梁的彈塑性平面彎曲分析

梁的彈塑性平面彎曲分析

自1994年美國(guó)mathmatgew以來(lái)，工作組已成為世界上最受歡迎的軟件之一。除了傳統(tǒng)的交互式編程外，它還提供了豐富可靠的矩陣操作、圖形繪制、數(shù)據(jù)處理、圖像處理、語(yǔ)言編程等實(shí)用工具。根據(jù)不同的nb，出現(xiàn)了幾種應(yīng)用工具，它們廣泛應(yīng)用于不同的項(xiàng)目領(lǐng)域，顯示出通用語(yǔ)言一般難以比較的優(yōu)勢(shì)。在歐美高等院校,Matlab已經(jīng)成為基本的教學(xué)工具和理工科大學(xué)生必須掌握的基本技能。在設(shè)計(jì)研究單位和工業(yè)部門,Matlab被廣泛地用于研究和解決各種具體工程問(wèn)題。塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)重要分支,也是機(jī)械、材料、土木工程的必要理論基礎(chǔ),是一門專業(yè)技術(shù)課程,受到了各工程專業(yè)的重視。然而,由于材料的塑性性質(zhì)是不可逆的和非線性的,在數(shù)學(xué)處理上要比彈性力學(xué)困難得多,在塑性力學(xué)教材中需引入大量物理的、數(shù)學(xué)的新概念和繁瑣的公式。使得在教學(xué)過(guò)程中老師講解困難,學(xué)生難以掌握,故教學(xué)方法、手段及實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)在該門課程教學(xué)中就尤其重要。在塑性力學(xué)教學(xué)過(guò)程中,梁的彈塑性平面彎曲分析包括了塑性力學(xué)解題的全部過(guò)程。在求解彈塑性問(wèn)題的過(guò)程中,需要找出彈塑性區(qū)的分界線,即將物體分為彈性區(qū)和塑性區(qū)兩部分。在“彈性區(qū)”材料的物理關(guān)系服從廣義虎克定律;在“塑性區(qū)”則要求應(yīng)力分量的組合滿足屈服條件;在“彈塑性的分線界上”應(yīng)滿足應(yīng)力和應(yīng)變的連續(xù)條件。由于機(jī)械設(shè)備中的許多構(gòu)件都屬于這類問(wèn)題,所以對(duì)這類問(wèn)題的研究有很大的實(shí)際意義。目前教科書(shū)關(guān)于梁的彈塑性平面彎曲分析都是從理論上進(jìn)行了公式的推導(dǎo)和簡(jiǎn)單的分析示意圖,而梁在外載荷持續(xù)增長(zhǎng)時(shí),從彈性到彈塑性直至失效的過(guò)程,并沒(méi)有直觀地給出,因此如果能夠直觀地給出其變化的全過(guò)程,學(xué)生會(huì)更好地理解彈塑性梁的平面彎曲概念。一、梁中最大彎矩的數(shù)值對(duì)于理想的彈塑性材料的矩形梁的彎曲情況,當(dāng)外荷載不斷增加到某一數(shù)值時(shí),梁中最大彎矩的截面上最大應(yīng)力點(diǎn)開(kāi)始屈服,然后塑性區(qū)逐漸對(duì)稱地從上下兩面開(kāi)始擴(kuò)展,最后整個(gè)截面進(jìn)入塑性區(qū)。截面上的應(yīng)力分布也隨著進(jìn)入塑性階段的不同,可能有三種情況(見(jiàn)圖1)。1.雙三角彈性狀態(tài)隨著載荷的增加,危險(xiǎn)截面上、下邊緣處的最大正應(yīng)力首先達(dá)到了屈服極限,此時(shí)危險(xiǎn)截面上、下邊緣處的材料開(kāi)始屈服(如圖1a雙三角表示的彈性狀態(tài)),相應(yīng)的彎矩Me為彈性極限彎矩,其值為:2.雙三角形彈塑性區(qū)危險(xiǎn)截面首先出現(xiàn)塑性變形后,隨著載荷的繼續(xù)增加,塑性變形向危險(xiǎn)截面兩側(cè)擴(kuò)大,同時(shí)危險(xiǎn)截面靠近上、下邊緣部分應(yīng)力達(dá)到,相繼屈服,形成塑性區(qū),而中間部分仍處在彈性階段,為彈性區(qū)(如圖1b表示的雙梯形彈塑性狀態(tài))。此時(shí)彈性區(qū)與塑性區(qū)交界處離中性軸的距離Zs為:3.塑性極限狀態(tài)隨著載荷的繼續(xù)增加,塑性區(qū)擴(kuò)大到整個(gè)危險(xiǎn)截面,各點(diǎn)正應(yīng)力均達(dá)到,梁處于塑性極限狀態(tài)(如圖1c雙矩形表示的塑性極限狀態(tài)),相應(yīng)的彎矩Ms為極限彎矩。其值為:由于材料是理想彈塑性的,危險(xiǎn)截面上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力均保持為,所以截面上的彎矩保持不變,而截面的轉(zhuǎn)動(dòng)卻已經(jīng)不受限制,這時(shí)梁已經(jīng)成為用鉸鏈把兩根剛桿連接起來(lái)的“機(jī)構(gòu)”,顯然梁已經(jīng)失去承載能力。二、梁的彎曲分析討論了簡(jiǎn)支梁受集中載荷和均布載荷作用的情況,并以Matlab為工具,編制了梁的彎曲分析通用仿真程序,由于篇幅有限,仿真程序略。1.彈性區(qū)域與塑性區(qū)域的本構(gòu)模型設(shè)有理想彈塑性材料梁,梁長(zhǎng)為2l,兩端簡(jiǎn)支,跨度中央受集中力P作用,如圖2a所示。根據(jù)梁的彎矩圖可知,橫截面上的彎矩M(x)為:當(dāng)載荷P逐漸增大時(shí),將首先出現(xiàn)塑性變形;隨著載荷繼續(xù)增長(zhǎng),塑性區(qū)域繼續(xù)擴(kuò)大,而彈性區(qū)域相應(yīng)地減小,這時(shí),彈性區(qū)域與塑性區(qū)域的交界處為二次拋物線(如圖2b所示)。我們以桿長(zhǎng)為30m,矩形截面的尺寸為h=2m,b=1m,材料的=200MPa為例,調(diào)用梁的彎曲分析通用仿真程序,得到了圖3和表1。由圖3可知兩塑性區(qū)域最后在梁軸中點(diǎn)連接起來(lái),達(dá)到截面全部塑性狀態(tài),此時(shí)Mmax/Ms=1,此時(shí)的荷載P稱為極限荷載,其值Ps=26666.6KN?？梢?jiàn),載荷的P變化范圍為0<P<26666.6KN。由圖3也可以看出,塑性區(qū)域占梁跨度的,即-5m~5m范圍內(nèi)。2.梁截面塑性分析設(shè)有理想彈塑性材料梁,梁長(zhǎng)為2l,兩端簡(jiǎn)支,受均布載荷q作用,如圖2b所示。根據(jù)梁的彎矩圖可知,橫截面上的彎矩為:當(dāng)載荷q逐漸增大時(shí),中央截面將首先出現(xiàn)塑性變形;隨著載荷q增長(zhǎng),塑性區(qū)域逐漸擴(kuò)大,彈性區(qū)域則相應(yīng)地減小(如圖2b所示)。我們依然以梁長(zhǎng)為30m,矩形截面的尺寸為h=2m,b=1m,材料的σs=200MPa為例,調(diào)用梁的彎曲分析通用仿真程序,得到了圖4和表2。表2均布載荷q和Mmax/Ms之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系由圖4可知兩塑性區(qū)域最后在梁軸中點(diǎn)連接起來(lái),達(dá)到截面全部塑性狀態(tài),此時(shí)Mmax/Ms=1,此時(shí)的荷載q稱為極限荷載,其值qs=1777.77KN/m?？梢?jiàn),載荷q的變化范圍為0<q<1777.77KN/m。由圖4也可以看出,塑性區(qū)域占梁跨度的,即-8.66m~8.66m范圍內(nèi)。3.均布梁受力分析從表1我們得到了集中載荷的極限值,PS=26666.6KN;從表2可知均布載荷的極限值為qS=1777.77KN/m,梁長(zhǎng)為30m,均布梁承受的載荷極限值等效為QS=q×l=53333.1KN。可見(jiàn),QS=2PS,即相同的梁可以承受更大的均布力;從圖3可以知道,集中力作用的梁塑性區(qū)域占梁跨度的3,即-5m~5m范圍內(nèi);由圖4也可以看出,均布力作用的梁塑性區(qū)域占梁跨度的,即-8.66m~8.66m范圍內(nèi)?？梢?jiàn),雖然均布力的等效極限力是集中力的2倍,但其塑性區(qū)域卻是集中力作用梁的塑性區(qū)域的倍。三、解決工程實(shí)際問(wèn)題的能力提高以MATLAB為工具對(duì)彈塑性梁的平面彎曲進(jìn)行