高等代數(shù)專插本試卷總匯

./試題一考核課程：《高等代數(shù)》〔上考核類型：考試考核形式：閉卷學(xué)生院系：年級：試卷：題號一二三四五六七總分得分得分得分一、判斷題〔在括號里打"√"或"×",每小題2分,共20分若整系數(shù)多項式在有理數(shù)域可約,則一定有有理根．〔若、均為不可約多項式,且,則存在非零常數(shù),使得．〔對任一排列施行偶數(shù)次對換后,排列的奇偶性不變．〔若矩陣的所有級的子式全為零,則的秩為．〔若行列式中所有元素都是整數(shù),且有一行中元素全為偶數(shù),則行列式的值一定是偶數(shù)．〔若向量組〔線性相關(guān),則存在某個向量是其余向量的線性組合．〔若兩個向量組等價,則它們所包含的向量的個數(shù)相同．〔若矩陣、滿足,且,則．〔稱為對稱矩陣是指．若與都是對稱矩陣,則也是對稱矩陣．〔10．設(shè)級方陣、、滿足,為單位矩陣,則．〔得分得分二、填空題：〔每小題2分,共20分設(shè),則與的最大公因式為．設(shè),用除所得的余式是函數(shù)值．多項式、互素的充要條件是存在多項式、使得．4．一個級矩陣的行〔或列向量組線性無關(guān),則的秩為．5．線性方程組有解的充分必要條件是．6．設(shè)矩陣可逆,且,則的伴隨矩陣的逆矩陣為．7．設(shè)、為階方陣,則的充要條件是．8．設(shè)、都是可逆矩陣,若,則．9．若,則向量組必線性．10．一個齊次線性方程組中共有個線性方程、個未知量,其系數(shù)矩陣的秩為,若它有非零解,則它的基礎(chǔ)解系所含解的個數(shù)為．得分得分三、計算題〔每小題5分,共20分1．求多項式與的最大公因式．2．〔級3．設(shè),給出可逆的充分必要條件,并在可逆時求其逆．4．求向量組、、的一個極大線性無關(guān)組,并將其余向量表為該極大線性無關(guān)組的線性組合．得分得分四、設(shè)向量組線性無關(guān),而向量組線性相關(guān),證明：可以由線性表出,且表示法唯一．〔本大題10分得分五、設(shè)是一個秩為的矩陣,證明：存在一個秩為的得分矩陣,使．〔本大題10分得分六、〔10分設(shè),．得分〔1計算及；〔2證明：可逆的充分必要條件是；〔3證明：當(dāng)時,不可逆．〔本大題10分得分七、設(shè)線性方程組為得分討論為何值時,下面線性方程組有唯一解？無解？有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解〔要求用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系及它的特解形式表示其通解．〔本大題10分試題一參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)課程名稱：高等代數(shù)〔下執(zhí)筆人：胡付高一、判斷題〔每小題2分,共20分〔1×；〔2√；〔3√；〔4×；〔5√；〔6√；〔7×；〔8×；〔9×；〔10√．二、填空題〔每小題2分,共20分〔1；〔2；〔3；〔4；〔5系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等；〔6；〔7；〔8；〔9相關(guān)；〔10三、計算題〔每小題5分,共20分1．．注：本題一般用輾轉(zhuǎn)相除法求出最大公因式,如果分解因式,得到最大公因式,也給滿分．2．解：原式．3．解：因為,所以可逆的充分必要條件是．…〔2分的伴隨矩陣…〔4分故…〔5分注：本題在得到可逆時,求其逆矩陣可以采用初等變換法．院系負責(zé)人簽字4．由,可知為向量組的一個極大線性無關(guān)組,…〔3分且有．…〔5分注：本題也可以先說明其秩為2,故任意兩個向量都是極大線性無關(guān)組〔容易看出任意兩個向量線性無關(guān),或其它方法均可．四、證明〔1由線性相關(guān),存在不全為零的數(shù),使…〔2分又由線性無關(guān),得〔否則,線性相關(guān),矛盾,于是有；…〔5分〔2設(shè),,則,即,…〔8分由于線性無關(guān),故,即〔．…〔10分五、證明考慮齊次線性方程組,因為秩,故存在基礎(chǔ)解系,作矩陣,則,…〔6分由于的個列向量線性無關(guān),故有秩．…〔10分注：本題的另一證法是：由秩,存在可逆矩陣使,即,取,則．〔的取法不唯一．六、〔1,．…〔4分〔2由于,故可逆的充分必要條件是,即．…〔7分〔3當(dāng)時,由于,故不可逆．…〔10分注：對〔3直接證明的,只要方確,也給滿分．七、解由于系數(shù)行列式…〔2分〔1由克萊姆法則知,當(dāng)且時,方程組有唯一解；…〔4分〔2當(dāng)時,,方程組無解；…〔6分〔3當(dāng)時,方程組有無窮多解：…〔8分．…〔10分注：直接作初等變換,然后討論方程組解的情況亦可,根據(jù)相應(yīng)步驟給分．試題二一、判斷題：〔在括號里打"√"或"×",每小題2分,共20分1．任一排列施行一次對換后,其逆序數(shù)必增加1或減少1．〔×2．．〔×3．若行列式中所有元素都是整數(shù),則行列式的值一定是整數(shù)．〔√4．若矩陣的秩是,則的所有級的子式全不等于零．〔×5．若矩陣經(jīng)過初等變換化為矩陣,則．〔×6．若一組向量的和為零向量,則它們必線性相關(guān)．〔√7．任一線性方程組有解它的導(dǎo)出組有解．〔×8．若兩個向量組等價,則它們所包含的向量的個數(shù)相同．〔×9．若向量組〔線性相關(guān),則每個向量都是其余向量的線性組合．〔×10．一個非齊次線性方程組的兩個解〔向量之差一定是它的導(dǎo)出組的解．〔√二、填空題〔每小題2分,共20分1．排列的逆序數(shù)為．2．五級行列式中的一項在中的符號為負．3．級行列式按第列展開公式是．4．已知非零向量組、、兩兩線性相關(guān),則該向量組的秩為1．5．線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩．6．若矩陣中有一個級子式不為零,則秩．7．一個齊次線性方程組中共有個線性方程、個未知量,其系數(shù)矩陣的秩為,若它有非零解,則它的基礎(chǔ)解系所含解的個數(shù)等于．8．一個非齊次線性方程組記為〔Ⅰ,它的導(dǎo)出組記為〔Ⅱ,則〔Ⅰ的一個解與〔Ⅱ的一個解的差是〔Ⅰ的解．9．一個級矩陣的行〔或列向量組線性相關(guān),則的行列式等于0．10．兩個向量組等價是指它們可以相互線性表出．三、計算下列行列式〔每小題5分,共20分．〔1解原式．注：其它方法計算出結(jié)果的給滿分,方確而計算錯誤的,酌情給分．〔2解將所有列加到第1列上,則第1列與第4列成比例,故原式．注：本題也可以從第4行提取公因子,然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行,把第4行化為元素全為零,故原式．〔3；解將所有列全加到第1列并提起公因子,得原式．〔4〔解將所有行減去第1行,化為爪形行列式,得原式．注：本題也可以用加邊法化為爪形行列式計算．四、設(shè)線性方程組為：,試討論下列問題：〔1當(dāng)取什么值時,線性方程組有唯一解？〔2當(dāng)取什么值時,線性方程組無解？〔3當(dāng)取什么值時,線性方程組有無窮多解？并在有無窮多解時求其解．〔要求用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系及它的特解形式表示其通解〔共15分解線性方程組的系數(shù)行列式為〔1當(dāng),即且時,線性方程組有唯一解；〔2當(dāng)時,線性方程組無解；〔3當(dāng)時線性方程組有無窮多解,且其通解為．五、〔1設(shè)向量線性無關(guān),證明：向量線性無關(guān)；〔2證明：對任意4個向量,向量組都線性相關(guān)．〔共15分證明〔1設(shè),即,由于線性無關(guān),故有解之得,故也線性無關(guān)．…………〔8〔2由得,線性相關(guān)．六、設(shè)向量組線性無關(guān),而線性相關(guān),但不能由線性表出,證明：可以由線性表出,且表示法唯一．〔10分證明〔1先證可以由線性表出：因為線性相關(guān),所以存在不全為零的數(shù),使得．由于不能由線性表出,故必有,下證．用反證法：若,則,由于不全為零,故不全為零,與線性無關(guān)的假設(shè)矛盾,于是,得到．〔2次證表示法唯一：設(shè),,則,即,由于線性無關(guān),故,即〔,于是表示法唯一．七、〔附加題證明或否定下面命題：若三個向量兩兩線性無關(guān),則線性無關(guān)．并說明在三維矢量空間中的幾何意義．〔10分解本結(jié)論的幾何描述是：三個矢量〔向量兩兩不共線,則它們不共面．很明顯該結(jié)論是錯誤的,例如某平面上存在彼此不共線的三個矢量,但它們共面.注否定上述結(jié)論時,也可構(gòu)造反例,如等,或構(gòu)造三個二維向量,使它們兩兩線性無關(guān)．試題四題號一二三四五六七八總分得分一、判斷題〔每小題2分,共20分集合｛︱為整數(shù)｝是一個數(shù)域；〔設(shè)在數(shù)域上,則一定有；〔若整系數(shù)多項式無有理根,則在有理數(shù)域上一定不可約；〔設(shè)是級矩陣,是任意常數(shù),則或；〔設(shè)是一個4級排列,則與的奇偶性相同；〔設(shè)方程個數(shù)與未知量的個數(shù)相等的非齊次線性方程組的系數(shù)行列式等于0,則該線性方程組無解；〔任意等價向量組中所含向量的個數(shù)相等；〔任何齊次線性方程組都存在基礎(chǔ)解系；〔設(shè)都是維列向量,則；〔10．設(shè)都是級對稱矩陣,且,則與在復(fù)數(shù)域上合同．〔二、填空題：〔每小題2分,共14分1．設(shè)是多項式的三個根,則．2．四階行列式中,項的符號為．3．設(shè)矩陣可逆,且,則．4．設(shè)、為階方陣,則的充要條件是．5．設(shè)為矩陣,則齊次線性方程組有非零解的充要條件是：秩〔A．6．設(shè)是互異常數(shù),則線性方程組的解向量中分量．7．二次型是正定的充分必要條件是與滿足．三、計算〔每小題6分,共12分1．〔級2．設(shè),給出可逆的充分必要條件,并在可逆時求其逆．得分得分四、〔共10分化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,寫出所作的非退化的線性替換．并回答下列問題：〔1該二次型的正、負慣性指數(shù)及符號差是多少？〔2該二次型在復(fù)數(shù)域、實數(shù)域上的規(guī)形分別是什么？得分五、〔14分當(dāng)為何值時,下面線性方程組有解？并求解．得分得分六、〔10分設(shè)向量可以由線性表出,但不能由線性表出．證明：〔1可由向量組得分線性表出；〔2不能由線性表出．得分七、〔10分設(shè)是一個秩為的矩陣,證明：存在一個秩為的矩陣,使．得分得分八、〔10分證明：如果,,則．得分參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)〔試題四一．判斷題〔每小題2分1．×；2．√；3．×；4．×；5．√；6．×；7．×；8．×；9．√；10．√．二．填空題〔每小題2分,共14分1．；2．負號；3．；4．；5．；6．；7．．三．計算〔每小題6分,共12分原式………〔2分………〔4分………〔6分2．因為,所以可逆的充分必要條件是,………〔3分且………〔6分四．,令,則………〔2分再令,則………〔4分且所作的非退化的線性替換為．………〔6分〔1該二次型的正、負慣性指數(shù)及符號差分別是2,1,1．………〔8分〔2該二次型在復(fù)數(shù)域、實數(shù)域上的規(guī)形分別是與………〔10分五．解………〔2分〔1當(dāng)且時,方程組有唯一解………〔4分,,,；………〔7分〔2當(dāng)時,方程組無解；………〔9分〔3當(dāng)時,方程組有無窮多解：………〔11分………〔14分六．證明〔1因為可以由線性表出,所以存在不全為零的數(shù),使,………〔2分若,則可以由線性表出,矛盾．故,………〔4分從而有．………〔5分〔2〔反證法若可由線性表出,又由于可以由線性表出,得可以由線性表出,矛盾．故不能由線性表出．……〔10分七．證明考慮齊次線性方程組,因為秩,故存在基礎(chǔ)解系,作矩陣,則,且秩．………〔10分注1在構(gòu)造矩陣時,的后面列未必一定要取零向量,事實上,只要說明中每列都是線性方程組的解,且中含個線性無關(guān)的列向量即可．注2本題的另一證法是：由秩,存在可逆矩陣使,即,取,則八．證明由及,存在多項式〔,使,,………〔4分兩式相乘得,………〔8分所以有．………〔10分試題六班級：班級：姓名：學(xué)號：…………密……封………………線…………題號一二三四五六七八九十總分得分得分得分一、填空題〔每小題一、填空題〔每小題2分,共20分1．如果,,,則．2．兩個有限維線性空間、同構(gòu)的充分必要條件是．3．用表示維線性空間的所有線性變換構(gòu)成的線性空間,則．4．若,且,則的特征值為．5．設(shè)歐氏空間的正交變換A在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是,則．6．設(shè)是一個維歐氏空間,是中非零向量,,則．7．矩陣的最小多項式為．8．已知線性變換A在基下的矩陣為,則A在基下的矩陣為．9．在中,線性變換D<>,則D在基下的矩陣為．10．設(shè)6級矩陣的不變因子是,則的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是．二、選擇題〔每小題3分,共15分得分二、選擇題〔每小題3分,共15分得分1．下列集合構(gòu)成的子空間的是〔．；．；．．2．維線性空間的線性變換A可以對角化的充要條件是〔．A有個互不相同的特征向量；．A有個互不相同的特征根；．A有個線性無關(guān)的特征向量．3．對子空間,為直和的充要條件是〔．；．；．,．4．下列類型的矩陣一定相似于對角矩陣〔．正交矩陣；．特征值皆為實數(shù)的矩陣；．主對角元兩兩互異的上三角矩陣．5．的充要條件是〔三、〔共15分設(shè)為的基,且線性變換A在此基下的矩陣為〔1求A的特征值與特征向量；〔2是否可以對角化？如果可以,求正交矩陣使得為對角形．．、三、〔共15分設(shè)為的基,且線性變換A在此基下的矩陣為〔1求A的特征值與特征向量；〔2是否可以對角化？如果可以,求正交矩陣使得為對角形．得分得分四、〔10分設(shè)表示數(shù)域四、〔10分設(shè)表示數(shù)域上次數(shù)小于的多項式及零多項式作成的線性空間．〔1證明：是的一組基；〔2求上述的一組基到基的過渡矩陣．得分五、五、〔12分設(shè)A,且A2A．證明〔1A的特征值為０或１；〔2AA-1．得分得分六、〔8分設(shè)是歐氏空間六、〔8分設(shè)是歐氏空間的兩兩正交的非零向量組,證明它們線性無關(guān)．得分七、〔10分設(shè)是一個固定的七、〔10分設(shè)是一個固定的級矩陣,證明：〔1是的一個子空間；〔2當(dāng)為主對角元兩兩互異的對角矩陣時,寫出的維數(shù)及一組基．得分八、〔10分設(shè)八、〔10分設(shè)是歐氏空間的一組向量,記,證明：〔1如果使,,那么；〔2記,,那么．得分得分試題六參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題〔每小題2分,共20分〔1；〔2；〔3；〔4或；〔5；〔6；〔7；〔8；〔9；〔10．二、選擇題〔每小題3分,共15分〔1；〔2；〔3；〔4；〔5．三、〔1解,因此A的特征值為與．…〔4分對,可求出的一個線性無關(guān)的特征向量為,故得A的所有特征向量為,這里不為零．…〔6分對,求出的兩個線性無關(guān)的特征向量,,故A的所有特征向量為,或,這里、不全為零．…〔8分院系負責(zé)人簽字〔2由于有三個線性無關(guān)的特征向量,故可以對角化．…〔3分取,則…〔7分注：也可以指出是實對稱陣,故可以對角化．另外注意正交矩陣的取法不唯一．四、〔1證明〔方法1由于,只需證明線性無關(guān)：設(shè),令,得,又對等式兩邊求導(dǎo)后令,得,再求二階導(dǎo)數(shù),…,求階導(dǎo)數(shù),分別得到,于是是的一組基；…〔5分〔方法2已知是的一組基,求出中的矩陣,只需說明可逆,便得結(jié)論；〔方法3由數(shù)學(xué)分析中的泰勒定理可知,對于,都有又已知,故是的一組基．〔2所求過渡矩陣為．…〔10分五、證明〔1設(shè)A〔,則由A2A推出A２,從而,即得,于是或１；…〔6分〔2對,由AA,注意到AA,因此AA-1,于是AA-1,即得AA-1；…〔3分設(shè)AA-1,則,A,且A,推出A２,即得A,于是AA-1,故AA-1．…〔6分六、證明設(shè),由于,,故由,得,…〔5分而,所以,于是,．因此線性無關(guān)．…〔8分七、證明〔1因為,所以．…〔1分設(shè),由,得．…〔3分又設(shè),,由,得,因此是的一個子空間；…〔5分〔2當(dāng)為主對角元兩兩互異的對角矩陣時,與可換的矩陣也一定是對角矩陣,即是由所有對角矩陣作成的子空間,因此的一組基可取為,故．…〔10分八、證明〔1若,則有,于是,則；…〔5分〔2設(shè),則,從而,即,,因此有．…〔2分設(shè),則,對,設(shè),則,于是有,即．故．…〔5分試題八〔共12分敘述下列概念或命題：〔1線性相關(guān)；〔2極大線性無關(guān)組；〔3行列式按一行〔列展開定理.答：〔1向量組稱為線性相關(guān),如果有數(shù)域中不全為零的數(shù),使.注對如下定義也視為正確：如果向量組〔中有一個向量可由其余的向量線性表出,那么向量組稱為線性相關(guān)的.〔2一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關(guān)組,如果這個部分組本身是線性無關(guān)的,并且從這向量組中任意添加一個向量〔如果還有的話,所得的部分向量組都線性相關(guān).注對如下定義也視為正確：向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關(guān)組,是指：〔ⅰ線性無關(guān)；〔ⅱ可由線性表出.〔3行列式等于某一行〔列的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和.注用公式寫出按行〔或列展開定理亦可.判斷題：〔在括號里打"√"或"×",共20分1．．〔×2．若向量組〔線性相關(guān),則其中每個向量都是其余向量的線性組合．〔×3．在全部〔級排列中,奇排列的個數(shù)為．〔√4．若排列為奇排列,則排列為偶排列．〔×5．若矩陣的秩是,則的所有高于級的子式〔如果有的話全為零．〔√6．若一組向量線性相關(guān),則至少有兩個向量的分量成比例．〔×7．當(dāng)線性方程組無解時,它的導(dǎo)出組也無解．〔×8．對個未知量個方程的線性方程組,當(dāng)它的系數(shù)行列式等于0時,方程組一定無解．〔×9．等價向量組的秩相等．〔√10．齊次線性方程組解的線性組合還是它的解．〔√三、〔共18分計算行列式〔1解原式．注用其它方法計算出結(jié)果的給滿分,方確而計算錯誤的,酌情給分．〔2解將所有列加到第1列上,則第1列與第4列成比例,故原式．注本題也可以從第4行提取公因子,然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行,把第4行化為元素全為零,故原式．〔3〔．解原式．注本題也可按最后一列〔或行展開,得遞推式：,答案正確給滿分,有正確的遞推式但結(jié)果有誤,給3分．另外對按第一行〔或列展開者類似給分．四、設(shè)向量組,,,,．試求向量組的秩及其一個極大線性無關(guān)組,并將其余向量用這個極大線性無關(guān)組線性表出．〔10分解…………〔5分故向量組的秩為3,是一個極大線性無關(guān)組,并且…………〔8分,．…………〔10分注本題關(guān)于極大線性無關(guān)組答案中,除不能構(gòu)成極大線性無關(guān)組外,任何三個向量都是極大線性無關(guān)組,對其它方法求出極大線性無關(guān)組,但未得到線性表出式的給5分．五、討論取什么值時下列線性方程組有解,并求解．〔10分解方程組的增廣矩陣為,系數(shù)行列式為……〔2分當(dāng)且時,方程有唯一解,此時…………〔3分,故得解為；…………〔5分〔2當(dāng)時,增廣矩陣,無解；…………〔7分〔3當(dāng)時,增廣矩陣,有無窮多組解,通解為〔為自由未知量,或表成．……〔10分注本題也可以對增廣矩陣用初等行變換的方法討論．對唯一解及無窮多組解的表達式未能給出者,各扣2分．六、證明題：〔每小題10分,共30分1．證明：如果向量組線性無關(guān),而線性相關(guān),則向量可以由線性表示,且表示法唯一．〔10分．證明〔1由線性相關(guān),存在不全為零的數(shù),使…………〔2分又由線性無關(guān),得〔否則,線性相關(guān),矛盾…………〔4分于是,；…………〔5分〔2設(shè),,則,即,由于線性無關(guān),故,即〔．…………〔10分2．證明：若向量線性無關(guān),則也線性無關(guān)．并說明該結(jié)論對4個向量的情形是否成立．證明設(shè),即,…………〔2分由于線性無關(guān),故有解之得,…………〔5分故也線性無關(guān)．…………〔6分對4個向量的情形其相應(yīng)結(jié)論不成立,因為,由4個向量線性無關(guān),并不能得到向量線性無關(guān)的結(jié)論．注1由知,是線性相關(guān)的,對該問題未說明原因的,只要結(jié)論正確給滿分；注2如果認為對4個向量的情形其相應(yīng)結(jié)論也成立的,必須說明是指如下結(jié)論:若4個向量線性無關(guān),則向量也線性無關(guān)．該答案也給滿分,但僅說相應(yīng)結(jié)論成立,而未給出任何說明者,不得分．3．設(shè)是數(shù)域中個互不相同的數(shù),是數(shù)域中任一組給定的數(shù)．求證：〔1存在唯一的數(shù)域上的次數(shù)不超過的多項式,使,；〔2特別的,求出使,成立的次的多項式．證明〔1將,,代入,得…………〔2分由于系數(shù)行列式,…………〔4分故線性方程組有且僅有唯一解,即存在唯一的數(shù)域上的次數(shù)不超過的多項式,使,；…………〔5分〔2由克萊姆定理,,,,故使,成立的次的多項式為．…………〔10分注對〔2不用克萊姆定理,而直接觀察出的也給滿分．七、〔附加題證明或否定如下結(jié)論：若三個向量兩兩線性無關(guān),則線性無關(guān)．并說明在三維幾何空間中的意義．〔10分解本結(jié)論的幾何描述是：三個矢量〔向量兩兩不共線,則它們不共面．………〔5分很明顯該結(jié)論是錯誤的,例如某平面上存在彼此不共線的三個矢量,但它們共面．………〔10分注否定上述結(jié)論時,也可構(gòu)造反例,如等,或構(gòu)造三個二維向量,使它們兩兩線性無關(guān)．試題十及答案判斷題：〔每小題2分,共30分,在括號里打"√"或"×"零多項式的次數(shù)為零．〔×零多項式與的最大公因式為．〔√設(shè)且,使得,則為與的一個最大公因式．〔×４．零次多項式能整除任一多項式．〔√5．若,但不整除,則不整除．〔√6．設(shè),但,則．〔×７．若是的導(dǎo)數(shù)的重根,則為的重根．〔×８．設(shè),、為數(shù)域,如果在中與互素,則在中與也互素．〔√９．若,且,則．〔×10．若在數(shù)域上不可約,則在上沒有根．〔×11．設(shè),如果無有理根,則在上不可約．〔×12．若,則或．〔×13．設(shè)是不可約多項式,如果,則與有且僅有一個為零次多項式．〔√14．設(shè),且,則．〔√15．次實系數(shù)多項式的實根個數(shù)的奇偶性與的奇偶性相同．〔√二、填空題：〔每小題2分,共10分１．若,則-3,3,-1．２．若,均為上的不可約多項式,且,則與的關(guān)系是．３．若是的重根,則-5．４．用除所得的余數(shù)-18．5．已知為的一個根,那么的其余根是1,1-2i．三、計算題：〔8分求的根和標(biāo)準(zhǔn)分解式．解2．〔10分為何值時,有重根．解因為,作輾轉(zhuǎn)相除法,要使有重根,則必須,,若,則；,由于,當(dāng),即時．故當(dāng)或時,有重根．3．〔12分設(shè),．〔1用輾轉(zhuǎn)相除法求．〔2求,使．答案〔1；〔2回代得：,故取,,使．四、證明題：〔每小題10分,共30分1．設(shè),證明：〔1在上不可約；〔2至少有一個實根,但不是有理根．證明〔1令,則,取,由Eisenstein判別法知,在上不可約,從而在上不可約；注也可利用反證法證之：若可約,則能分解成兩個次數(shù)低的整系數(shù)多項式之積,或為1次與4次多項式之積,或為2次與3次多項式之積,都能推出矛盾,這里從略．〔2因為是奇次的,則必有一個實根,此根若是有理根,則在上可約,矛盾．注奇次多項式有實根可由數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)的介值定理證得,或?qū)⒃趯崝?shù)域上作標(biāo)準(zhǔn)分解,由于實數(shù)域上的不可約因式只有一次因式與二次不可約因式,故奇次多項式一定有一次因式,因此必有一個實根．另外,對沒有有理根的結(jié)論,可以對其所有可能的有理根進行直接檢驗得知．2．設(shè)不全為零,證明．證明設(shè),,由,又為與的最大公因式,故；反之,由,,又為與的最大公因式,故．又、均為首1多項式,從而．3．若整系數(shù)多項式有根,這里,則,．證明因為的根,則,為整系數(shù)多項式．由,即,,又,故有；由,得,同理可得．注可以由,得,,由于是本原多項式,故為整系數(shù)多項式,,,因此有,．試題十一及答案一、判斷題〔在括號里打"√"或"×",每小題2分,共20分１．若向量組與向量組都線性無關(guān),則,也線性無關(guān)；〔×2．維線性空間中任何個線性無關(guān)的向量都是的一組基；〔√3．對維線性空間中任何非零向量,在中一定存在個向量,使得作成的一組基；〔√4．三個子空間的和為直和的充要條件是；〔×5．把復(fù)數(shù)域看成實數(shù)域上的線性空間,它與是同構(gòu)的；〔√6．線性空間的兩組基到的過渡矩陣是可逆的；〔√7．的任意兩個子空間的交與并都是的子空間；〔×8．集合作成的子空間；〔×9．實對稱矩陣為半正定的充要條件是它的所有順序主子式都非負；〔×10．設(shè)元實二次型的正負慣性指數(shù)分別為,則必有．〔√二、填空題〔每小題2分,共20分1．如果,,,則．2．兩個有限維線性空間、同構(gòu)的充分必要條件是．3．兩個復(fù)對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等．4．設(shè)實二次型的秩為,負慣性指數(shù)為,符號差為,則、、的關(guān)系是．5．級實對稱矩陣的所有可能的規(guī)型是：.6．設(shè)基到基的過渡矩陣是,而基到基的過渡矩陣是,則到的過渡矩陣是．7．已知為線性空間的三個線性無關(guān)的向量,則子空間的維數(shù)為3．8．若,則．9．設(shè)三維線性空間的基到的過渡矩陣為,向量在基下的坐標(biāo)為,在在基下的坐標(biāo)為．10．元實二次型正定的充分必要條件是常數(shù)滿足．三、簡述下列定義〔共12分1．級矩陣、合同：如果存在可逆矩陣,使得2．子空間的和3．生成子空間4．子空間的直和：中每個向量的分解式〔是唯一的．四、〔10分設(shè)可由線性表出,但不能由線性表出,證明：．證明只需證明向量組與等價：易知可由與線性表示,另一方面,由于可由線性表出,故有,且,〔否則可線性表出,矛盾,于是,因而可由線性表出,故向量組與等價,最后不難得到結(jié)論．五、〔1討論：取什么值時,二次型是正定的．〔2證明當(dāng)時,上述二次型是半正定的．〔共14分解〔1二次型可化為,它對應(yīng)的矩陣是由二次型是正定的它的矩陣的所有順序主子式全大于零,可得到,,,它等價于,即二次型是正定的．〔2當(dāng)時,二次型可化為,故二次型是半正定的．注對〔2還可以用求二次型標(biāo)準(zhǔn)型的方法得到結(jié)論,求得它的正慣性指數(shù)為2,負正慣性指數(shù)為0．六、設(shè)、是兩個固定的級矩陣,證明：〔1是的一個子空間；〔2當(dāng)是主對角元兩兩互異的對角矩陣時,是什么樣的子空間,并求的維數(shù)及一組基〔可以只寫結(jié)果,不必說明理由．〔共14分解〔1因為,故,對,即,,得,于是,設(shè),又由,得到,因此的一個子空間；〔2是所有級對角矩陣作成的子空間,它的一組基可取為,．七、設(shè),,,〔1分別寫出生成子空間與的基和維數(shù)；〔2求的一組基和維數(shù)；〔3求的維數(shù)．〔共15分解〔1為的一組基,為的一組基,它們的維數(shù)都為2；〔2由,的一組基可取為,故它的維數(shù)為3；〔3注意到,由維數(shù)公式即得的維數(shù)．八、補充題〔共15分,本題得分可以計入總分設(shè)表示數(shù)域上次數(shù)小于的多項式及零多項式作成的線性空間,．〔1驗證是的一個子空間；〔2求的一組基及維數(shù)；〔3記,則也是數(shù)域上的一個子空間,試證明：．證明〔1因為,所以,設(shè),,則,且,因此,,故,,即是的一個子空間；〔2對,一定可以表成形式〔若,則,即得,注意到都屬于,且線性無關(guān),它們構(gòu)成了的一組基,；〔3是一個一維子空間,1為它的一組基,由〔式即得,故,又,故．注對〔2式也可以用數(shù)學(xué)分析中Taylor公式得到〔；對〔3也可以設(shè),則,比較兩端次數(shù)得,即,從而,即為直和．試題十二試題十二題號一二三四五六七八九十總分得分一．〔24分計算下列一．〔24分計算下列階行列式：1．；2．〔．3．二．〔10分試討論二．〔10分試討論取什么值時,元二次型是正定的？三．〔10分設(shè)．〔1證明：；〔2求．四．〔16分設(shè)的線性變換在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為．〔1求的特征值和特征向量；〔2求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,使在此基下的矩陣為對角矩陣．五．〔15分證明：若向量線性無關(guān),則也線性無關(guān)．并說明該結(jié)論對4個向量的情形是否成立．六．〔15分設(shè)六．〔15分設(shè),證明：〔1在上不可約；〔2至少有一個實根,但不是有理根．七．〔10分設(shè)是兩個給定的級矩陣,記證明：〔1是線性空間的一個子空間；〔2若,且,則．試題十二評分標(biāo)準(zhǔn)一．1．解將所有列加到第1列上,則第1列與第4列成比例,故原式．…………〔8分注本題也可以從第4行提取公因子,然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行,把第4行化為元素全為零,故原式．2．解原式．…………〔8分注本題也可按最后一列〔或行展開,得遞推式：,答案正確給滿分,有正確的遞推式但結(jié)果有誤,給3分．另外對按第一行〔或列展開者類似給分．3．解行列式按第1行展開,然后接著對其中一個階行列式再次展開,得,因此,．…………〔8分注對一般二階線性遞推數(shù)列,可考慮特征方程的兩個根,則遞推數(shù)列化為,就能求出的通項,更一般的結(jié)論參考《組合數(shù)學(xué)》中方法．二．解〔方法1此二次型對應(yīng)的矩陣為,當(dāng)且僅當(dāng)它的階順序主子式,即時二次型正定?！?0分〔方法2配方法：二次型化為,當(dāng)且僅當(dāng)時,二次型是正定的?！卜椒?,,,當(dāng)且僅當(dāng)時,二次型是正定的。三．解〔1當(dāng)可以直接驗證,對作歸納,用數(shù)學(xué)歸納法即得〔略；…………〔5分〔2．…………〔5分注由于矩陣的特征多項式,由凱萊-哈密爾頓定理,得到,即,故知時成立；另外注意到,作帶余除法：在上式中分別令,,以及對上式求導(dǎo)并令,得到,解之得,,故．四．解,所以的特征值,．…………〔4分對,齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為,故對應(yīng)的特征向量,〔；…………〔6分對,齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為,故對應(yīng)的特征向量為,〔、且不全為0．…………〔8分〔2用施密特方法將標(biāo)準(zhǔn)正交化后即為所求基〔略．…………〔8分五．證明設(shè),即,…………〔3分由于線性無關(guān),故有解之得,…………〔7分故也線性無關(guān)．…………〔8分對4個向量的情形其相應(yīng)結(jié)論不成立,因為,由4個向量線性無關(guān),并不能得到向量線性無關(guān)的結(jié)論．…………〔15分注1由知,是線性相關(guān)的,對該問題未說明原因的,只要結(jié)論正確給滿分；注2如果認為對4個向量的情形其相應(yīng)結(jié)論也成立的,必須說明是指如下結(jié)論:若4個向量線性無關(guān),則向量也線性無關(guān)．該答案也給滿分,但僅說相應(yīng)結(jié)論成立,而未給出任何說明者,不得分．六．證明〔1令,則,取,由Eisenstein判別法知,在上不可約,從而在上不可約；…………〔8分注也可利用反證法證之：若可約,則能分解成兩個次數(shù)低的整系數(shù)多項式之積,或為1次與4次多項式之積,或為2次與3次多項式之積,都能推出矛盾,這里從略．〔2因為是奇次的,則必有一個實根,此根若是有理根,則在上可約,矛盾．…………〔7分注奇次多項式有實根可由數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)的介值定理證得,或?qū)⒃趯崝?shù)域上作標(biāo)準(zhǔn)分解,由于實數(shù)域上的不可約因式只有一次因式與二次不可約因式,故奇次多項式一定有一次因式,因此必有一個實根．另外,對沒有有理根的結(jié)論,可以對其所有可能的有理根進行直接檢驗得知．七．證明〔1…………〔1分對,,即,…………〔2分有,,所以,,故是線性空間的一個子空間…………〔5分〔2當(dāng)時,,由于可逆,故得…………〔5分試題十三題號一二三四五六七八九十總分得分一、填空題：本大題共10個小題,每小題3分,共30分。把答案填在橫線上。設(shè)列向量與都是線性空間的一組基,記級矩陣,,則由基到的過渡矩陣是；2．設(shè)數(shù)域上三維線性空間的線性變換A在基下的矩陣是則A在基下的矩陣是；3．設(shè)是維線性空間的子空間,關(guān)于子空間的維數(shù)公式是4．?dāng)?shù)域上的一次多項式與互素的充要條件是；5．行列式；6．齊次線性方程組有非零解的充要條件是；7．設(shè)線性無關(guān),則常數(shù)滿足條件時,向量組線性無關(guān)；8．如果級矩陣、及級單位矩陣滿足,則表成矩陣的多項式是；9．若,則分別為；10．設(shè),且可逆．若,則．二、選擇題：本大題共5個小題,每小題3分,共15分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,把所選項前的字母填在題后的括號。1．設(shè)4級矩陣與相似,的特征值是1,2,3,4,則的行列式是〔〔A-24；〔B10；〔C24；〔D不能確定2．下列的子集中是的子空間的為〔〔A；〔B；〔C；〔D3．設(shè)是線性空間的三個線性無關(guān)的向量,記,,,則子空間〔〔A；〔B；〔C空集；〔D零子空間4．設(shè)矩陣～,～,則下列命題正確的是〔〔A～；〔B～；〔C～,～；〔D以上結(jié)論都不對5．設(shè)A是數(shù)域上偶數(shù)維線性空間上的線性變換,那么A與A具有相同的〔〔A特征值；〔B行列式；〔C特征多項式；〔D在同一基下的矩陣三、設(shè)是兩個給定的級矩陣,記證明：〔1是線性空間的一個子空間；〔2若,且,則．〔8分四、試討論取什么值時,元二次型是正定的？〔8分五、設(shè)表示實數(shù)域上的次數(shù)小于3的多項式,再添上零多項式構(gòu)成的線性空間,而,,是的一組基,線性變換A滿足A,A,A〔1求A在已知基下的矩陣；〔2設(shè),求A．〔8分六、設(shè)是一個實二次型,若有實維列向量,使,證明：必存在實維列向量,使．〔7分七、設(shè)A是二維列向量空間的線性變換：設(shè),定義A．〔1求值域A的基與維數(shù)；〔2求核A的基與維數(shù)；〔3求證：AA．〔8分八、設(shè)階方陣和滿足,證明：〔1不是的特征值；〔2若相似于對角矩陣,則存在可逆矩陣,使得與都是對角矩陣．〔8分九、設(shè)A是維線性空間上的線性變換．若A,,則〔1存在個向量,使AAA線性無關(guān)；〔2存在的一個非恒等線性變換B,使得BAA．〔8分試題十四及參考答案一、判斷題〔在括號里打"√"或"×",每小題1.5分,共30分1．維線性空間中任何個向量都線性相關(guān)；〔√2．同一組基下的不同線性變換的矩陣一定是相似的；〔×3．任意兩個子空間、的并集仍是子空間；〔×4．子空間、的和為直和〔這里表示空集；〔×5．相似矩陣具有相同的特征值、相同