粘彈性偏心梁的復(fù)模態(tài)解耦解耦

粘彈性偏心梁的復(fù)模態(tài)解耦解耦

當梁截面有兩個對稱軸時，截面的切割中心與形狀中心重疊，梁的彎曲運動和旋轉(zhuǎn)運動相互獨立。然而對于許多工程應(yīng)用中的梁結(jié)構(gòu),橫截面只有一個或沒有對稱軸,剪切中心和形心不重合,彎曲運動和扭轉(zhuǎn)運動之間存在耦合。在這種情況下,即使對于線彈性結(jié)構(gòu),也不能單純使用彎曲運動和扭轉(zhuǎn)運動的疊加來計算梁的動力響應(yīng)。近些年許多學者研究了彎扭耦合梁的自由振動和阻尼作用下動力響應(yīng)問題,但大多數(shù)研究僅考慮簡單阻尼并使用實模態(tài)法進行求解,到目前為止還沒有關(guān)于使用復(fù)模態(tài)法求解粘彈性偏心梁彎扭耦合問題的報道。粘彈性材料在工業(yè)界有著廣泛的用途,因此粘彈性系統(tǒng)的振動問題日益受到重視。粘彈性系統(tǒng)的自由振動和簡諧受迫振動通常利用待定系數(shù)法進行分析,但該方法應(yīng)用于任意激勵的響應(yīng)有一定的困難。模態(tài)分析法是處理振動問題的一種有效方法。實模態(tài)法的應(yīng)用受到阻尼可正交化條件的局限,而復(fù)模態(tài)法可以求解一般性阻尼問題,因而復(fù)模態(tài)法可有效用于解決粘彈性系統(tǒng)的振動問題。復(fù)模態(tài)法在有阻尼離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)振動問題中應(yīng)用已較廣泛,但在連續(xù)系統(tǒng)彎扭耦合振動問題中的應(yīng)用還較少。本文使用Kelvin-Voigt模型表示材料的粘彈性性質(zhì),對橫截面只有一個對稱軸的單向偏心粘彈性梁建立運動方程,利用復(fù)模態(tài)的正交性進行解耦,求解結(jié)構(gòu)在外部激勵下的一般動力響應(yīng)表達式。通過跟蹤邊界條件行列式零點的方法求解了結(jié)構(gòu)復(fù)頻率和復(fù)模態(tài)。通過算例分析了阻尼和彎扭耦合作用對復(fù)頻率、復(fù)模態(tài)和外部激勵的動力響應(yīng)等方面的影響。1狀態(tài)方程形式圖1所示薄壁梁結(jié)構(gòu)截面只有一個對稱軸,點s和點c分別為橫截面的剪切中心和形心,兩者之間的距離為xc。設(shè)軸向坐標y與梁的彈性軸(經(jīng)過梁每個橫截面的剪切中心)重合,x軸與對稱軸重合。EIx和GJ分別是z方向側(cè)向彎曲剛度和繞y軸的扭轉(zhuǎn)剛度,μ是單位長度梁的質(zhì)量,Is是單位長度梁繞y軸的極質(zhì)量慣性矩。剪切中心在z方向的彎曲位移是v(y,t),繞y軸的扭轉(zhuǎn)位移是ψ(y,t)?？紤]粘彈性阻尼影響,設(shè)應(yīng)力應(yīng)變滿足Kelvin-Voigt關(guān)系σ=Eε+Cε˙ετ=Gγ+Cγ˙γ(1)σ=Eε+Cεε˙τ=Gγ+Cγγ˙(1)式中σ、τ分別為正應(yīng)力和剪應(yīng)力;ε、γ分別為正應(yīng)變和剪應(yīng)變;Cε、Cγ分別為與正應(yīng)變和剪應(yīng)變相關(guān)的阻尼系數(shù)。上標圓點表示對時間t的微分。采用伯努利-歐拉梁模型,由Hamilton原理推導(dǎo)出粘彈性偏心梁單向彎扭耦合運動方程為EΙzu?″+CεΙz˙u?″+μ¨u-μxc¨ψ=f(y,t)-GJψ″-CγJ˙ψ″+ΙS¨ψ-μxc¨u=Τ(y,t)(2)式中上標撇號表示對坐標y的微分。為化簡運動方程方程,令C1=CεIz?4/?y4,C2=CγJ?2/?y2,K1=EIz?4/?y4,K2=GJ?2/?y2(3)為將彎扭耦合運動方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程形式,補充兩個恒等式μ˙u-μ˙u-μxc˙ψ+μxx˙ψ=0-μxc˙u+μxc˙u+ΙS˙ψ-Ιs˙ψ=0(4)由此,狀態(tài)方程形式的運動方程為A˙z+Bz=F(5)其中F={f0Τ0}Τz={u˙uψ˙ψ}ΤA=[C1μ0-μxcμ0-μxc00-μxc-C2ΙS-μxc0ΙS0]B=[Κ10000-μ0μxc00-Κ200μxc0-ΙS]狀態(tài)方程的A、B兩矩陣中包含了K1、-K2、C1和-C2四個微分因子。在適當邊界條件下(固支、簡支、自由),利用分部積分可以證明其均為自伴隨因子,A、B兩個矩陣對稱,具有如下性質(zhì)∫L0zT1Az2dy=∫L0zT2Az1dy∫L0zT1Bz2dy=∫L0zT2Bz1dy(6)設(shè)方程(5)的齊次解為z(y,t)=?(y)eλt,得到特征方程λA?+B?=0(7)求解特征方程(7)可得特征值λn和特征向量?n(y),由于A、B兩矩陣元素均為實數(shù),所以小阻尼情況下特征值λn和特征向量?n(y)為共軛成對復(fù)數(shù),其表達式如下λn=-δn+jωn(8)?n(y)=?Rn(y)+j?In(y)(9)其中j=√-1?δn、ωn為實數(shù),δn是粘彈性梁的衰減系數(shù),ωn為振動頻率。利用特征方程(7)和A、B兩矩陣的對稱性(6),可以證明得到特征向量關(guān)于A和B兩矩陣的加權(quán)正交關(guān)系∫L0?ΤmA?ndy={anm=n0m≠n(10)∫L0?ΤmB?ndy={bnm=n0m≠n(11)其中由特征方程(7)可以得到an和bn關(guān)系為λnan+bn=0(12)利用狀態(tài)空間特征向量對A和B兩矩陣的加權(quán)正交關(guān)系,可對運動方程進行解耦,轉(zhuǎn)化為常微分方程組。由于特征向量為復(fù)數(shù),所以稱為復(fù)模態(tài)法。把狀態(tài)空間向量z對復(fù)模態(tài)進行展開z(y,t)=∞∑n=1?n(y)qn(t)(13)把式(13)代入式(5),所得方程等號兩邊同時乘以?n(y),然后沿梁軸向方向上進行積分,利用復(fù)模態(tài)正交關(guān)系(10)、(11)可以導(dǎo)出˙qn(t)-λnqn(t)=1anfn(t)(n=1,2,?,∞)(14)其中fn(t)=∫L0?Tn(y)F(y,t)dy。式(14)是一階線性非齊次微分方程,給定初始條件qn(0),方程的解為qn(t)=qn(0)eλnt+∫t0fn(τ)eλn(t-τ)dτ(15)將式(15)代入復(fù)模態(tài)展開式(13)即可得到粘彈性梁彎扭耦合動力響應(yīng)。2懸臂梁邊界條件對粘彈性連續(xù)系統(tǒng)使用Wittrick-Williams方法,跟蹤邊界條件行列式零點,求解復(fù)頻率和關(guān)于位移的復(fù)模態(tài)。設(shè)u(y,t)=U(y)eλt,ψ(y,t)=Ψ(y)eλt,代入式(2)得到{EΙzU″″+λCεΙzU″″+λ2μU-λ2μxcΨ=0-GJΨ″-λCγJΨ″+λ2ΙSψ-λ2μxcU=0(16)式(16)中兩個方程可消去U或Ψ,轉(zhuǎn)化為一個六階微分方程{-(η1+1)(η3+1)D6+(η1+1)η4D4-(η3+1)η2D2+cη2η4}W=0(17)其中W=U或Ψ,D=d/dξ,ξ=y/L,η1=Cελ/E,η2=mλ2L4/EIz,η3=Cγλ/G,η4=ISλ2L2/GJ,c=1-mxc/IS設(shè)微分方程(17)的通解為W=erξ,代入式(17)得到其特征方程-(η1+1)(η3+1)r6+(η1+1)η4r4-(η3+1)η2r2+cη2η4=0(18)求解方程(18)得到r的六個復(fù)數(shù)根:r1,r2,…,r6。則彎曲位移U和扭轉(zhuǎn)位移Ψ通解為U(ξ)=6∑i=1αieriξΨ(ξ)=6∑i=1βieriξ(19)其中系數(shù)αi、βi(i=1,…,6)之間并不相互獨立,把式(19)代入式(16)可得βi=r4i+η1r4i+η2η2xcαi=γiαi(i=1,?,6)(20)懸臂梁邊界條件為:U(0)=U′(0)=Ψ(0)=U″(1)=U?(1)=Ψ′(1)=0,把式(19)代入邊界條件可以得到頻率特征方程[∏]6×6{α}6×1=0(21)當邊界條件矩陣[∏]6×6行列式為零時,{α}6×1才有非零解。該方程顯然為一超越方程,它含有無限個振動頻率和對應(yīng)的振型。本文用行列式搜索法求解出復(fù)頻率λn,代入到頻率特征方程可以很容易地求得相應(yīng)的振型。3彈性阻尼和偏心彎扭耦合作用下動力響應(yīng)問題本文對如圖2所示懸臂梁,考慮其自由端受簡諧集中力Psin(ωt)作用,計算粘彈性阻尼和偏心彎扭耦合作用下動力響應(yīng)問題。結(jié)構(gòu)參數(shù)如下EIz=2.096×10-1N·m2,GJ=3.028×10-1N·m2m=0.2kg·m-1,L=0.432m,IS=4.838×10-5kg·mxc=1.693×10-3m3.1復(fù)頻率方面特征首先對無阻尼和粘彈性阻尼兩種情況,分別求解彎扭耦合振動頻率和復(fù)頻率,同時與不考慮偏心作用單純彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動進行對比。粘彈性阻尼參數(shù)為:Cε=0.01E、Cγ=0.001G。由表1可知,無阻尼情況下,彎扭耦合振動頻率基本上等于單純彎曲和單純扭轉(zhuǎn)振動頻率的疊加。第1、2、4、5階彎扭耦合振動頻率靠近單純彎曲振動頻率,而第3、6階彎扭耦合振動頻率靠近單純扭轉(zhuǎn)振動頻率。在粘彈性阻尼作用下,隨振型階數(shù)的增加,復(fù)頻率中(不含共軛)衰減系數(shù)δ不斷增大,振動頻率ω不斷減小,同時與無阻尼情況之間的差值逐步加大。與有限元方法計算結(jié)果對比,驗證了本文方法結(jié)果準確性。由于復(fù)模態(tài)為復(fù)數(shù),為方便直觀對比,取復(fù)模態(tài)的絕對值同時引入實部正負號。同時由于彎曲與扭轉(zhuǎn)振型之間相差較大,所以彎扭耦合振型中扭轉(zhuǎn)分量乘以偏心距離xc。圖中線1、線2分別是彎扭耦合振型中彎曲分量、扭轉(zhuǎn)分量。如圖3所示,第1、2、4、5階彎扭耦合振幅中彎曲起主導(dǎo)性作用,第3、6階彎扭耦合振型中彎曲部分和扭轉(zhuǎn)部分大小相近,彎扭耦合作用明顯。由圖4考察粘彈性梁彎扭耦合振動復(fù)模態(tài)中彎曲和扭轉(zhuǎn)分量的幅角,可以看出同一階模態(tài)中彎曲分量在沿梁長度方向上各點幅角相同或者相差180度,模態(tài)中扭轉(zhuǎn)分量也有同樣性質(zhì)。同時,彎曲分量和扭轉(zhuǎn)分量之間,在第1、2、4和5大部分位置上相差180度,在第3和6階大部分位置相差0度。綜合復(fù)頻率、復(fù)模態(tài)幅值和幅角三方面特征可以看出:彎扭耦合振動頻率分布大體上等于單純彎曲和扭轉(zhuǎn)頻率的疊加;在彎曲振動起主導(dǎo)作用的情況下,結(jié)構(gòu)在扭轉(zhuǎn)自振頻率附近的彎扭耦合作用明顯,同時彎扭耦合復(fù)振型中彎曲和扭轉(zhuǎn)分量的幅角大體上相差0度,保持同步。3.2種驅(qū)動頻率對彎扭耦合作用的影響本文在懸臂梁自由端施加簡諧集中力Psin(ωt),集中力通過梁橫截面剪切中心。分析其驅(qū)動頻率ω接近第1、3階彎扭耦合振動頻率時動力響應(yīng)特性。第一種情況,驅(qū)動頻率ω=19(Rad/s),接近第一階單純彎曲頻率,振型以彎曲分量占主導(dǎo),彎扭耦合作用不明顯。由圖5,6可知彎曲位移響應(yīng)起主導(dǎo)作用,同時彎曲和扭轉(zhuǎn)位移響應(yīng)反相。第二種情況,驅(qū)動頻率ω=290(Rad/s),接近第三階彎扭耦合頻率(第一階單純扭轉(zhuǎn)頻率),彎扭耦合作用明顯。由圖7,8可知彎曲位移較小,扭轉(zhuǎn)作用明顯,同時彎曲和扭轉(zhuǎn)位移響應(yīng)同相。計算表明,雖然施加的集中力通過剪切中心,當作用力為靜力時不會引起扭轉(zhuǎn)位移;但在進行動力響應(yīng)分析時,由于結(jié)構(gòu)剪切中心和質(zhì)心的偏移引起的彎扭耦合作用,使得扭轉(zhuǎn)位移也參與動力響應(yīng)。4彎扭耦合作用本文針對粘彈性梁彎扭耦合振動問題使用復(fù)模態(tài)