2020-2021學(xué)年海南省北京師范大學(xué)萬(wàn)寧附中高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年海南省北京師范大學(xué)萬(wàn)寧附中高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）單選題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，則x等于()A．3B．－3C.eq\f(5,3)D．－eq\f(5,3)2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2－b2＋c2＝eq\r(3)ac，則角B為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3) D.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)3.在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則()A.B.C.D.4．把△ABC按斜二測(cè)畫(huà)法得到△A′B′C′(如圖所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么△ABC是一個(gè)()A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三邊互不相等的三角形5．正四面體的棱長(zhǎng)為，，分別為，的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6．設(shè)、是兩條不同的直線，是平面，、不在內(nèi)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．，，則 B．，，則C．，，則 D．，，則7．若正三棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，棱臺(tái)的高為，則此正三棱臺(tái)的側(cè)面積為（）A． B． C． D．8．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若，則面積的最小值為（）A． B． C．1 D．5二．多選題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，漏選得3分，選錯(cuò)得0分）9．兩平面α，β平行，直線a?α，則下列四個(gè)命題正確的是()A．a(chǎn)與β內(nèi)的所有直線平行B．a(chǎn)與β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行C．a(chǎn)與β至少有一個(gè)公共點(diǎn)D．a(chǎn)與β沒(méi)有公共點(diǎn)10.下列說(shuō)法正確的是（

）A.

在△ABC中，a:b:c=sinA:sinB:sinC

B.

在△ABC中，若sin2A=sin2B，則A=B

C.

在△ABC中，若sinA>sinB，則11．已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則()A．三棱錐S－ABC的體積為eq\f(\r(2),6)B．三棱錐S－ABC的體積為eq\f(\r(2),3)C．三棱錐O－ABC的體積為eq\f(\r(2),12)D．三棱錐O－ABC的體積為eq\f(2\r(2),3)12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（）A．直線A1G與直線DC所成的角的正切值為B．直線與平面平行C．點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離相等D．平面截正方體所得的截面面積為第Ⅱ卷（非選擇題共90分）填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13．已知矩形中，，，設(shè)與交于點(diǎn)，則_____．14．如圖，在直角梯形中，，，，，，將此梯形以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積是_____________．15．如圖，四棱錐的底面是正方形，頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正方形的中心，側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面的頂角為．過(guò)點(diǎn)作一截面與、、分別相交于、、，則四邊形周長(zhǎng)的最小值是________．中，平面平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______．四、解答題（本大題共6道題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟.）17．（10分）已知復(fù)數(shù)，.（1）求；（2）若，求.18.（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，求（1）直線A1B與B1C所成的角的大?。?）直線D1B與平面ABCD所成的角的余弦值.19．（12分）已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,0)．(1)求a－b的坐標(biāo)以及a－b與a之間的夾角；(2)當(dāng)t∈[－1,1]時(shí)，求|a－tb|的取值范圍．20．（12分）從①B=π4，②a＝32sin已知△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且sin2A＝sin2B+sin2C+sinBsinC．（1）求角A；（2）已知b=6，且____，求sinC的值及△ABC21．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)．（1）證明MN∥平面PAB；（2）求四面體N﹣BCM的體積．22.（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，AB//CD，且（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC=1,,求二面角PACD的大小.數(shù)學(xué)答案1．答案A2．答案A3.A4．A根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法還原三角形在直角坐標(biāo)系中的圖形，如圖所示：由圖易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC為等邊三角形，故選A。5．A【解析】如題所示：連接，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，所以，同理．又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，所以，故選A．6．D【解析】對(duì)于A，，由線面平行的性質(zhì)定理可知，過(guò)直線的平面與平面的交線平行于，，，，，故A正確；對(duì)于B，若，，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得，故B正確；對(duì)于C，若，，則或，又，，故C正確；對(duì)于D，若，，則或與相交或，而，則或與相交，故D錯(cuò)誤，故選D．7．C【解析】如圖，分別為上、下底面的中心，分別是，的中點(diǎn)，過(guò)作中，，，.在中，，則..故選：C8．B【解析】如圖，取的中點(diǎn)為E，易知．取的中點(diǎn)，則在正方形中，，則，，則，可得，即，所以點(diǎn)的軌跡為線段．因?yàn)槠矫?，平面，則，所以為直角三角形，當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)面積最小，最小值為，故選B．9．BD10.ACD11．AC解析由于三棱錐S－ABC與三棱錐O－ABC的底面都是△ABC，O是SC的中點(diǎn)，因此三棱錐S－ABC的高是三棱錐O－ABC高的2倍，所以三棱錐S－ABC的體積也是三棱錐O－ABC體積的2倍，在三棱錐O－ABC中，其棱長(zhǎng)都為1，如圖，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)，高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，則VO－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),12)，VS－ABC＝2VO－ABC＝eq\f(\r(2),6).12．ABD【解析】A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，，在正方體中，，，平面，平面，所以平面，同理可證平面，，所以平面平面，平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)C與G到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過(guò)的中點(diǎn)，連接交于H，而H不是中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故C錯(cuò)；對(duì)于D，在正方體中，，把截面補(bǔ)形為四邊形，由等腰梯形計(jì)算其面積，故D正確，13．解：，（建系更快）14．15．【解析】依題意，四棱錐為正四棱錐，且每個(gè)側(cè)面的頂角為，將四棱錐的側(cè)面沿展開(kāi)，如圖，A展開(kāi)后到，則，且，則當(dāng)如圖，，，和在同一直線上時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)的最小值，最小值為．所以在三角形中，由余弦定理得：，所以，故答案為．16.解：，，，，，S表=17．（1）.（2）由，得，18.（1）60○（2）619．解：(1)因?yàn)橄蛄縜＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,0)，所以a－b＝(1，eq\r(3))－(－2,0)＝(3，eq\r(3))，設(shè)a－b與a之間的夾角為θ，所以cosθ＝eq\f(a－b·a,|a－b|·|a|)＝eq\f(6,4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).因?yàn)棣取蔥0，π]，所以向量a－b與a的夾角為eq\f(π,6).(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2t∈[－1,1]時(shí)，|a－tb|2∈[3,12]，所以|a－tb|的取值范圍是[eq\r(3)，2eq\r(3)]．20．解：（1）因?yàn)閟in2A＝sin2B+sin2C+sinBsinC，由正弦定理可得a2＝b2+c2+bc，可得cosA=b因?yàn)?＜A＜π，所以A=2π（2）選擇①時(shí)，A=2π3，B故sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB=6根據(jù)正弦定理asinA=b可得S=12absinC選擇②時(shí)，a＝32sinB，根據(jù)正弦定理asinA=bsinB，可得3sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB=6根據(jù)正弦定理asinA=b可得S=12absinC21．解：（Ⅰ）由已知得，