壓電介質(zhì)平面問題基本方程的一般解

壓電介質(zhì)平面問題基本方程的一般解

壓電介質(zhì)平面問題的基本解由于力學(xué)效果和力學(xué)變形的特殊性能，壓迫材料在各種傳感器和機(jī)械設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用。近年來，這項(xiàng)工作的研究不斷深入，關(guān)于壓力材料的誤差、混合問題和有限的方法取得了許多重要進(jìn)展?；窘饣蚋窳趾瘮?shù)在壓電材料的斷裂、夾雜以及數(shù)值計(jì)算等研究工作中占有重要作用.Deeg和Chen分別通過Radon變換和三重Fourier變換給出了各向異性介質(zhì)的三維基本解.它們都是以單位圓上的線積分形式表示的.Dunn將文的工作退化到橫觀各向同性,并且給出了顯式解,但明顯地不簡(jiǎn)潔實(shí)用.對(duì)于壓電介質(zhì)平面問題,Sosa和Castro曾用狀態(tài)空間法研究過層狀結(jié)構(gòu)和半平面邊界上作用集中載荷的問題,得到了顯式解.Lee和Jiang用二重Fourier變換法求解平面問題的基本解,對(duì)第一組特征根給出了有限形式的解,由于二重Fourier逆變換的復(fù)雜運(yùn)算,也使得這組解在形式上顯得非常繁瑣和難于校核.孟慶元和杜善義也給出了壓電介質(zhì)平面問題的基本解,但只是針對(duì)彈性各向同性問題.綜觀以上的工作,無論是三維問題還是平面問題他們都沒有給出一種容易理解、既廣泛又方便的供邊界元法應(yīng)用的基本解,同時(shí),也沒有論及材料特性各種不同情形的基本解.本文首先導(dǎo)出基本方程由三個(gè)位移函數(shù)構(gòu)成的一般解,然后由狀態(tài)方程出發(fā),利用一般解和Fourier變換方法,得到了該狀態(tài)方程在Fourier變換意義下的通解,對(duì)于單位集中力和單位點(diǎn)電荷情形分別求解,給出了壓電介質(zhì)平面問題各種情形下有限形式的基本解.其中s1s2=s3和s1=s2=s3兩種情形的基本解是首次報(bào)導(dǎo).1u3000方程的通解按照Sosa和Castro的文章可以得到二維壓電介質(zhì)的控制方程c11?2u?x2+c44?2u?z2+(c13+c44)?2w?x?z+(e15+e31)?2φ?x?z+f1=0(c13+c44)?2u?x?z+c44?2w?x2+c33?2w?z2+e15?2??x2+e33?2φ?z2+f2=0-(e15+e31)?2u?x?z-e15?2w?x2-e33?2w?z2+ε11?2φ?x2+ε33?2φ?z2+f3=0}(1)式中u,w是位移分量,ue001φ是電勢(shì),f1=fx,f2=fz和f3=ρf分別是單位體積力分量和自由電荷密度.方程(1)的通解可以寫成如下形式uj=3∑i=1ΔijFi(j=1,2,3)(2)(a?6?z6+b?6?z4?x2+c?6?z2?x4+d?6?x6)Fi=-fi(i=1,2,3)(3)式中u1=u,u2=w,u3=ue001φ和Δ11=m1?4?x4+m2?4?x2?z2+m3?4?z4Δ12=Δ21=-h1?4?x3?z-h2?4?x?z3Δ13=-Δ31=m4?4?x3?z+m5?4?x?z3Δ22=c11ε11?4?x4+h3?4?x2?z2+c44ε33?4?z4Δ23=-Δ32=c11e15?4?x4+h4?4?x2?z2+c44e33?4?z4Δ33=c11c44?4?x4+n1?4?x2?z2+c44ε33?4?z4}(4)a=h7,b=-h6-h10,c=h5-h9,d=h8(5)系數(shù)hi和以后出現(xiàn)的系數(shù)均列于附錄.2種受拉壓的情況按照Sosa和Castro的文章有狀態(tài)空間方程?σ?z=Aσ+f(6)式中σ={σz,τxz,Dz,w,u,φ}Τ(7)f={-fz,-fx,ρf,0,0,0}Τ(8)A=[0-??x0000A21??x0A23??x0A25?2?x200A32??x000A36?2?x2A410A430A21??x00A520-??x00A430A630A23??x0](9)以及A21=-αγ,A23=-βγ,A25=c13α+e31βγ-c11,A32=-e15c44A36=κc44,A41=ε33γ,A43=e33γ,A52=1c44,A63=-c33γα=c13ε33+e31e33,β=c13e33-c33e31,γ=c33ε33+e233,κ=e215+c44ε11}(10)顯然,方程(6)和方程(3)一樣可分三種受力情形來求解,即1)fx≠0,fz=ρf=0;2)f2≠0,fx=ρf=0;3)ρf≠0,fx=fz=0.引入Fourier變換ˉF(ξ)=1√2π∫+∞-∞F(x)eiξxdx(11)對(duì)式(6)實(shí)施Fourier變換,得dˉ襕dz=ˉAˉσ+ˉf(12)根據(jù)常微分方程組的一般理論,式(12)的通解形式為ˉσ(z)=X(z)Κ+X(z)∫zz0X-1(s)ˉf(s)ds(13)式中K為待定常數(shù)向量,X(z)為方程組(12)的基礎(chǔ)解系矩陣.對(duì)式(3)的齊次方程作Fourier變換,得到∏3i=1(d2dz2-s2iξ2)ˉFj=0(j=1,2,3)(14)其中s2i(i=1,2,3)是特征方程:as6-bs4+cs2-d=0的三個(gè)根,并假定si的實(shí)部大于零.按特征根的三種情形,寫出方程(14)的通解(a)si互不相等情形ˉFj=3∑i=1(ki1esi|ξ|z+ki2e-si|ξ|z)(15a)(b)s1≠s2=s3情形ˉFj=∑i=1,3(ki1esi|ξ|z+ki2e-si|ξ|z)+k21zes3|ξ|z+k22ze-s3|ξ|z(15b)(c)s1=s2=s3情形ˉFj=3∑i=1(ki1esi|ξ|z+ki2e-si|ξ|z)zi-1(15c)對(duì)式(2)進(jìn)行Fourier變換,并將式(15)代入,則得到ˉu,ˉw,ˉφ和σˉz,τˉxz,Dˉz的三組表達(dá)式,它們都可寫成如下形式σˉ(z)=X(z)Κ(16)式中X(z)為六階函數(shù)矩陣,對(duì)三種受力情況是不一樣的,K是待定常數(shù)向量.3s13.3.3.3利用z→±∞的條件確定式(13)中的K,對(duì)各種情況完成Fourier反變換,分別給出了si互不相等,s1≠s2=s3和s1=s2=s3三種情形下的解.需要指出的是,對(duì)z≥0和z<0兩區(qū)域進(jìn)行反變換其結(jié)果一致.設(shè)fi=Piδ(x)δ(z),按uj=∑i=13uijΡi的形式將解寫出,得到(a)當(dāng)si互不相等時(shí)u=1π[Ρ1De11∑j=13sj1t(2j)11ln,rj+Ρ2De12∑j=13sj2t(2j)21arctg,xzj-Ρ3De13∑j=13sj3t(2j)31arctg,xzj]w=1π[Ρ1De11∑j=13dj1t(2j)11arctg,xzj+Ρ2De12∑j=13dj2t(2j)21ln,rj-Ρ3De13∑j=13dj3t(2j)31ln,rj]φ=1π[Ρ1De11∑j=13gj1t(2j)11arctg,xzj+Ρ2De12∑j=13gj2t(2j)21ln,rj-Ρ3De13∑j=13gj3t(2j)31ln,rj]}(17)式中zj=sjz,rj2=x2+zj2,(j=1,2,3).(b)當(dāng)s1s2=s3時(shí)u=1π{Ρ1De21[s11t212ln,r1-s31t412zz3r32+(s31t612-n531t412)ln,r3]+Ρ2De22[s12t222arctg,xz1+s32t422xzr32+(s32t622-n532t422)arctg,xz3]-Ρ3De23[s13t232arctg,xz1+s33t432xzr32+(s33t632-n533t432)arctg,xz3]}w=1π{Ρ1De21[d11t212arctg,xz1+d31t412xzr32+(d31t612-n431t412)arctg,xz3]+Ρ2De22[d12t222ln,r1-d32t422zz3r32+(d32t622-n432t422)ln,r3]-Ρ3De23[d13t232ln,r1-d33t432zz3r32+(d33t632-n433t432)ln,r3]}φ=1π{Ρ1De21[g11t212arctg,xz1+g31t412xzr32+(g31t612-n631t412)arctg,xz3]+Ρ2De22[g12t222ln,r1-g32t422zz3r32+(g32t622-n632t422)ln,r3]--Ρ3De23[g13t232ln,r1-g33t432zz3r32+(g33t632-n633t432)ln,r3]}}(18)(c)當(dāng)s1=s2=s3時(shí)u=1π{Ρ1De31[(s11t213-n531t413+l551t613)ln,r1-(s11t413-2n531t613)zz1r12-s11t613z2z12-x2r14]+Ρ2De32[(s12t423-2n532t623)xzr12+s12t623z22xz1r14]-Ρ3De33[(s13t433-2n533t633)xzr12+s13t633z22xz1r14]}w=1π{Ρ1De31[(d11t413-2n431t613)xzr12+d11t613z22xz1r14]+Ρ2De32[(d12t223-n432t423+l452t623)ln,r1-(d12t423-2n432t623)zz1r12-d12t623z2z12-x2r14]-Ρ3De33[(d13t233-n433t433+l453t633)ln,r1-(d13t433-2n433t633)zz1r12-d13t633z2z12-x2r14]}φ=1π{Ρ1De31[(g11t413-2n631t613)xzr12+g11t613z22xz1r14]+Ρ2De32[(g12t223-n632t423+l652t623)ln,r1-(g12t423-2n632t623)zz1r12-g12t623z2z12-x2r14]-Ρ3De33[(g13t233-n633t433+l653t633)ln,r1-(g13t433-2n633t633)zz1r12-g13t633z2z12-x2r14]}}(19)在上述解中令Pi=1,即得基本解,這時(shí)由附錄中的系數(shù),不難發(fā)現(xiàn)有如下的關(guān)系u12=u21,u23=-u32,u13=-u31(20)例如,對(duì)si互不相等時(shí)的情形,有d11t211De11=s12t221De12=h1-h2s122c44(c33ε33+e332)(s12-s22)(s12-s32)等4壓電介質(zhì)平面問題本文得到了由三個(gè)位移函數(shù)Fi組成的一般解(2)和(3),對(duì)狀態(tài)空間方程實(shí)施變換后,并全面地研究了方程(14)的通解,求得方程組(12)對(duì)應(yīng)的基