2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019單元復(fù)習(xí)試題單元復(fù)習(xí)10三角恒等變換基礎(chǔ)題

單元復(fù)習(xí)10三角恒等變換01三角恒等變換的有關(guān)計(jì)算一、單選題1．化簡(jiǎn)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得所求代數(shù)式的值.【解析】原式.故選：D.2．已知,都是銳角,,,則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意判斷的范圍,從而求出的值,將寫為,再用兩角和與差的余弦公式代入化簡(jiǎn)即可.【解析】由于,都是銳角,則,,因?yàn)?,所以,,所以,,所以.故選:B3．下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式和兩角和與差的三角函數(shù)公式，結(jié)合特殊角三角函數(shù)值逐項(xiàng)判斷即可.【解析】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤，故選:B.4．已知終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由終邊坐標(biāo)求得正余弦值，結(jié)合倍角公式求值即可.【解析】由題意可知點(diǎn)，所以，，，，∴．故選：B．5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用和角的正切公式求出，再利用齊次式法計(jì)算作答.【解析】，得，所以.故選：A6．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式可將化簡(jiǎn)成，代入計(jì)算即可求得結(jié)果.【解析】由可得；所以.故選：D7．若，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用兩角差的余弦公式和和差化積公式可得答案.【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，故選：A．8．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式及齊次化即可或解.【解析】由，得，所以，從而故選：B二、多選題9．tan75°＝（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)兩角和的正切公式及特殊角的三角函數(shù)值判斷A，由正切半角公式判斷BC，由，令即可判斷出D.【解析】，故A正確；由正切的半角公式知，故B錯(cuò)誤；，故C正確；∵，令，得，可得D正確.故選：ACD.10．下列計(jì)算結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用三角恒等變換逐項(xiàng)判斷即可.【解析】，A正確；，B正確；，C錯(cuò)誤；由，可得，D正確；故選：ABD11．設(shè)的終邊在第二象限，則的值可能為（

）A．1 B．1 C．2 D．2【答案】AB【分析】先求得的范圍，由此進(jìn)行分類討論，結(jié)合二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化簡(jiǎn)求得所求表達(dá)式的值.【解析】∵的終邊在第二象限，∴，，∴，，，故當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，.故選：AB三、填空題12．已知，，，則＝______．【答案】【分析】化切為弦，由正弦和角公式得到方程組，求出，利用正弦差角公式求出答案.【解析】由得，，則①，由得，②，聯(lián)立①②解得，∴．故答案為：13．化簡(jiǎn)：______.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)即可求解.【解析】.故答案為：14．已知sin2θ＝，0＜2θ＜，則＝________．【答案】【分析】利用二倍角公式變形求出，根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)待求式為，即可代入求解.【解析】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樗?，即故答案為：四、解答題15．化簡(jiǎn)并求值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用切化弦、二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)計(jì)算作答.（2）根據(jù)給定條件，利用切化弦、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)計(jì)算作答.（3）根據(jù)給定條件，利用特殊角的三角函數(shù)值、二倍角公式、湊角的思想結(jié)合和差角的正弦化簡(jiǎn)計(jì)算作答.【解析】（1）.（2）.（3）.16．證明：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）結(jié)合和差化積公式證得結(jié)論成立.（2）結(jié)合和差化積公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式證得結(jié)論成立.【解析】（1）左邊右邊．（2）左邊右邊．17．求下列各式的值：（1）已知，求的值；（2）求的值；【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）利用，計(jì)算即可；（2）利用倍角公式及兩角和與差的正余弦公式計(jì)算.【解析】（1），．（2）原式．18．已知．(1)求的值；(2)已知，，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正余弦函數(shù)的倍角公式與三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，結(jié)合齊次式法即可得解；（2）先解二次方程，結(jié)合的取值范圍求得，再結(jié)合（1）中結(jié)論求得的取值范圍，從而利用正切函數(shù)的和差公式即可求得的值．【解析】（1）因?yàn)椋字?，所以，所?（2）因?yàn)椋?，解得或，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，故，因?yàn)?，所?02三角恒等變換的應(yīng)用一、單選題1．函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后求對(duì)稱中心即可.【解析】，令，，解得，，當(dāng)時(shí)，，，所以是一個(gè)對(duì)稱中心.故選：A.2．函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將解析式用正余弦的和差角公式展開化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.【解析】因?yàn)樗?，故選:B.3．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象分析求解即可【解析】，故當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取最小值故選：D4．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù)，再代入定義域，求函數(shù)的值域.【解析】,,，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：B5．函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C．將的圖像向左平移個(gè)單位后與的圖像重合D．若，則【答案】D【分析】利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；【解析】解：，對(duì)于A：若，所以，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：將的圖像向左平移個(gè)單位得到，故C錯(cuò)誤；因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，又，即、關(guān)于對(duì)稱，所以，故D正確；故選：D6．設(shè)，，，則a，b，c大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通過三角恒等變形得到，結(jié)合的單調(diào)性即可比較大小.【解析】，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，故，即.故選：C.7．函數(shù)，則下列結(jié)論正確則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為，最小正周期為B．的圖像向右平移個(gè)單位后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】B【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)可得，由正弦型函數(shù)最值可知A錯(cuò)誤；由三角函數(shù)平移變換原則可得的圖像向右平移個(gè)單位后所得函數(shù)，由奇偶性定義可知B正確；利用代入檢驗(yàn)的方法來判斷出、是否是對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，知CD錯(cuò)誤.【解析】；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，又，為偶函數(shù)，的圖像向右平移個(gè)單位后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，B正確；對(duì)于CD，當(dāng)時(shí)，，又，圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，不是的對(duì)稱軸，CD錯(cuò)誤.故選：B.8．方程區(qū)間上恰有三個(gè)根，其根分別為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得，即直線在與有三個(gè)交點(diǎn)，【解析】解：因?yàn)椋?，令，，因?yàn)椋?，函?shù)圖象如下所示：令，解得，令，則或，解得或，依題意直線在與有三個(gè)交點(diǎn)，則，不妨設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，可得，而，關(guān)于直線對(duì)稱，那么，的取值范圍．故選：D．二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．B．的最小正周期為C．把向左平移可以得到函數(shù)D．在上單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】根據(jù)正切函數(shù)的函數(shù)值，周期，平移對(duì)應(yīng)的解析式變化，和函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【解析】,所以，故選項(xiàng)A正確；的最小正周期為，故選項(xiàng)B正確；把向左平移可以得到函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D選項(xiàng)正確；故選：ABD.10．設(shè)函數(shù)，下列說法中，正確的是（

）A．的最小值為B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的一半(縱坐標(biāo)不變)而得到D．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱【答案】ABC【分析】先化簡(jiǎn)得到，從而得到的最小值為，A正確；B選項(xiàng)，由得到，整體法得到在區(qū)間上的單調(diào)性；C選項(xiàng)，根據(jù)平移變換和伸縮變換得到變換后的解析式，C正確；D選項(xiàng)，求出平移后的解析式，判斷其圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱.【解析】，當(dāng)，即時(shí)，的最小值為，A正確；時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的一半(縱坐標(biāo)不變)得到，C正確；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，故不關(guān)于y軸對(duì)稱，D錯(cuò)誤.故選：ABC11．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．是周期函數(shù)B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．的值域?yàn)镈．的單調(diào)遞減區(qū)間為，【答案】AC【分析】利用函數(shù)周期的定義可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)的奇偶性可判斷B選項(xiàng)；考查函數(shù)在上的值域，可判斷C選項(xiàng)；求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，可判斷D選項(xiàng).【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，故函?shù)為周期函數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，為偶函數(shù)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，不妨考慮函數(shù)在上的值域即可，當(dāng)時(shí)，則，，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)在上的值域也為，因此，函數(shù)的值域?yàn)椋珻對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，考慮函數(shù)在上單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，，且，由可得，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為、，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)在上的減區(qū)間為、、，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、、，D錯(cuò).故選：AC.12．已知函數(shù)，則下列有關(guān)說法正確的是（

）A．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為B．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為C．若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到偶函數(shù)，則的最小值為D．若函數(shù)在區(qū)間上有且只有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】BC【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)；求出平移后的函數(shù)解析式，利用正弦型函數(shù)的奇偶性可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出的取值范圍，可判斷D選項(xiàng).【解析】.對(duì)于AB選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以，，解得，因?yàn)?，解得，，則，所以，，A錯(cuò)B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，取最小值，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且只有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，D錯(cuò).故選：BC.三、填空題13．已知，函數(shù)，，若，，有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，由三角函數(shù)的性質(zhì)求得，由題意得的值域是的子集，結(jié)合的單調(diào)性分類討論求解即可．【解析】，∵，∴，∴，∴．∵，，有，∴的值域是的子集．①當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，解得；②當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，無解．綜合①②，．故答案為：．14．若函數(shù)，在上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】首先根據(jù)和差角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再由的取值范圍求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.【解析】解：，即，由，所以，又在上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，所以的取值范圍是．故答案為：．15．已知函數(shù)，則的值域是______.【答案】【分析】對(duì)自變量進(jìn)行討論取絕對(duì)值，化簡(jiǎn)函數(shù)，再求函數(shù)的值域【解析】當(dāng)，有，即時(shí)，，此時(shí)值域?yàn)?；?dāng)，即，，此時(shí)值域?yàn)椋实闹涤蚴?故答案為：16．已知函數(shù)，______，求在區(qū)間上的值域.從①若，的最小值為；②兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為；③若，的最小值為．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．【答案】條件選擇見解析，值域?yàn)?【分析】從①②③任選一個(gè)作為條件，均可以得到的最小正周期為，故可求得，可得，結(jié)合，確定，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.【解析】由于,

若選①:若，的最小值為,則圖象相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的水平距離為，則函數(shù)的最小正周期為；若選②兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，則函數(shù)的最小正周期為；若選③若，的最小值為，則函數(shù)的最小正周期為；所以，①②③任選一個(gè)作為條件，均可以得到的最小正周期為，則,所以,

由于，，所以，即的值域?yàn)?，故答案為：四、解答題17．已知函數(shù)，．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間內(nèi)的最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的x值．【答案】(1)(2)時(shí)，【分析】（1）先根據(jù)降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得；（2）根據(jù)x的范圍求得的范圍，然后由正弦函數(shù)的性質(zhì)可解.【解析】（1）由，得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）因?yàn)?，所以故?dāng)，即時(shí)，18．已知函數(shù)，且的最小正周期為．(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值．【答案】(1)1，(2)【分析】(1)利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間計(jì)算即可.(2)函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)，根據(jù)所給，求出，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值.【解析】（1），，，所以，.,解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，因?yàn)椋瑒t，則，則函數(shù)的最大值為.19．已知函數(shù)，且函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(1)求的解析式；(2)若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，求的值?3)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)，再由對(duì)稱性可知即可得解；（2）根據(jù)所給自變量范圍，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出值域，列出方程即可得解；（3）化簡(jiǎn)不等式后，分三種情況討