特數(shù)來表示樣本值。而話音中的摩擦音和類似噪聲的聲音，通常出現(xiàn)在高頻子帶中，對它分配較少的比特數(shù)。

（2）各個子帶的量化噪聲都束縛在本子帶內(nèi)，這就可以避免能量較小的頻帶內(nèi)的信號被其他頻帶中量化噪聲所掩蓋。

（3）通過頻帶分裂，各個子帶的取樣頻率可以成倍下降。例如，若分成頻譜面積相同的N個子帶，則每個子帶的取樣頻率可以降為原始信號取樣頻率的1/N，因而可以減少硬件實現(xiàn)的難度，并便于并行處理。41在子帶編碼中，一幅圖像被分解成一系列限帶分量的集合，稱為子帶，它們可以重組在一起無失真地重建原始圖像。子帶通過對輸入進行帶通濾波而得到。

雙通道子帶編碼和重建

42完美重建濾波器族QMF正交鏡像濾波器CQF共軛正交濾波器43子帶圖像編碼的二維4頻段濾波器組

4445463哈爾變換哈爾變換

哈爾基函數(shù)是最古老也是最簡單的正交小波。哈爾變換本身是可分離的，也是對稱的，可以用下述矩陣形式表達：

T=HFH47變換矩陣H包含基函數(shù)，它定義在連續(xù)閉區(qū)間48N=4時kpq00010121131249N=2時50哈爾基函數(shù)對圖像的多分辨率分解

1、其局部統(tǒng)計數(shù)據(jù)相對穩(wěn)定；2、大多數(shù)值為零，便于壓縮；3、原始圖像的粗和細分辨率近似可以從中提取。511小波介紹2背景3多分辨率展開

3.1序列展開

3.2尺度函數(shù)

3.3小波函數(shù)4一維小波變換5快速小波變換6二維小波變換7小波包本章內(nèi)容526.3.3多分辨率展開

函數(shù)的伸縮和平移

給定一個基本函數(shù),則的伸縮和平移公式可記為：53函數(shù)的伸縮和平移函數(shù)的伸縮和平移

54序列展開

信號或函數(shù)常?？梢员缓芎玫胤纸鉃橐幌盗姓归_函數(shù)的線性組合。其中，k是有限或無限和的整數(shù)下標，ak是具有實數(shù)值的展開系數(shù)，是具有實數(shù)值的展開函數(shù)如果展開是唯一的，f(x)只有一個ak系數(shù)與之對應(yīng)，則稱為基函數(shù)。多分辨率展開55可展開的函數(shù)組成了一個函數(shù)空間，被稱為展開集合的閉合跨度，表示為：多分辨率展開56尺度函數(shù)

多分辨率展開57尺度函數(shù)任何j,k上的跨度子空間:j增大時，用于表示子空間函數(shù)的范圍變窄，x有較小變化即可分開。隨j增加

增大，允許有變化較小的變量或較細的細節(jié)函數(shù)包含在子空間中。多分辨率展開58哈爾尺度函數(shù)考慮單位高度、單位寬度的尺度函數(shù)：V0展開函數(shù)都屬于V1，V0是V1的一個子空間。59V2V1V0

多分辨率展開60子空間的展開函數(shù)可以被表示為子空間的展開函數(shù)的加權(quán)和。61哈爾尺度函數(shù)系數(shù)對于單位高度、單位寬度的哈爾尺度函數(shù)系數(shù)是化簡62

小波函數(shù)

給定尺度函數(shù)，則小波函數(shù)所在的空間跨越了相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異。令相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異子空間為Wj，則下圖表明了Wj與Vj和Vj+1間的關(guān)系。尺度及小波函數(shù)空間的關(guān)系

多分辨率展開63

多分辨率展開64

多分辨率展開因為小波空間存在于由相鄰較高分辨率尺度函數(shù)跨越的空間中，任何小波函數(shù)可以表示成尺度函數(shù)：65哈爾尺度函數(shù)系數(shù)：哈爾小波函數(shù)系數(shù)：6667本章內(nèi)容1小波介紹2背景3多分辨率展開4一維小波變換小波序列展開離散小波變換連續(xù)小波變換5快速小波變換6二維小波變換7小波包68小波序列展開是任意開始尺度近似值或尺度系數(shù)細節(jié)或小波系數(shù)第一個和式是f(x)在尺度上近似第二個合適是在較高尺度更細微分辨率的小波函數(shù)69一維離散小波變換（DWT）70計算一維離散小波變換考慮四點的離散函數(shù)：f(0)=1,f(1)=4,f(2)=-3,f(3)=0。因為M=4,J=2且由于j0