通信原理講稿第二章課件

§2.2隨機過程一般描述確定性信號是時間的確定函數(shù)，隨機信號是時間的不確定函數(shù)。通信中干擾是隨機信號，通信中的有用信號也是隨機信號。描述隨機信號的數(shù)學(xué)工具是隨機過程，基本的思想是把概率論中的隨機變量的概念推廣到時間函數(shù)?！?.2隨機過程一般描述確定性信號是時間的確定函數(shù)，隨機1隨機過程的數(shù)學(xué)定義：設(shè)隨機試驗E的可能結(jié)果為ξ(t)，試驗的樣本空間S為{x1(t),x2(t)，…,xn(t),…}，xi(t)是第i次試驗的樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)，每次試驗得到一個樣本函數(shù)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體就構(gòu)成一隨機過程，記作ξ(t)。兩層含義：隨機過程ξ(t)在任一時刻都是隨機變量；隨機過程ξ(t)是大量樣本函數(shù)的集合。隨機過程的數(shù)學(xué)定義：2隨機過程舉例：隨機過程舉例：3隨機過程基本特征其一，它是一個時間函數(shù)；其二，在固定的某一觀察時刻t1，ξ(t1)是隨機變量。隨機過程具有隨機變量和時間函數(shù)的特點。隨機過程ξ(t)在任一時刻都是隨機變量；隨機過程ξ(t)是大量樣本函數(shù)的集合。隨機過程基本特征其一，它是一個時間函數(shù)；4隨機過程的統(tǒng)計描述設(shè)ξ(t)表示隨機過程，在任意給定的時刻t1∈T，ξ(t1)是一個一維隨機變量。一維分布函數(shù)：隨機變量ξ(t1)小于或等于某一數(shù)值x1的概率，即

F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］一維概率密度函數(shù)隨機過程的統(tǒng)計描述設(shè)ξ(t)表示隨機過程，在任意給定的時刻t5n維分布函數(shù)：

Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…,ξ(tn)≤xn｝n維概率密度函數(shù)n維分布函數(shù)：6隨機過程的一維數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差隨機過程的一維數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望7隨機過程的二維數(shù)字特征自協(xié)方差函數(shù)

B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝自相關(guān)函數(shù)

R(t1,t2)=E｛ξ(t1)ξ(t2)｝設(shè)ξ(t)和η(t)分別表示兩個隨機過程，互相關(guān)函數(shù)

Rξη(t1,t2)=E［ξ(t1)η(t2)]隨機過程的二維數(shù)字特征自協(xié)方差函數(shù)8§2.3平穩(wěn)隨機過程統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化的隨機過程稱為平穩(wěn)隨機過程。設(shè)隨機過程ξ(t),若對于任意n和任意選定t1＜t2＜…＜tn,tk∈T，k=1,2,…,n，以及τ為任意值，且x1,x2,…,xn∈R，有

fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)則稱ξ(t)是平穩(wěn)隨機過程?！?.3平穩(wěn)隨機過程統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化的隨機過9平穩(wěn)隨機過程的定義說明：當(dāng)取樣點在時間軸上作任意平移時，隨機過程的所有有限維分布函數(shù)是不變的。推論：一維分布與時間t無關(guān)，二維分布只與時間間隔τ有關(guān)。從而有R(t1,t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］

=R(t1,t1+τ)=R(τ)平穩(wěn)隨機過程的定義說明：當(dāng)取樣點在時間軸上作任意平移時，隨機10廣義平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程的定義對于一切n都需成立，這在實際應(yīng)用上很復(fù)雜。由平穩(wěn)隨機過程的均值是常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)是τ的函數(shù)還可以引入另一種平穩(wěn)隨機過程的定義：若隨機過程ξ(t)的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是τ的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機過程或廣義平穩(wěn)隨機過程。廣義平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程的定義對于一切n都需成立，這在11

平穩(wěn)隨機過程在滿足一定條件下有一個有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”。若平穩(wěn)隨機過程的數(shù)字特征（均為統(tǒng)計平均）完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)的數(shù)字特征（均為時間平均）來替代，則稱平穩(wěn)隨機過程具有“各態(tài)歷經(jīng)性”。各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機過程在滿足一定條件下有一個有趣而又非常有用的特性12各態(tài)歷經(jīng)隨機過程“各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機過程中的任一實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。因此，我們無需獲得大量用來計算統(tǒng)計平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個隨機過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使“統(tǒng)計平均”化為“時間平均”，使實際測量和計算的問題大為簡化。各態(tài)歷經(jīng)隨機過程“各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機過程中的任一實現(xiàn)都經(jīng)13§2.4平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜自相關(guān)函數(shù)的意義：平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性，如數(shù)字特征等，可通過自相關(guān)函數(shù)來描述自相關(guān)函數(shù)與平穩(wěn)隨機過程的譜特性有著內(nèi)在的聯(lián)系。因此，我們有必要了解平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。自相關(guān)函數(shù)定義：

R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］§2.4平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜自相關(guān)函數(shù)的意義：14自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì)：R(0)=E[ξ2(t)]=S--ξ(t)的平均功率R(τ)=R(-τ)--偶函數(shù)|R(τ)|≤R(0)--上界R(∞)=E2[ξ(t)]---ξ(t)的直流功率R(0)-R(∞)=σ2---ξ(t)的交流功率。ξ(t)的任一樣本函數(shù)的功率譜密度為式中，F(xiàn)T(ω)是fT(t)的頻譜函數(shù)；fT(t)是f(t)的短截函數(shù)；f(t)是ξ(t)的任一實現(xiàn)。自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì)：15由于ξ(t)是無窮多個實現(xiàn)的集合，因此，某一實現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均，即

ξ(t)的平均功率S可表示成由于ξ(t)是無窮多個實現(xiàn)的集合，因此，某一實現(xiàn)的功16由ξ(t)功率譜密度的定義，很難直接計算功率譜。確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是傅氏變換對。對于平穩(wěn)隨機過程，也有類似的關(guān)系，即

由ξ(t)功率譜密度的定義，很難直接計算功率譜。確知17利用二重積分換元法，則上式可化簡成：于是簡記為R(τ)Pξ(ω)。上稱為維納-辛欽關(guān)系，在平穩(wěn)隨機過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具。它是聯(lián)系頻域和時域的基本關(guān)系式。利用二重積分換元法，則上式可化簡成：18例2-1隨機相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均為常數(shù)，θ是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機變量。求ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度。解：(1)先考察ξ(t)是否廣義平穩(wěn)。ξ(t)的數(shù)學(xué)期望為例2-1隨機相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，19ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)為：令t1=t,t2=t+τ,經(jīng)過推導(dǎo)得：ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)為：令t1=t,t2=t+τ,經(jīng)過推導(dǎo)20因為cosωcτπ[δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)]所以，Pξ(ω)=[δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)]僅與τ有關(guān)。由此看出，ξ(t)是寬平穩(wěn)隨機過程。它的功率譜密度為：因為cosωcτπ[δ(ω-ωc)+δ(21定義——若隨機過程ξ(t)的任意n維（n=1,2,…）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程。其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下：

fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)§2.5高斯過程定義——若隨機過程ξ(t)的任意n維（n=1,2,…）分22式中,ak=E{ξ(tk)}，σ2k=E{[ξ(tk)-ak]2，|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即

b12…b1nB211…b2nBn1bn2…1…………|B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子，bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)：式中,ak=E{ξ(tk)}，σ2k=E{[ξ(tk)-a23高斯過程的特點：高斯過程的n維分布完全由n個隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。如果過程是寬平穩(wěn)的，即其均值與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，則它的M維分布也與時間起點無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，則即對所有j≠k，有bjk=0，于是高斯過程的特點：24

=f(x1,t1)·f(x2,t2)…f(xn,tn)這就是說，如果高斯過程中的隨機變量是互不相關(guān)的，則它們也是統(tǒng)計獨立的。fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)==f(x1,t1)·f(x2,t2)…f25常用的是高斯過程的一維分布。高斯過程在任一時刻上的樣值是一維高斯隨機變量，其概率密度函數(shù)可表示為概率密度函數(shù)的曲線為常用的是高斯過程的一維分布。高斯過程在任一時刻上的樣值是一維26特點f(x)對稱于x=a這條直線。，

a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)圖形將隨著σ的減小而變高和變窄。當(dāng)a=0，σ=1時，稱f(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。正態(tài)分布函數(shù)特點27這里的稱為正態(tài)概率積分。這個積分無法用閉合形式計算，我們要設(shè)法把這個積分式和可以在數(shù)學(xué)手冊上查出積分值的特殊函數(shù)聯(lián)系起來，一般常用以下特殊函數(shù)：誤差函數(shù)互補誤差函數(shù)這里的28幾種函數(shù)的關(guān)系為幾種函數(shù)的關(guān)系為29高斯白噪聲

一類特殊的高斯過程——高斯白噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即

這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機過程。式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫。顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即高斯白噪聲一類特殊的高斯過程——高斯白噪聲，它的功率譜密30通信原理講稿第二章課件31隨機過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度Δf<<fc，且fc遠離零頻率的系統(tǒng)。實際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲又是隨機的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機過程。如用示波器觀察一個實現(xiàn)的波形，則如圖2-4所示，它是一個頻率近似為fc，包絡(luò)和相位隨機緩變的正弦波?！?.6窄帶隨機過程隨機過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶過程。32圖2-4窄帶過程的頻譜及示意波形圖2-4窄帶過程的頻譜及示意波形33

因此，窄帶隨機過程ξ(t)可用下式表示:ξ(t)=aξ(t)cos［ωct+φξ(t)］,aξ(t)≥0(2.6-1)等價式為ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct(2.6-2)其中ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t)(2.6-3)

ξs(t)=aξ(t)sinφξ(t)(2.6-4)式中,aξ(t)及φξ(t)分別是ξ(t)的包絡(luò)函數(shù)和隨機相位函數(shù)，ξc(t)及ξs(t)分別稱為ξ(t)的同相分量和正交分量。因此，窄帶隨機過程ξ(t)可用下式表示:34

由式（2.6-1）至(2.6-4)看出，ξ(t)的統(tǒng)計特性可由aξ(t)，φξ(t)或ξc(t),ξs(t)的統(tǒng)計特性確定。反之，如果已知ξ(t)的統(tǒng)計特性則可確定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的統(tǒng)計特性。由式（2.6-1）至(2.6-4)看出35同相和正交分量的統(tǒng)計特性

設(shè)窄帶過程ξ(t)是平穩(wěn)高斯窄帶過程，且均值為零,方差為σ2ξ。下面將證明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與ξ(t)具有相同的方差。

1.數(shù)學(xué)期望

對式（2.6-2）求數(shù)學(xué)期望:E[ξ(t)]=E[ξc(t)]cosωct-E[ξs(t)]sinωct(2.6-5)可得同相和正交分量的統(tǒng)計特性36

E[ξc(t)]=0E[ξs(t)]=0(2.6-6)2.自相關(guān)函數(shù)

Rξ(t,t+τ)=E［ξ(t)ξ(t+τ)］

=E｛［ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct］

·［ξc(t+τ)cosωc(t+τ)-ξs(t+τ)sinωc(t+τ)］｝

=Rξc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)-

Rξcξs(t,t+τ)cosωctsinωc(t+τ)-

Rξc(t,t+τ)sinωctcosωc(t+τ)

Rξs(t,t+τ)sinωctsinωc(t+τ)

(2.6-7)

E[ξc(t)]=0E[ξs37=Rξc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)-Rξcξs(t,t+τ)cosωctsinωc(t+τ)-Rξc(t,t+τ)sinωctcosωc(t+τ)Rξs(t,t+τ)sinωctsinωc(t+τ)=Rξc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)-38

式中

Rξc(t,t+τ)=E［ξc(t)ξc(t+τ)］Rξcξs(t,t+τ)=E［ξc(t)ξs(t+τ)］Rξsξc(t,t+τ)=E［ξs(t)ξc(t+τ)］Rξs(t,t+τ)=E［ξs(t)ξs(t+τ)］因為ξ(t)是平穩(wěn)的，故有Rξ(t,t+τ)=Rξ(τ)這就要求式（2.6-7）的右邊也應(yīng)該與t無關(guān)，而僅與時間間隔τ有關(guān)。若取使sinωct=0的所有t值，則式（2.6-7）應(yīng)變?yōu)槭街?9

Rξ(τ)=[Rξc(t,t+τ)]cosωcτ-

[Rξcξs(t,t+τ)]sinωcτ

(2.6-8)

這時，顯然應(yīng)有

Rξc(t,t+τ)=Rξc(τ)

Rξcξs(t,t+τ)=Rξcξs(τ)Rξ(τ)=[Rξc40所以，式（2.6-8）變?yōu)?/p>

Rξ(τ)=Rξc(τ)cosωcτ-Rξcξs(τ)sinωcτ(2.6-9)再取使cosωct=0的所有t值，同理有

Rξ(τ)=Rξs(τ)cosωcτ+Rξsξc(τ)sinωcτ(2.6-10）所以，式（2.6-8）變?yōu)?1

由以上的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分析可知，如果窄帶過程ξ(t)是平穩(wěn)的，則ξc(t)與ξs(t)也必將是平穩(wěn)的。

進一步分析，式（2.6-9）和式（2.6-10）應(yīng)同時成立，

故有

Rξc(τ)=Rξs(τ)

(2.6-11)

Rξcξs(τ)=－Rξsξc(τ)

(2.6-12)可見，同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)，而且根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有由以上的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分析可知，如果窄帶過程ξ(42

Rξcξs(τ)=Rξsξc(-τ)將上式代入式（2.6-12），可得

Rξsξc(τ)=-Rξsξc(-τ)

(2.6-13)同理可推得

Rξcξs(τ)=-Rξcξs(-τ)

(2.5-14)

式（2.6-13）、（2.6-14）說明，ξc(t)、ξs(t)的互相關(guān)函數(shù)Rξsξc(τ)、Rξcξs(τ)都是τ的奇函數(shù)，在τ=0時

Rξsξc(0)=Rξcξs(0)=0(2.6-15)

Rξcξs(τ)=Rξ43

于是，由式（2.6-9）及式（2.6-10）得到

Rξ(0)=Rξc(0)=Rξs(0)(2.6-16)即σ2ξ=σ2ξc=σ2ξs(2.6-17)

這表明ξ(t)、ξc(t)和ξs(t)具有相同的平均功率或方差（因為均值為0）。

另外，因為ξ(t)是平穩(wěn)的，所以ξ(t)在任意時刻的取值都是服從高斯分布的隨機變量，故在式（2.6-2）中有

44

當(dāng)t=t1=0時，ξ(t1)=ξc(t1)當(dāng)t=t2=π/2ωc時，ξ(t2)=-ξs(t2)

所以ξc(t1)，ξs(t2)也是高斯隨機變量，從而ξc(t)、ξs(t)也是高斯隨機過程。又根據(jù)式（2.6-15）可知，ξc(t)、ξs(t)在同一時刻的取值是互不相關(guān)的隨機變量，因而它們還是統(tǒng)計獨立的。

綜上所述，我們得到一個重要結(jié)論：一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程ξ(t)，它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是平穩(wěn)高斯過程，而且均值都為零，方差也相同。此外，在同一時刻上得到的ξc和ξs是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。當(dāng)t=t1=0時，ξ(t1)=ξc(t1)45

包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性由上面的分析可知，ξc和ξs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為設(shè)aξ,φξ的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(aξ,φξ)，則利用概率論知識，有

根據(jù)式（2.6-3）和式（2.6-4）的關(guān)系

ξc=aξcosφξξs=aξsinφξ(2.6-18）包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性設(shè)aξ,φξ的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f46

得到

于是(2.6-19）得到于是(2.6-19）47

注意，這里aξ≥0,而在(0，2π)內(nèi)取值，

再利用概率論中邊際分布知識可分別求得可見aξ服從瑞利分布；而(2.6-20）上式方括號中的積分值為1(根據(jù)瑞利分布的性質(zhì))，故注意，這里aξ≥0,而在(0，2π)內(nèi)48(2.6-21）可見，φξ服從均勻分布。綜上所述，我們又得到一個重要結(jié)論：一個均值為零，方差為σ2ξ的窄帶平穩(wěn)高斯過程ξ(t)，其包絡(luò)aξ(t)的一維分布是瑞利分布，相位φξ(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，aξ(t)與φξ(t)是統(tǒng)計獨立的，即有下式成立：

f(aξ,φξ)=f(aξ)·f(φξ)(2.6-21）可見，φξ服從均勻分布。49白噪聲

信號在信道中傳輸時，常會遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即

Pξ(ω)=(2.6-22)這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機過程。式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫。顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于式(2.4-10)求得，即

R(τ)=

白噪聲R(τ)=50

這說明，白噪聲只有在τ=0時才相關(guān)，而它在任意兩個時刻上的隨機變量都是互不相關(guān)的。圖2-5畫出了白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)的圖形。

如果白噪聲被限制在(-f0,f0)之內(nèi)，即在該頻率區(qū)上有Pξ(ω)=n0/2，而在該區(qū)間之外Pξ(ω)=0，則這樣的白噪聲被稱為帶限白噪聲。帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為(2.6-24)這說明，白噪聲只有在τ=0時才相關(guān)，而它在任51式中，由此看到，帶限白噪聲只有在上得到的隨機變量才不相關(guān)。它告訴我們，如果對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機變量。帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度如圖2-5(b)所示。式中，由此看到，帶限白噪聲只有在522.7正弦波加窄帶高斯過程

現(xiàn)在我們來求正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)及相應(yīng)的概率密度函數(shù)。在這種情況下，被考察的混合信號形式為(2.7-1)式中，為窄帶高斯過程，其均值為零；正弦波的θ在(0,2π)上均勻分布，且假定振幅A和頻率已知。顯然，信號r(t)的包絡(luò)函數(shù)為

2.7正弦波加窄帶高斯過程現(xiàn)在我們來求正弦波53利用上一節(jié)的結(jié)果，如果θ值已給定，則zc及zs都是相互獨立的隨機變量，故有

E［zc］=AcosθE［zs］=Asinθ

利用上一節(jié)的結(jié)果，如果θ值已給定，則zc及zs都是相互獨立的54

所以，在給定相位θ的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

f(zc,zs/θ)=

因為式（2.7-1)可以改寫成r(t)=zcos(ωct+φ)的形式，所以其包絡(luò)隨機變量為而其相位隨機變量為所以，在給定相位θ的條件下的zc和zs的聯(lián)55所以，以相位θ為條件的z和φ的聯(lián)合概率密度函數(shù)為而以相位θ為條件的包絡(luò)z的概率密度為所以，以相位θ為條件的z和φ的聯(lián)合概率密度函數(shù)為而以相位θ為56由于故有（2.7-2)由于故有（2.7-2)57

式中，I0(x)為零階修正貝塞爾函數(shù)。當(dāng)x≥0時，I0(x)是單調(diào)上升函數(shù)，且有I0(0)=1。因此

f(z/θ)=

由上式可見，f(z/θ)與θ無關(guān)，故正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)概率密度函數(shù)為

這個概率密度函數(shù)稱為廣義瑞利分布，也稱萊斯（Rice）密度函數(shù)。如果A＝0，則上式便是式（2.6-20），即為瑞利公式，這是預(yù)料的結(jié)果。

(2.7-3)式中，I0(x)為零階修正貝塞爾函數(shù)。當(dāng)x≥58

現(xiàn)在來求f(φ/θ)，它可由下式得到：

上式經(jīng)積分和整理后得到(2.7-4)現(xiàn)在來求f(φ/θ)，它可由下式得到：上式59因為f(φ,θ)=f(φ/θ)f(θ),所以正弦波加窄帶高斯過程得相位概率密度函數(shù)f(φ)為這個積分比較復(fù)雜，這里就不再演算了。圖2-6繪出了在幾個特定的下的f(z)曲線及f(φ/θ)曲線。(2.7-5)因為f(φ,θ)=f(φ/θ)f(θ),所以正弦波加窄帶高斯60圖2–6正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)與相位分布

圖2–6正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)與相位分布612.8隨機過程通過線性系統(tǒng)

通信的目的在于傳輸信號，通信系統(tǒng)中的信號或噪聲一般都是隨機的，因此在以后的討論中我們必然會遇到這樣的問題：隨機過程通過系統(tǒng)（或網(wǎng)絡(luò)）后，輸出過程將是什么樣的過程？這里，我們只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況。隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)vo(t)等于輸入信號vi(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即vo(t)=vi(t)*h(t)=

(2.8-1)2.8隨機過程通過線性系統(tǒng)通信的目的在于傳62

若vo(t)?Vo(ω),vi(t)?Vi(ω),h(t)?H(ω)，則有

Vo(ω)=H(ω)Vi(ω)(2.8-2)

若線性系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，則vo(t)=或

如果把vi(t)看作是輸入隨機過程的一個樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機過程的一個樣本。顯然，輸入過程ξi(t)的每個樣本與輸出過程ξo(t)的相應(yīng)樣本之間都滿足下式(2.8-3)若vo(t)?Vo(ω),vi(63

ξo(t)=(2.8-4)

假定輸入ξi(t)是平穩(wěn)隨機過程，現(xiàn)在