第三章 模糊邏輯和模糊邏輯推理

第三章模糊邏輯和

模糊邏輯推理3.1二值邏輯3.2模糊邏輯及其基本運算3.3模糊語言邏輯3.4模糊變換3.5模糊邏輯推理模糊控制篇3.1二值邏輯對一句話，如果能夠判斷它表述的意思是真是假時，就可以稱為命題。一個簡單的語句叫“簡單命題”，用命題聯(lián)結(jié)詞把兩個以上的簡單命題聯(lián)結(jié)起來叫“復(fù)合命題”。命題聯(lián)結(jié)詞有：析取∨、合取∧、否定ˉ、蘊涵→等價←→

一、命題的概念二、二值邏輯——非是即非析取∨：意思是“或”。復(fù)合命題P∨Q只有在P和Q都是假時，才是假。例如：P＝她喜歡吃雪糕，Q＝她喜歡喝可樂。 P∨Q＝她喜歡吃雪糕或喜歡喝可樂。合取∧：意思是“與”。復(fù)合命題P∧Q只有在P和Q都是真時，才是真。例如：P＝她喜歡吃雪糕，Q＝她喜歡喝可樂。 P∧Q＝她喜歡吃雪糕和（與）喝可樂。蘊涵→：意思是“如果….那么….”例如：P＝是女孩子，Q＝她喜歡漂亮。 P→Q＝如果是女孩子那么她喜歡漂亮。等價←→：意思是“當(dāng)且僅當(dāng)”例如：P＝A是等邊三角形，Q＝A是等角三角形。 P←→Q＝A是等邊三角形當(dāng)且僅當(dāng)A是等角三角形。二值邏輯的運算規(guī)則稱為布爾代數(shù)，布爾代數(shù)是描述邏輯運算規(guī)律的數(shù)學(xué)，又稱邏輯代數(shù)。若

、

、

{0，1}，則布爾代數(shù)具有如下的運算性質(zhì)：1)冪等律2)交換律3)結(jié)合律4)吸收律5)分配律6)雙否律7)互補律8)德

摩根律9)常數(shù)運算法則3.2模糊邏輯及其基本運算二值邏輯的特點是一個命題不是真命題便是假命題。但在很多實際問題中要做出這種非真即假的判斷是困難的。比如說“重慶的橋多”這顯然是一個命題，但是這個命題究竟是真是假？那要看跟誰比較了，如果說“重慶的橋比較多”可能更為合適。也就是說如果命題的真值不是簡單的取“1”或“0”，而是可以在[0，1]區(qū)間連續(xù)取值，這樣對此類命題的描述就更切合實際了。這就是模糊命題。模糊命題是指帶有模糊概念或模糊性的陳述句，是普通命題的推廣，而模糊邏輯是研究模糊命題的邏輯。一、模糊邏輯的定義模糊命題的真值不是絕對的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隸屬于“真”。因此，它不只是一個值，而是有多個值，甚至是連續(xù)量。普通命題的真值相對于普通集合中元素的特征函數(shù)，而模糊命題的真值就是隸屬度函數(shù)，所以模糊邏輯的基本運算，即真值的運算，就是隸屬度函數(shù)的運算。二、模糊邏輯的基本運算設(shè)P、Q、R是三個模糊命題，那么1、模糊邏輯補：對命題否定，2、模糊邏輯析?。篜∨Q＝max（P，Q）3、模糊邏輯合?。篜∧Q＝min（P，Q）4、模糊邏輯蘊涵：如P是真的，則Q也是真的。 P→Q＝（1－P＋Q）∧1 ＝min{1,（1－P＋Q）}5、模糊邏輯等價：如P是真的，則Q也是真的。 P←→Q＝（P→Q）∧（Q→P）模糊邏輯的基本運算模糊邏輯的基本運算6、模糊邏輯限界積：7、模糊邏輯限界和：8、模糊邏輯限界差：P＝她是個刁蠻的人，其真值P＝0.8Q＝她是個潑辣的人，其真值Q＝0.6那么 P∧Q＝min（P，Q）＝min(0.8,0.6)=0.6 P∨Q＝max（P，Q）＝max(0.8,0.6)=0.8 P→Q＝(1－P＋Q）∧1＝(1－0.8＋0.6)∧1=0.8 模糊邏輯的基本運算例：設(shè)有模糊命題

根據(jù)模糊邏輯的基本運算定義，可以得出模糊邏輯運算滿足模糊運算的基本定律，除了互補律外，其它八條定律與二值邏輯類似，模糊運算的互補律不成立，其互補運算滿足：作用：利用模糊邏輯運算滿足的基本定律公式可以化簡模糊邏輯函數(shù)。3.3模糊語言邏輯所謂語言，通常指自然語言和人工語言。自然語言是指人類交流信息時使用的語言，它可以表示主、客觀世界的各種事物、觀念、行為、情感等。自然語言具有相當(dāng)?shù)牟淮_定性，其主要特征就是模糊性，這種模糊性主要是由于自然語言中經(jīng)常用到大量的模糊詞(如黎明、模范、優(yōu)美、擁護等)。人工語言主要是指程序設(shè)計語言，如我們熟悉的C語言、匯編語言等。人工語言的格式是非常嚴(yán)密、且概念十分清晰。顯然，模糊語言主要是指自然語言。一、模糊語言的概念廣義角度來講，一切具有模糊性的語言都稱為模糊語言。我們知道，人們在日常生活中交流信息時，常常使用模糊語言來表達具有模糊性的現(xiàn)象和事物?？梢?，模糊語言可以對自然語言的模糊性進行分析和處理。另外，需要指出的是模糊語言又具有靈活性，在不同的場合，某一模糊概念可以代表不同的含義。如“高個子”，在中國，把大約在1.75—1.85m之間的人歸結(jié)于“高個子”模糊概念里，而在歐洲，大約在1.80一1.90m之間的人才能算作“高個子”。綜上所述，模糊語言實質(zhì)上是具有模糊性的語言。模糊語言邏輯是由模糊語言構(gòu)成的一種模擬人思維的邏輯。要將模糊語言表達出來，使機器能模擬人的思維、推理和判斷，就需要了解模糊數(shù)、語言值、語言變量和語氣算子這些概念.二、模糊數(shù)連續(xù)論域U中的一模糊數(shù)F是一個U上的正規(guī)凸模糊集。也就是說，以實數(shù)集合為全集合，一個具有連續(xù)隸屬函數(shù)的正規(guī)的有界凸模糊集合就稱為模糊數(shù)。模糊數(shù)實質(zhì)上是一個模糊子集。而所謂“正規(guī)集合”的含義就是隸屬度函數(shù)的最大值為1，即通俗地講，模糊數(shù)就是那些諸如“大約5”、“10左右”等具有模糊概念的數(shù)值。三、語言值在語言系統(tǒng)中，那些與數(shù)值有直接聯(lián)系的詞，如長、短、多、少、高、低、輕、重、大、小等或者由他們再加上語言算子（如很、非常、較、偏等）而派生出來的詞組，如不太大、非常高、偏重等都被稱為語言值。語言值一般是模糊的，可以用模糊數(shù)來表示。例如，成年男子身高的論域：E={130,140,150,160,170,180,190,200,210}={e1,e2,…,e9}在論域上定義語言值：[個子高]=0.2/e4+0.4/e5+0.6/e6+0.8/e7+0.95/e8+1/e9[個子矮]=1/e1+0.7/e2+0.5/e3+0.3/e4+0.1/e5四、語言變量

語言變量是用一個五元素的集合來表征的：其中：X——語言變量名（如速度、年齡、顏色）；T（X）——語言變量名的集合；

U——語言變量x的論域；

G——語法規(guī)則（用于產(chǎn)生語言變量x的值）；

M——算法規(guī)則（與每個語言變量含義相聯(lián)系）。所謂語言變量是以自然語言中的字或句作為變量，而不是以數(shù)值作為變量。10語言變量元素之間的關(guān)系示意圖

語言變量用以表征那些十分復(fù)雜或無法用精確術(shù)語進行描述的現(xiàn)象，其必須遵守語法規(guī)則和算法規(guī)則。為了能夠更加確切地描述模糊語言變量，進一步區(qū)分和刻劃模糊值得程度，常常還借用自然語言中的修飾詞，如“很”、“較”、“非?！薄ⅰ坝悬c”、“大約”、“稍微”等來描述模糊值，為此引入模糊語言算子的概念。

語言算子分為語氣算子、模糊化算子和判定化算子三類：

語氣算子是指一類加強或削弱模糊語言表達程度的詞，可加在其他模糊詞的前面進行修飾。

加強語氣的詞稱為集中算子，如“特別”、“很”、“相當(dāng)”等等；減弱語氣的詞稱為散漫化算子，如“較”、“稍微”、“有點”等。1、語氣算子記H

為語氣算子運算符，則原語言值A(chǔ)經(jīng)語氣算子H

的作用，形成一個新的語言值H

(A)。設(shè)原語言值A(chǔ)的隸屬度函數(shù)為

A，新的語言值H

(A)的隸屬度函數(shù)為

H(A)，則

極λ＝4非常λ＝3很λ＝2相當(dāng)λ＝1.5比較λ＝0.8略λ＝0.6稍λ＝0.4常用的語氣算子

定義為：當(dāng)然，語氣強弱的程度因人而異，對于某一特定語氣的詞,其

的取值不完全一樣，但是其取值應(yīng)與語氣的強弱程度一致。以“年老”這個詞(語言值)為例，來說明語氣算子的作用則例：以及假設(shè)有兩個人，一個是60歲，另一個是70歲，那么他們分別屬于“年老”、“很老”、“有點老”這三個語言值的隸屬度可用公式求出為：從上面的隸屬度可以得出這樣的結(jié)論：70歲的人比60歲的人“年老”、“很老”和“有點老”的程度都高，也就是說70歲的人比60歲的人更老。2、模糊化算子模糊化算子用來使語言中某些具有清晰概念的單詞或詞組的詞義模糊化，或者將原來就已經(jīng)是模糊概念的詞義更加模糊化。如“大概”、“近似于”、“大約”等，如果對數(shù)字進行作用就意味著把精確數(shù)轉(zhuǎn)化為模糊數(shù).例如數(shù)字“5”是一個精確數(shù)，而如果將模糊化算子“F”作用于“5”這個精確數(shù)就變成“F(5)”這一模糊數(shù)。若模糊化算子“F”是“大約”，則“F(5)”就是“大約5”這樣一個模糊數(shù)。在模糊控制中，實際系統(tǒng)的輸入采樣值一般總是精確量，要采用模糊邏輯推理方法進行模糊控制，就必須首先把精確量進行模糊化處理，而模糊化的過程實質(zhì)上就是使用模糊化算子來實現(xiàn)的。可見模糊化算子的重要性。設(shè)模糊前的集合為A，模糊化算子為F，則模糊化變換可表示為F(A)，并且它們的隸屬函數(shù)關(guān)系滿足如果A是清晰集，則

A(x)就是特征函數(shù)。

R(x，c)是表示模糊程度的一個相似變換函數(shù)，通?？扇≌龖B(tài)分布曲線,即參數(shù)

的取值大小取決于模糊化算子的強弱程度。例:論域X上的清晰集A（x）的特征函數(shù)為取c＝5，則”大約是5”這一語言值的隸屬度函數(shù)可以定義為如右圖所示：3、判定化算子判定化算子與模糊化算子的作用相反。它是將原來具有模糊詞義的詞進行肯定化處理。如“趨向于”、“大半是”、“偏向于”等。設(shè)判定化前的集合為A，它的隸屬函數(shù)為μA(x)，判定化算子為P，則判定化變換可以表示為P（A），它們的隸屬函數(shù)關(guān)系滿足當(dāng)取

=1/2時，P1/2可用來表示“趨向于”。3.4模糊變換基于模糊關(guān)系的模糊變換是模糊控制中極為重要的運算過程。所謂模糊變換，是指給定兩個集合之間的一個模糊關(guān)系，據(jù)此將一個集合上的模糊子集經(jīng)運算得到另一個集合上的模糊子集的過程。在模糊控制中，通過模糊變換可以從輸入的模糊量求出所需的輸出模糊量。R=A×BA’B’如圖所示，當(dāng)控制器的模糊關(guān)系R確定之后，若輸入為A’，則可經(jīng)運算，求得控制器的輸出B’。上式就是模糊變換，結(jié)果B’實際上是模糊子集A’和模糊關(guān)系矩陣R的合成，它把X中的模糊集A’變?yōu)閅上的模糊集B’

，實現(xiàn)了論域的轉(zhuǎn)換。當(dāng)R表示的是某種邏輯因果關(guān)系時，則模糊變換就是一種模糊推理。設(shè)R為X×Y上的模糊關(guān)系，A’是X上的模糊子集，則可求出相應(yīng)的B’為3.5模糊邏輯推理常規(guī)的邏輯推理方法如演繹推理、歸納推理都是嚴(yán)格的。用傳統(tǒng)二值邏輯進行推理時，只要推理規(guī)則是正確的，小前提是肯定的，那么就一定會得到確定的結(jié)論。例如，前提：如果A，則B，如果B，則C。結(jié)論：如果A，則C。然而，在現(xiàn)實生活中人們常常獲得的信息是不精確的、不完全的、或者事實本身就是模糊而不能完全確定的。但又需要人們利用這些信息進行判斷和決策。例如，若A大，則B小。已知A較大，則B應(yīng)該多少?顯然這樣一類問題利用傳統(tǒng)的二值邏輯是無法得到結(jié)果的，而人們在大部分情況下能夠?qū)ζ溥M行推理和判斷，那么這種不確定性推理的規(guī)則是什么呢?目前有關(guān)這方面的理論和方法還不成熟，尚在發(fā)展之中目前已知的主要不確定性推理方法可歸結(jié)為四類：MYCIN法、主觀貝葉斯方法、證據(jù)理論法和模糊邏輯推理法模糊邏輯推理是不確定性推理方法的一種，其基礎(chǔ)是模糊邏輯，它是在二值邏輯三段論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。雖然它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)沒有形式邏輯那么嚴(yán)密，但用這種推理方法得到的結(jié)論與人類的思維推理結(jié)論是一致或相近的，并在實際使用中得到了驗證，因此模糊邏輯推理方法已經(jīng)受到了廣泛的重視。模糊邏輯推理是以模糊判斷為前提的，運用模糊語言規(guī)則，可推出一個新的模糊判斷結(jié)論的方法。例大前提：腿長則跑步快小前提：小王腿很長結(jié)論：小王跑步很快大前提：腿長則跑步快小前提：小王腿很長結(jié)論：小王跑步很快它近似于二值邏輯的三段論推理模式。在這里“腿長”和“跑步快”都是模糊概念，而且小前提的模糊判斷和大前提的前件不是嚴(yán)格相同的。因此這一推理的結(jié)論也不是從前提中嚴(yán)格地推出來的而是近似邏輯地推出的結(jié)論。通稱為假言推理或是似然推理。

判斷是否屬于模糊邏輯推理的標(biāo)準(zhǔn)是看推理過程是否具有模糊性，具體表現(xiàn)看為推理規(guī)則是不是模糊的。在模糊邏輯推理中有兩種重要的推理方法，廣義取式（肯定前提）推理和廣義拒式（否定結(jié)論）推理：（1）廣義取式（肯定前提）推理前提1：如果x是A，則y是B前提2：如果x是A’

，結(jié)論：y是B’（2）廣義拒式（否定結(jié)論）推理前提1：如果x是A，則y是B前提2：如果y不是B’

，結(jié)論：x不是A’其中A，B，A’，B’均為模糊集合，x和y為語言變量。后面的介紹將以廣義取式為例模糊邏輯的推理方法還在發(fā)展之中，比較典型的有扎德(Zadeh)方法、瑪達尼(Mamdani)方法、鮑德溫(Baldwin)方法、耶格(Yager)方法、楚卡莫托(Tsukamoto)方法。

從條件變量的多少、模糊規(guī)則多少的角度來劃分，模糊規(guī)則推理方法又可分為四種模糊推理規(guī)則：近似推理、模糊條件推理、多輸入模糊推理和多輸入多規(guī)則推理。

值得指出的是，這四種推理規(guī)則都可以選用不同的推理方法(如扎德法、瑪達尼法、鮑德溫法等)，但通常最簡單、最方便的推理法還是瑪達尼的極大極小推理法。下面以模糊取式推理為例，從近似推理、模糊條件推理、多輸入模糊推理和多輸入多規(guī)則推理四種推理方法來進行介紹。一、近似推理規(guī)則ifAthenB在控制系統(tǒng)中經(jīng)常存在此類現(xiàn)象，“如果溫度低，則控制電壓就增大”這樣一個前提下，要問“如果溫度很低，則控制電壓將該是多少呢?”。很自然用人們的常識可以推知：“如果溫度很低，則控制電壓就很大”，這種推理方式就稱為模糊近似推理。這種推理方式可以這樣來表達：要得到結(jié)論B’關(guān)鍵在于如何計算模糊關(guān)系矩陣R=A

B前提1：如果x是A，則y是B前提2：如果x是A’

，結(jié)論：y是B’=A’

R=A’

(A

B)1、Zadeh推理法根據(jù)不同的推理方法可以得到模糊關(guān)系矩陣R的元素μA

B(x,y)的不同計算方法，主要有兩種：R=（A

B）=（A

B）

（1-

A）其隸屬度函數(shù)為推理結(jié)果為B’=A’

R=A’

[（A

B）

（1-

A）]其隸屬度函數(shù)為2、Mamdani推理法R=（A

B）=A×B=A

B其隸屬度函數(shù)為Mamdani把模糊蘊涵關(guān)系用A