基于模糊系統(tǒng)的多輸入多輸出非線性預(yù)測控制

基于模糊系統(tǒng)的多輸入多輸出非線性預(yù)測控制

作為下一代的航空航天飛機，空天飛機（asv）引起了各國的高度關(guān)注。在其高超聲速無動力再入返回過程中,飛行環(huán)境變化大,難以建立精確的再入飛行運動方程,另外ASV還受到外界擾動和測量誤差等不確定因素的影響。因此ASV對飛行控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度有著更高的要求。預(yù)測控制是一種基于模型的優(yōu)化控制算法,已經(jīng)廣泛應(yīng)用于化工、冶金等工業(yè)工程。近年來,非線性預(yù)測控制理論得到了進一步的研究和發(fā)展,文獻利用CLF(ControlLyapunovFunction)設(shè)計終端項來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻基于線性矩陣不等式求解預(yù)測控制律。文獻提出了一種具有閉合解析形式的非線性最優(yōu)預(yù)測控制算法,設(shè)計過程簡單,避免了預(yù)測控制的在線優(yōu)化計算。然而預(yù)測控制通常要求被控對象精確已知,干擾、建模誤差等不確定因素對預(yù)測控制的影響較大,甚至可能使其失效。因此如何結(jié)合預(yù)測控制與魯棒控制,設(shè)計出非線性魯棒預(yù)測控制律有著重要的研究意義。已經(jīng)證明,模糊系統(tǒng)具有逼近非線性系統(tǒng)中的未知函數(shù)和不確定因素的能力,將模糊系統(tǒng)應(yīng)用于非線性不確定系統(tǒng)的控制,已經(jīng)成為理論界和工程界研究的熱點,并取得了大量的研究成果。為此,針對一類多輸入多輸出不確定非線性系統(tǒng),本文提出了一種基于自適應(yīng)模糊系統(tǒng)的預(yù)測控制方法。根據(jù)系統(tǒng)的跟蹤誤差在線調(diào)整模糊系統(tǒng)的權(quán)值,使得模糊系統(tǒng)逼近被控對象中的未知函數(shù),通過泰勒展開設(shè)計基于模糊自適應(yīng)系統(tǒng)的非線性預(yù)測控制律,減輕了預(yù)測控制的計算負擔(dān)。引入魯棒自適應(yīng)控制器消除了不確定和模糊建模誤差對系統(tǒng)的影響,提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能?；贚yapunov穩(wěn)定理論,證明了閉環(huán)系統(tǒng)最終一致有界穩(wěn)定。最后對ASV再入飛行的姿態(tài)控制進行了仿真,驗證結(jié)果表明了該方法的有效性。1在線狀態(tài)可微考慮如下形式的一類非線性系統(tǒng):˙x=f(x)+g(x)uy=h(x)}(1)式中:狀態(tài)變量x∈Rn;控制變量u∈Rm;輸出變量y∈Rm;函數(shù)f∈Rn;g∈Rn×m。對系統(tǒng)式(1)做出如下假設(shè):假設(shè)1系統(tǒng)的輸出信號和參考信號對時間t連續(xù)可微。假設(shè)2系統(tǒng)所有狀態(tài)可測。假設(shè)3系統(tǒng)相對階為ρ,且零動態(tài)穩(wěn)定。定義如下優(yōu)化性能指標(biāo):J=12∫Τ0eΤ(t+τ)e(t+τ)dτ(2)式中:T為滾動預(yù)測時間段,跟蹤誤差為e(t+τ)=y(t+τ)-w(t+τ)(3)式中:y(t+τ)為預(yù)測時間段的預(yù)測輸出;w(t+τ)為預(yù)測時間段的期望輸出。非線性預(yù)測控制采取的是滾動優(yōu)化的控制算法,通過對性能指標(biāo)式(2)求最優(yōu)來確定未來的控制量,以達到系統(tǒng)式(1)的輸出y(t)最優(yōu)跟蹤期望參考軌跡w(t)的目的。2非線性預(yù)測控制器的設(shè)計2.1u[r-1]非線性函數(shù)控制矢量u的控制階取為r,將系統(tǒng)輸出求導(dǎo)至ρ+r次,則有˙y=Lfh(x)?y[ρ-1]=Lρ-1fh(x)y[ρ]=Lρfh(x)+LgLρ-1fh(x)u?y[ρ+r]=Lρ+rfh(x)+p1(u,x)+?+p2(˙u,u,x)+pr(u[r-1],?,u,x)+LgLρ-1fh(x)u[r]}(4)式中:p1,p2,…,pr為關(guān)于u,˙u,…,u[r-1]的復(fù)雜非線性函數(shù),Lifh(x)為y對f(x)的第i階Lie導(dǎo)數(shù):{Lfh(x)=(?h/?x)Τf(x)L2fh(x)=[?((?h/?x)Τf(x))/?x]Τf(x)?LgLρ-1fh(x)的定義與Lifh(x)類似:LgLρ-1fh(x)=[?…((?h/?x)Tf(x))/?x]Tg(x)在滾動預(yù)測時域內(nèi),任一時刻τ的輸出y(t+τ)可以近似用Taylor級數(shù)表示為y(t+τ)?Γ(τ)Y(t)(5)Γ(τ)=[1τ?τρ+r(ρ+r)!](6)式中:{τ=diag(τ,?,τ)?τ∈Rm×mY(t)=[y˙y?y[ρ+r]]Τ同理,參考軌跡w(t+τ)也可以表示為w(t+τ)?Γ(τ)W(t)(7)式中:W(t)=[w˙w?w[ρ+r]]Τ。2.2預(yù)測控制律根據(jù)式(4)、式(5)和式(7),改寫性能指標(biāo)式(2)為J=12[Y(t)-W(t)]Τ∫Τ0ΓΤ(τ)Γ(τ)dτ(Y(t)-W(t))(8)由此可以推導(dǎo)出非線性系統(tǒng)式(1)閉合解析形式的預(yù)測控制律為u=-(G(x))-1(F(x)+ΚΜρ-w[ρ])(9)式中:F(x)=Lρfh(x);G(x)=LgLρ-1fh(x);其他矩陣和變量的含義參見文獻。3自適應(yīng)控制器的設(shè)計從前面的分析可以看出,預(yù)測控制律是建立在被控對象模型精確已知的基礎(chǔ)上,當(dāng)被控對象存在不確定或者未知函數(shù)時,控制器式(9)不能實現(xiàn)。為此,考慮利用自適應(yīng)模糊系統(tǒng)模糊建模,從而構(gòu)造基于模糊自適應(yīng)系統(tǒng)的預(yù)測控制律。模糊系統(tǒng)的逼近誤差和系統(tǒng)的不確定則通過魯棒自適應(yīng)控制器予以消除。這里的模糊控制器采用IF-THEN規(guī)則的模糊邏輯系統(tǒng),它運用單點模糊化、乘積推理和重心法去模糊。第i條規(guī)則為ri∶Ιfx1isAi1,andx2isAi2,and?andxnisAin,thenyisθi?i=1,?,l。l為模糊系統(tǒng)的規(guī)則數(shù),則模糊系統(tǒng)的輸出可以定義為y=θTξ(x)。θ=[θ1…θl]T為可調(diào)權(quán)值參數(shù);ξ(x)=[ξ1(x)…ξl(x)]為模糊基函數(shù),ξi(x)=∏nj=1μaij(xj)l∑i=1(∏nj=1μaij(xj))(10)式中:μaij(xj)為模糊系統(tǒng)的隸屬度函數(shù)。首先給出如下假設(shè)條件:假設(shè)4在緊集x∈Mx上,G(x)非奇異且范數(shù)有界,同時有σˉG≥b>0(11)式中:σˉG為矩陣G(x)的最小奇異值;b為任意非負常數(shù)。假設(shè)5未知函數(shù)F(x)和G(x)為光滑有界函數(shù)。在凸區(qū)域ΩθF和ΩθG上分別存在模糊系統(tǒng)的最優(yōu)權(quán)值θ*F和θ*G,使得模糊系統(tǒng)輸出?F(x/θF)和?G(x/θG)能以任意精度逼近F(x)和G(x),即在狀態(tài)可達的緊集x∈Mx上,存在θ*F=argminθF∈ΜθF[supx∈Μx|F(x)-?F(x/θF)|](12)θ*G=argminθG∈ΜθG[supx∈Μx|G(x)-?G(x/θG)|](13)式中:∥θ*F∥≤ˉθF;∥θ*G∥≤ˉθG;?F(x/θF)=θTFξF(x);?G(x/θG)=θΤGξG(x);ξF(x)∈Rl;ξG(x)∈Rl×m。定義模糊系統(tǒng)的逼近誤差為ε=F(x)-?F(x/θ*F)+[G(x)-?G(x/θ*G)]u(14)ˉε為ε的上界,不妨令εˉ≤ψ。則預(yù)測控制律式(9)改寫成u=up+uad(15)式中:up=-[G^(x/θG)]-1[F^(x/θF)+ΚΜρ-w[ρ]]uad=-[G^(x/θG)]-1vad?vad=ψ^2sΤψ^∥s∥+δs=e?ΤΡB}(16)式中:vad為提高系統(tǒng)性能的魯棒自適應(yīng)控制器,用來補償模糊系統(tǒng)逼近誤差ε給系統(tǒng)帶來的影響;ψ^為對ψ的估計值;δ為設(shè)計參數(shù);矩陣P,B和e?的定義在后面的分析中給出。定理1考慮形如式(1)的非線性系統(tǒng),通過選擇合適的預(yù)測時域T和控制階r,取形如式(15)的控制律,則在如下參數(shù)自適應(yīng)律:θ˙F=λF(ξF(x,u)s-ΚFθF)(17)θ˙G=λG(ξG(x,u)us-ΚGθG)(18)ψ^˙=λψ(∥s∥-Κψψ^)(19)的作用下,閉環(huán)系統(tǒng)一致最終有界。式中:λF,λG,λψ分別為模糊系統(tǒng)和魯棒控制器的自適應(yīng)學(xué)習(xí)律;KF,KG,Kψ為控制器設(shè)計參數(shù);‖s‖為Frobenius范數(shù)。證明將控制律式(15)和式(16)代入式(4)的y[ρ]中y[ρ]=F(x)-F^(x/θF)+[G(x)-G^(x/θG)]u+F^(x/θF)+G^(x/θG)u(20)可得誤差方程,其中第i個方程為ei[ρ]+ki,ρ-1ei[ρ-1]+?+ki,0ei=Fi(x)-F^i(x/θF)+[Gi(x)-G^i(x/θG)]u-vadi(21)式中:ki,j為矩陣K的第i行元素(i=1,…,m),取值由預(yù)測時域T,相對階ρ以及控制階r所決定。根據(jù)文獻中的推導(dǎo)過程,可以選擇合適的參數(shù)使得h(e)=e[ρ](t)+ki,ρ-1e[ρ-1](t)+?+ki,0(22)為Hurwitz多項式。式(21)可以寫成如下形式:e?˙=Ae?+B(θ?FΤξF(x)+θ?GΤξG(x)u+ε-vad)(23)式中:e?=[e?1?e?m]Τ∈Rmρe?i=[ei?eiρ-1]ΤA=diag(A1,?,Am)∈Rmρ×mρB=diag(B1,?,Bm)∈Rmρ×mAi=[010?0001?0?????-ki,0-ki,1-ki,2?-ki,ρ-1]Bi=[00?1]Τ(i=1,?,m)θ?F=θF*-θFθ?G=θG*-θG}構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù):V=12e?ΤΡe?+12tr(θ?FΤλf-1θ?F)+12tr(θ?GΤλG-1θ?G)+12λψψ?2(25)式中:ψ?=ψ-ψ^?ψ^為ψ的估計值;tr表示矩陣的跡;P=diag(P1,…,Pm)∈Rmρ×mρ,Pi為滿足下列等式的正定對稱陣:ΡiAi+AiΤΡi=-Qi(Qi=QiΤ＞0)(26)式中:Qi為設(shè)計參數(shù)。將V沿著系統(tǒng)的軌跡進行求導(dǎo)得V˙=e?ΤΡe?˙+tr(θ?FΤλF-1θ?˙F)+tr(θ?GΤλG-1θ?˙G)+λψ-1ψ?ψ?˙代入式(23)和式(26)化簡可得V˙≤-12λmin(Q)∥e?∥2+s(ε-ψ^2sΤψ^∥s∥+δ)+ΚFtr[θ?FΤ(θF*-θ?F)]+ΚGtr[θ?GΤ(θG*-θ?G)]-ψ?(∥s∥-Κψψ^)(27)式中:Q=diag(Q1,…,Qm)∈Rmρ×mρ?？紤]到tr[θ?FΤ(θF*-θ?F)]≤∥θ?F∥θˉF-∥θ?F∥2≤12(θˉF2-∥θ?F∥2)tr[θ?GΤ(θG*-θ?G)]≤∥θ?G∥θˉG-∥θ?G∥2≤12(θˉG2-∥θ?G∥2)ψ?ψ^≤12ψ2-12ψ?2}(28)以及s(ε-ψ^2sΤψ^∥s∥+δ)-ψ?∥s∥≤δ(29)綜合式(27)～式(29),得V˙≤-12λmin(Q)∥e?∥2-ΚF2∥θ?F∥2-ΚG2∥θ?G∥2-Κψ2ψ?2+ΚF2θˉF2+ΚG2θˉG2+Κψ2ψ2+δ≤-12a∥Ξ∥2+?(30)式中:a=min(λmin(Q),KF,KG,Kψ);Ξ=[e?Τ∥θ?F∥∥θ?G∥ψ?]Τ;?=ΚF2θˉF2+ΚG2θˉG2+Κψ2ψ2+δ。因此在緊集BΞ以外,有V˙<0BΞ={Ξ|∥Ξ∥≤2?/a}(31)閉環(huán)系統(tǒng)一致最終有界,證畢。備注值得注意的是,根據(jù)自適應(yīng)律式(18)在線調(diào)整θG有可能導(dǎo)致式(16)中的G^(x/θG)出現(xiàn)奇異情況,即G^(x/θG)不可逆。目前已經(jīng)提出了一些理論研究用于解決此類問題,本文主要考慮如下兩種方法:(1)對G^-1做如下修改:G^-1=G^Τ(ε1Ι+G^G^Τ)-1(32)設(shè)計參數(shù)ε1為較小的正實數(shù)。式(32)沒有改變控制器的結(jié)構(gòu),因此定理1的理論推導(dǎo)依然適用。(2)采用如下的投影算子:當(dāng)θG中的某一分量θGi=τi時,采用θ˙Gi={λG(ξGi(x,u)us-ΚGθGi)(ξGi(x,u)us-ΚGθGi>0)0(ξGi(x,u)us-ΚGθGi≤0)(33)否則θ˙G={λG(ξG(x,u)us-ΚGθG)(∥θG∥<ΜθG或∥θG∥=ΜθG?ξG(x,u)us≤0)proj(λGξG(x,u)us)(∥θG∥=ΜθG?ξG(x,u)us>0)(34)式中:proj(λGξG(x,u)us)=λG(ξG(x,u)us-ΚGθG)-λGθGθGΤξG(x,u)∥θG∥2us(35)4模擬研究4.1asv的運動方程仿真模型來自文獻?？紤]ASV做高超聲速再入飛行,因此主發(fā)動機推力設(shè)為0。根據(jù)時標(biāo)分離的原則將ASV的姿態(tài)運動方程分成內(nèi)外回路,內(nèi)回路的狀態(tài)變量xf為[pqr]T,氣動力矩[lmn]T為控制變量。外回路的狀態(tài)變量xs為[αβμ]T,控制變量為內(nèi)回路的輸入指令[pcqcrc]T,ASV的運動方程和其他參數(shù)參見文獻,這里不再贅述。這假設(shè)由于不確定因素和氣動參數(shù)的變化,ASV姿態(tài)運動方程的F(x)和G(x)未知。控制器的設(shè)計目標(biāo)為根據(jù)跟蹤優(yōu)化性能指標(biāo)式(2),利用本文提出的自適應(yīng)模糊預(yù)測控制算法,設(shè)計出姿態(tài)角跟蹤所需的氣動力矩,并通過分配算法將其映射成ASV的舵面指令信號[δaδeδr]T,使得ASV的姿態(tài)角[αβμ]T快速跟蹤期望的姿態(tài)角指令信號[αcβcμc]T。4.2控制設(shè)計(1)隸屬函數(shù)德型外回路的相對階ρ=1,選擇控制階r=0,預(yù)測時間段T=0.7s。根據(jù)2節(jié)內(nèi)容,xs每個變量采用7個模糊語言變量:Aj1(負大),Aj2(負中),Aj3(負小),Aj4(零),Aj5(正小),Aj6(正中),Aj7(正大),對應(yīng)的隸屬函數(shù)為μAji(xj)=exp[-(xj-μi)2](36)式中:i=1,…,7;j=1,2,3;μi=-0.5,-0.3,-0.1,0,0.1,0.3,0.5。這里分別使用7條模糊規(guī)則來逼近Fs和Gs中的每個變量:rl∶Ιfx1isA1i,andx2isA2i,andx3isA3i,thenyisFl?l=1,?,7模糊系統(tǒng)的權(quán)值初始值選擇為θF0=0,θG0的選擇要保證G^s非奇異,選擇如下:θG0=[1.01.00-0.5-1.0-0.5-1.0-1.0001.01.00-0.50.50-0.5-0.30.50-0.5]其他設(shè)計參數(shù)為Q=5I3×3,λF=10,λG=2,λψ=2,KF=1,KG=0.1,Kψ=1,δ=0.1。(2)模糊控制器的控制器設(shè)計內(nèi)回路控制器設(shè)計和外回路的設(shè)計方法相似,這里不再復(fù)述,由于Gf為常值矩陣,所以只需建立模糊系統(tǒng)逼近Ff,預(yù)測控制器的控制階r=0,預(yù)測時間段T=0.3s。模糊系統(tǒng)的權(quán)值初始值選擇為θF=0,其他設(shè)計參數(shù)選擇為Q=10I3×3,λF=100,λψ=2,KF=0.1,Kψ=1,δ=0.1。(3)asv在系統(tǒng)不確定情況下表現(xiàn)為表現(xiàn)在隨機應(yīng)變的姿態(tài)角隨機控制器設(shè)計再入飛行仿真初始條件:飛行速度為2500m/s,飛行高度為28km;初始姿態(tài)α=0°,β=1°,μ=4°,p=q=r=0;姿