第五章 對(duì)單個(gè)和兩個(gè)總體平均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

1第5章對(duì)單個(gè)和兩個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)魏澤輝講義25.1對(duì)單個(gè)總體均數(shù)的檢驗(yàn)檢驗(yàn)一個(gè)樣本平均數(shù)與已知的總體平均數(shù)是否有顯著差異（檢驗(yàn)該樣本是否來(lái)自某一總體）已知的總體平均數(shù)一般為一些公認(rèn)的理論數(shù)值、經(jīng)驗(yàn)數(shù)值或期望數(shù)值。（正常生理指標(biāo)、懷孕期、家禽出雛日齡）魏澤輝講義35.1.1z檢驗(yàn)：總體方差已知魏澤輝講義4

由該場(chǎng)隨機(jī)抽取了10頭豬，測(cè)得它們?cè)隗w重為100kg時(shí)的平均背膘厚為8.7mm。

1）提出假設(shè)例：某豬場(chǎng)稱(chēng)該場(chǎng)的豬在體重為100kg時(shí)的平均背膘厚度為9±0.32

mm2。問(wèn)如何檢驗(yàn)該場(chǎng)的說(shuō)法是否真確？（已知該場(chǎng)豬的背膘厚服從正態(tài)分布）一、方差已知時(shí)μ

的假設(shè)檢驗(yàn)魏澤輝講義52)構(gòu)造并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量6若取

＝5％，則接受域95%否定域2.5%1.96-1.96否定域2.5%3）確定否定域并作統(tǒng)計(jì)推斷

z=-3.1623<-1.96（落入）

接受備擇假設(shè)結(jié)論：該場(chǎng)豬的平均背膘厚與9mm差異顯著魏澤輝講義75.1.2t檢驗(yàn)：總體方差未知魏澤輝講義8顯著性檢驗(yàn)步驟1、提出假設(shè)

（1）H0：μ＝μ0；HA：μ≠μ0

雙側(cè)檢驗(yàn)2、計(jì)算t值

3、查臨界t值，作出統(tǒng)計(jì)推斷標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Χ2分布9【例5.1】按照規(guī)定，100g

罐頭番茄汁中的平均維生素

C含量不得少于21mg/g，現(xiàn)在從工廠的產(chǎn)品中抽取17個(gè)罐頭，其100g番茄汁中測(cè)得維生素C含量記錄如下：16，25，21，20，23，21，19，15，13，23，17，20，29，18，22，16，22，設(shè)維生素C含量服從正態(tài)分布，問(wèn)這批罐頭是否符合規(guī)定要求？10解：依題意，可對(duì)此批罐頭的平均維生素C含量μ提出待檢驗(yàn)假設(shè)：H0：μ=21，HA：μ<21由于總體的方差未知，故用t檢驗(yàn)先計(jì)算所需的樣本統(tǒng)計(jì)量：

n=17，=20，S=3.98檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:于是單側(cè)檢驗(yàn)，否定域?yàn)閠分布小于-t2α(n-1)的區(qū)域，取顯著性水平α=0.05，查表得兩尾概率為2α=0.1，自由度df=n-1=16時(shí)的t分布分位點(diǎn)為t0.1(16)=-1.746,因?yàn)閠=-1.04>-1.746,不能否定零假設(shè)，即該批罐頭的平均維生素C含量與規(guī)定的21mg無(wú)顯著差異，可以出廠。115.2兩個(gè)樣本平均數(shù)的比較

推斷兩個(gè)樣本平均數(shù)差異是否顯著的問(wèn)題，以了解兩樣本所屬總體的平均數(shù)是否相同。配對(duì)試驗(yàn)非配對(duì)試驗(yàn)兩個(gè)總體u檢驗(yàn)：總體方差已知t檢驗(yàn)：總體方差未知總體方差未知相等總體方差未知不等目的就是分析表面效應(yīng)主要是由處理效應(yīng)引起，還是由實(shí)驗(yàn)誤差引起。從而分析處理效應(yīng)是否存在。表面效應(yīng)可以計(jì)算，實(shí)驗(yàn)誤差可以估計(jì)，根據(jù)這些推斷處理效應(yīng)是否顯著。5.2.1隨機(jī)分組資料的假設(shè)檢驗(yàn)1、提出假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布2、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量如果兩個(gè)總體都是正態(tài)總體，則：因此，可以計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z對(duì)總體均數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，分三種情況分別介紹。3、確定否定域

比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和臨界值的關(guān)系，根據(jù)小概率事件（顯著水平：0.01；0.05）原理，確定其落在否定域還是接收域。4、對(duì)假設(shè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷

接受原假設(shè)，否定備擇假設(shè)；或否定原假設(shè)，接受備擇假設(shè)1.兩總體方差已知時(shí)的檢驗(yàn)－Z檢驗(yàn)例：某單位測(cè)定了31頭犢牛和48頭母牛100ml中血液中血糖的含量（mg），得犢牛平均血糖含量為81.23，成年母牛的平均血糖含量為70.23。設(shè)已知犢牛血糖的總體方差為15.642，成年母牛血糖的總體方差為12.072，問(wèn)犢牛和成年母牛之間血糖含量有無(wú)差異？Z檢驗(yàn)解：（1）提出假設(shè)即犢牛和成年母牛之間血液中血糖含量無(wú)差異；即犢牛和成年母牛之間血液中血糖含量有差異。（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（3）確定顯著性水平

u0.05=1.96u0.01=2.58所以：否定H0，接受備擇假設(shè)。即犢牛和成年母牛之間血糖含量存在極顯著的差異。實(shí)際研究中總體方差往往是未知的，因?yàn)楹茈y得到總體內(nèi)所有個(gè)體的觀測(cè)值，因此無(wú)法計(jì)算總體方差。尤其對(duì)于無(wú)限總體和連續(xù)性資料。2.兩總體方差相等但未知時(shí)的檢驗(yàn)－t檢驗(yàn)當(dāng)n1≥30和n2≥30

時(shí)（大樣本），可以用樣本方差代替總體方差，仍然用Z檢驗(yàn)，因?yàn)樵诖髽颖局衅浣品恼龖B(tài)分布。當(dāng)n1≤30和n2≤30

時(shí)（小樣本），不能用樣本方差代替總體方差，應(yīng)該采用t檢驗(yàn)。在μ1=μ2（原假設(shè)），σ2＝σ2＝σ條件下，認(rèn)為兩個(gè)樣本來(lái)自同一個(gè)總體，因此可以將兩個(gè)樣本合并，然后用合并樣本的方差代替總體方差。5.2.3兩總體方差相等但未知時(shí)的檢驗(yàn)－t檢驗(yàn)計(jì)算公式如下：5.2.3兩總體方差相等但未知時(shí)的檢驗(yàn)－t檢驗(yàn)所以：均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤為均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤5.2.3兩總體方差相等但未知時(shí)的檢驗(yàn)－t檢驗(yàn)當(dāng)n1=n2=n時(shí)，上面公式演變?yōu)椋?.2.3兩總體方差相等但未知時(shí)的檢驗(yàn)－t檢驗(yàn)t值為自由度為：df=(n1-1)+(n2-1)=n1+n2-25.2.3兩總體方差相等但未知時(shí)的檢驗(yàn)－t檢驗(yàn)魏澤輝講義27例：

研究?jī)煞N不同飼料對(duì)香豬生長(zhǎng)的影響，隨機(jī)選擇了體重相近的12頭香豬并隨機(jī)分成兩組，一組喂甲種飼料，另一組喂乙種飼料在相同條件下飼養(yǎng)，6周后的增重結(jié)果如下（kg）：甲飼料：6.65，6.35，7.05，7.90，8.04，4.45

乙飼料:5.35，7.00，9.89，7.05，6.74，9.28設(shè)兩樣本所屬總體服從正態(tài)分布且方差相等，試比較兩種不同飼料對(duì)香豬的生長(zhǎng)是否有差異？28解：總體方差未知但相等，可用t檢驗(yàn)

(1)假設(shè):H0:μ1=μ2,即兩種不同飼料對(duì)香豬的生長(zhǎng)影響無(wú)差異HA:μ1≠=μ2,兩種不同飼料對(duì)香豬的生長(zhǎng)影響存在差異(2)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

29(3)取α＝0.05,查附表4得t0.05(10)=2.23∵|t|=0.92<t0.05(10)=2.23∴P>0.05,接受H0，接受不同飼料對(duì)香豬的生長(zhǎng)影響無(wú)顯著差異。df=n1+n2-2=6+6-2=1030解：

(1)假設(shè):H0:μ1=μ2,兩品種豬的肌肉脂肪含量無(wú)差異HA:μ1≠=μ2,兩品種豬的肌肉脂肪含量存在差異

例：測(cè)定金華豬與長(zhǎng)白豬肌內(nèi)脂肪含量（％），金華豬共10頭，其樣本平均數(shù)為3.93，標(biāo)準(zhǔn)差為0.4；長(zhǎng)白豬4頭，平均數(shù)為2.56，標(biāo)準(zhǔn)差為0.4。設(shè)兩樣本所屬總體服從正態(tài)分布，且方差相等，試測(cè)驗(yàn)兩品種豬的肌肉脂肪含量是否存在差異。本例為總體方差未知相等，且樣本容量不等。31(2)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

32(3)取α＝0.01,查附表4得t0.01(12)=3.055∵|t|=5.79<t0.01(12)=3.055∴P<0.01,否定H0，兩品種豬的肌肉脂肪含量存在極顯著差異。df=n1+n2-2=10+4-2=123兩總體方差不相等而且未知時(shí)的檢驗(yàn)－t檢驗(yàn)（一）方差的齊性檢驗(yàn)

在很多情況下，我們不能確定兩個(gè)總體的方差是否相等，而且方差不相等的情況下，假設(shè)檢驗(yàn)方法不同。

因此，需要首先進(jìn)行方差的齊性檢驗(yàn)。目的：確定兩個(gè)總體的方差是否相等，從而進(jìn)一步確定檢驗(yàn)方法。5.2.4兩總體方差不相等而且未知時(shí)的檢驗(yàn)－t檢驗(yàn)

因此，構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量假設(shè)檢驗(yàn)：σ12＝σ22。這種利用服從F分布的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來(lái)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法稱(chēng)為F檢驗(yàn)。方差的齊性檢驗(yàn)步驟：設(shè)有兩個(gè)正態(tài)總體，X1服從N(μ1，σ12)，X2服從N(μ2，σ22)。

1.零假設(shè)：H0：σ12=σ22

備擇假設(shè)：H1:σ12≠σ22

2.確定顯著平準(zhǔn)：0.05、0.01

5.2.4兩總體方差不相等而且未知時(shí)的檢驗(yàn)－t檢驗(yàn)3.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定否定域：查F表，確定臨界值，接受或者拒絕H0

此檢驗(yàn)為雙側(cè)檢驗(yàn)，上、下側(cè)分位點(diǎn)數(shù)不同。以方差大者為分